Pot el trifasica - Anotações sobre Circuitos Elétricos 2 PDF

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Anotações sobre Circuitos Elétricos 2...

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Capítulo 8 POTÊNCIA ELÉTRICA EM SISTEMAS TRIFÁSICOS Considere uma carga trifásica qualquer alimentada diretamente por uma fonte de tensão alternada senoidal trifásica, com ou sem neutro, como mostrado na figura abaixo:

Nesse caso, um problema que imediatamente surge é: como obter a potência total, ou seja, a potência trifásica fornecida pelo gerador ou entregue à carga (supondo que não há perdas de transmissão)? A solução geral do problema pode ser expressa nos seguintes termos: a potência ativa (ou reativa) trifásica é igual à soma das potências ativas (ou reativas) associadas a cada fase. Embora esse resultado seja bem aceito de forma intuitiva, na verdade precisa ser provado. Uma maneira geral de fazê-lo é lançando mão do teorema de Tellegen, um poderoso teorema de circuitos elétricos.

Aplicando o teorema de Tellegen O teorema de Tellegen pode ser enunciado como segue: “Em um circuito elétrico formado por b bipolos quaisquer, a soma das potências instantâneas associadas a cada bipolo k é sempre nula”. Em termos matemáticos:

Esse teorema é extremamente geral, exigindo apenas que as leis de Kirchhoff sejam válidas. Embora tenha sido enunciado aqui usando potência instantânea, o teorema vale também considerando-se potência ativa, reativa ou complexa (com tensões e correntes fasoriais). Ver demonstração no livro clássico de Desoer & Kuh. “Basic Circuit Theory”, pag. 394. Já foi visto anteriormente que os alternadores trifásicos são construídos com três enrolamentos distribuídos pelo estator e geralmente conectados em estrela (Y), gerando 

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Capítulo 8 – Potência Elétrica em Sistemas Trifásicos dessa forma as correspondentes tensões em cada fase vap(t), vbp(t) e vcp(t). Admitindo seqüência de fases abc, considere um alternador trifásico alimentando diretamente uma carga trifásica qualquer, seja conectada em triângulo ( ) ou conectada em estrela (Y) com neutro ou sem neutro, como ilustrado nas figuras abaixo.

Em ambos os casos, o circuito elétrico pode ser visto como formado por seis bipolos: três geradores correspondentes a cada fase e três impedâncias da carga. Chamando de p1(t), p2(t) e p3(t) as potências instantâneas em cada impedância da carga, a aplicação do teorema de Tellegen nos dois casos resulta na expressão: vap(t) ia(t) + vbp(t) ib(t) + vcp(t) ic(t) - p1(t) - p2(t) - p3(t) = 0 considerando a mesma convenção utilizada nas leis de Kirchhoff, ou seja, potência entregue por um gerador é positiva e recebida por uma carga é negativa. Essa expressão permite afirmar que a potência total entregue pelo alternador é igual à potência total recebida pela carga e que essas potências correspondem à soma das potências associadas a cada fase, qualquer que seja a forma de ligação da carga trifásica. Portanto,

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Capítulo 8 – Potência Elétrica em Sistemas Trifásicos

Potência instantânea trifásica em cargas equilibradas Um fato muito interessante e importante ocorre se, no problema anterior, a carga trifásica for equilibrada, ou seja, as três impedâncias da carga são iguais. A potência instantânea trifásica entregue à carga torna-se constante, ou seja, não se altera com o tempo ! Essa propriedade pode ser explicada considerando-se uma carga equilibrada representada por três impedâncias conectadas em Y, alimentadas por um alternador trifásico, conforme mostra a figura abaixo:

O fato de a carga estar em Y não particulariza a explicação, pois se esta estiver conectada em poderá ser transformada em uma carga equivalente em Y, utilizando-se a transformação pela qual . Considere que as tensões de fase sejam expressas por:

em que Vf indica módulo da tensão de fase. Portanto, as correntes de fase serão:

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Capítulo 8 – Potência Elétrica em Sistemas Trifásicos

em que If indica módulo da corrente de fase e é o ângulo de defasagem introduzido pela impedância Z. Desse modo, as potências instantâneas em cada fase podem ser escritas como:

Adicionando-se as três parcelas, obtém-se a potência instantânea trifásica (total):

Note que a potência instantânea trifásica é constante, pois as parcelas que dependem do tempo se cancelam mutuamente (lembre-se que a somatória de três senóides de mesma amplitude e defasadas de é sempre nula), embora a potência instantânea associada a cada fase seja pulsante. Esse resultado fornece duas das razões para se utilizarem sistemas trifásicos no suprimento de energia elétrica. A primeira se refere ao fato que o torque em motores elétricos CA trifásicos é também constante se a potência instantânea o for, reduzindo vibrações mecânicas e outros inconvenientes. Lembre-se que um motor é naturalmente uma carga equilibrada. A segunda vem do fato de a potência trifásica ser três vezes maior que a potência monofásica, permitindo gerar, transmitir e utilizar mais energia com acréscimo de apenas um fio.

Potência complexa trifásica No caso de circuitos lineares, invariantes no tempo e em regime permanente senoidal, o teorema de Tellegen toma a seguinte forma: “A soma das potências complexas (V.I*) associadas a cada bipolo é nula”. Não poderia ser de outro modo, já que se trata de apenas outra forma de expressão do conhecido princípio de conservação da energia. Lembre-se que potência complexa foi definida anteriormente como o produto do fasor da tensão pelo fasor 

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Capítulo 8 – Potência Elétrica em Sistemas Trifásicos conjugado da corrente. O mesmo raciocínio realizado anteriormente no domínio do tempo, usando potência instantânea, pode ser realizado no domínio dos fasores, agora usando o conceito de potência complexa. Desse modo, pode-se concluir que a potência complexa trifásica, entregue por uma fonte ou consumida por uma carga trifásica, é igual à soma das potência complexas associadas a cada fase. Como a potência complexa pode ser expressa por , em que as componentes real e imaginária representam potência ativa e reativa respectivamente, o teorema de Tellegen permite afirmar também que: (a) a potência ativa trifásica, entregue por uma fonte ou consumida por uma carga trifásica, é igual à soma das potência ativas associadas a cada fase; (b) a potência reativa trifásica, entregue por uma fonte ou consumida por uma carga trifásica, é igual à soma das potência reativas associadas a cada fase;

Potência ativa trifásica Como já foi definido, a potência ativa (útil ou real) é o valor médio da potência instantânea. No caso trifásico, a potência ativa trifásica será o valor médio, em um período, da potência instantânea trifásica, que é constante se o sistema for equilibrado. Portanto:

em que Vf e If são valores eficazes de fase. Note que no caso de sistemas desequilibrados, deve-se obter a potência ativa associada a cada fase e depois adicioná-las. Não esquecer que o ângulo

refere-se à defasagem entre tensão e corrente em cada fase.

Potência reativa trifásica O teorema de Tellegen garante que a potência reativa trifásica é igual à soma das potências reativas associadas a cada fase, no caso geral desequilibrado. Se o sistema é equilibrado, então:

Potência aparente trifásica Em sistemas desequilibrados pode-se obter a potência aparente trifásica, a partir das potências ativa e reativa trifásicas, usando-se o triângulo de potências:

Obviamente no caso equilibrado, tem-se:

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Capítulo 8 – Potência Elétrica em Sistemas Trifásicos

Expressando potências trifásicas em função de grandezas de linha É conveniente expressar as potências ativas, reativas ou aparentes trifásicas usando somente tensões e correntes de linha, pois estas são disponíveis (e portanto mensuráveis) externamente às cargas e fontes. Imagine um motor elétrico trifásico alimentado por uma rede trifásica; somente as grandezas de linha estão disponíveis, a menos que se abra o motor para ter acesso aos enrolamentos de fase. Outra vantagem de usar grandezas de linha é expressar as potências independentemente do modo de ligação Y ou . No caso de sistemas equilibrados é possível obter expressões gerais como segue. Carga equilibrada em Y: Nesse caso tem-se e L indica valor de linha. Substituindo-se esses valores na expressão

, em que o subescrito

resulta:

Analogamente,

Carga equilibrada em : Nesse caso tem-se e , em que o subescrito L indica valor de linha. Substituindo-se esses valores na expressão

Resulta:

Analogamente,

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Capítulo 8 – Potência Elétrica em Sistemas Trifásicos

Fator de potência de cargas trifásicas No caso geral de cargas trifásicas desequilibradas, o fator de potência pode ser obtido pela razão entre a potência ativa trifásica e a potência aparente trifásica:

Se a carga for equilibrada, o fator de potência será dado simplesmente por:

A figura abaixo mostra o triângulo de potências trifásicas.

O ajuste do fator de potência de cargas trifásicas As instalações elétricas industriais e comerciais são geralmente trifásicas e apresentam fator de potência naturalmente baixo e indutivo, em razão do grande número de motores elétricos que constituem a carga. No Brasil, cerca de 60 % da carga industrial corresponde a motores de indução que, por sua vez, respondem por cerca de 40 % da carga total (residencial, industrial, comercial e rural). Fator de potência baixo significa pequeno aproveitamento de potência útil em comparação com um grande fornecimento de potência aparente. Se nada fosse feito, isso exigiria das empresas de energia elétrica o fornecimento de elevadas correntes com reduzida realização de trabalho útil. Entretanto, se o fator de potência for, de algum modo, ajustado para valores elevados (próximos de 100 %), então a mesma quantidade de trabalho útil (potência ativa) poderá ser extraída com o fornecimento de pequenas correntes. Na verdade, se o fator de potência for exatamente 100 %, então a corrente será mínima. Esse fato foi explicado em detalhes na Aula 6.

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Capítulo 8 – Potência Elétrica em Sistemas Trifásicos

Fator de potência mínimo legal Como já anteriormente mencionado, são evidentes as vantagens de se trabalhar com fatores de potência elevados, e conseqüentemente com correntes próximas ao mínimo: menor capacidade em equipamentos de geração, transformação, transmissão; menores perdas de energia por efeito Joule; condutores de menor bitola, etc. Para forçar isso, cada país estabelece normas legais especificando o valor mínimo de fator de potência que as instalações industriais e comerciais devem ter. No Brasil, esse valor atualmente é 92 %. Em alguns países, como França e Japão, o fator mínimo é 98 %. Como “incentivar” os consumidores industriais e comerciais a elevarem o fator de potência ? A legislação autoriza as empresas de energia elétrica a cobrarem um adicional na energia ativa consumida se o fator de potência estiver menor que o mínimo legal, usando a seguinte fórmula:

A aplicação dessa fórmula, no caso de um consumidor industrial com fator de potência de 70 %, corresponde a um acréscimo de 31 % na conta de energia; se o fator de potência for de somente 50 %, o acréscimo na conta pode chegar a 84 %.

Como ajustar o fator de potência em instalações comerciais e industriais O método mais simples e econômico de elevar o fator de potência é instalar bancos de capacitores em paralelo com a carga, como ilustra a figura abaixo, lembrando que as instalações comerciais e industriais são geralmente trifásicas:

O efeito do banco de capacitores consiste em contrabalançar o atraso da corrente em relação à tensão, ocasionado pelo caráter indutivo da carga, através do fornecimento de corrente adiantada em relação à tensão. Isso pode ser compreendido considerando-se uma

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Capítulo 8 – Potência Elétrica em Sistemas Trifásicos carga industrial equilibrada (o que em geral acontece), fato que permite usar o modelo por fase do problema, como mostra a figura abaixo:

Observe que o banco trifásico tem os capacitores conectados em , o que é prática usual por resultar em menores capacitâncias. No modelo por fase, o capacitor representado corresponde ao capacitor equivalente obtido após uma transformação . A impedância Z representa a carga por fase, na qual circula a corrente fasorial Im, que é a mesma antes e depois da instalação dos capacitores. A corrente fasorial fornecida pela fonte, após a colocação dos capacitores, será a soma fasorial de Ic e Im, como ilustrado na figura abaixo:

Note na figura que o fasor da corrente fornecida pelo capacitor estará sempre adiantado de em relação ao fasor da tensão, e que, portanto, a projeção do fasor da corrente resultante (fornecida pela fonte) permanecerá sempre a mesma, qualquer que seja a corrente do capacitor. Em outras palavras, o capacitor somente contribui com potência reativa, não alterando a potência ativa fornecida à instalação industrial. Em conseqüência, o fator de potência (dado por ) será tanto maior quanto maior for a corrente fornecida pelo capacitor. Note finalmente que a corrente resultante tenderá ter amplitude cada vez menor à medida que o fator de potência for sendo elevado, atingindo valor mínimo quando estiver em fase com a tensão. Entretanto, deve-se ter o cuidado de não instalar capacitores demais, 

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Capítulo 8 – Potência Elétrica em Sistemas Trifásicos pois o fator de potência pode voltar a diminuir, como mostrado no caso de carga monofásica. Os bancos de capacitores necessários para corrigir o fator de potência devem ser especificados em termos de: nível de tensão de linha, potência reativa trifásica e capacitância por fase. A quantidade de potência reativa a ser fornecida pelo banco pode ser facilmente calculada usando-se o triângulo de potências trifásicas, como indicado na figura abaixo:

Assumindo que a instalação industrial consome a potência trifásica ativa P com fator de potência indutivo, deseja-se elevar seu fator de potência para indutivo (em geral, para 92 % que é o mínimo legal). O triângulo de potências mostra que a potência trifásica reativa que o banco de capacitores deve fornecer é obtida por:

A capacitância por fase pode ser calculada como segue, assumindo ligação do banco em :

lembrando que, em uma conexão

equilibrada, tem-se:

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Capítulo 8 – Potência Elétrica em Sistemas Trifásicos

Finalmente

A propósito, como ficaria a expressão que fornece a capacitância por fase se o banco fosse conectado em Y aterrado?

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