Practica 3 - Práctica 3 completa realizada en matlab PDF

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOFACULTAD DE INGENIERÍADEPARTAMENTO DE CONTROL Y ROBÓTICALaboratorio de Análisis de Sistemas y SeñalesPráctica 3Función de Transferencia y Sistemas de Primer OrdenGrupo: 07Profesor: José Alberto Arellano FigueroaBrigada número: 2Nombre de los integrantes:Torres ...

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE CONTROL Y ROBÓTICA

Laboratorio de Análisis de Sistemas y Señales

Práctica 3

Función de Transferencia y Sistemas de Primer Orden

Grupo: 07 Profesor: José Alberto Arellano Figueroa Brigada número: 2

Nombre de los integrantes: Torres Gómez Uriel Galván Benítez Jesús Alejandro Gasca Estrada Hernando

Semestre 2021-1

Fecha de entrega: 04-12-2020

Introducción En esta práctica se aplicarán los conceptos de transformada de Laplace para obtener distintas respuestas en el dominio del tiempo, al tener la función de transferencia en el dominio de “s” se deben aplicar diversas herramientas antes aprendidas como la descomposición en fracciones parciales para así poder aplicar tablas de transformación inversa de Laplace o los teoremas de convolución. Todas las respuestas obtenidas se comprobarán con ayuda del software especializado “MATLAB”. Una función de transferencia por lo general es empleada para relacionar entradas y salidas en componentes que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo.

Objetivos  

El alumno estudiará el concepto de función de transferencia. El alumno caracterizará la respuesta de sistemas de primer orden a las entradas impulso y escalón

Desarrollo de la actividad 1. Encontrar la representación mediante el patrón de polos y ceros, así como el termino constante del sistema cuya función de transferencia es:

Factorizando la función, tenemos que:

Obtenemos las raíces del denominador o polinomio característico mediante división sintética.

Se utiliza la fórmula general

Las raíces de nuestro polinomio característico son:

s 1=−3 s 2=−1+ j s 3=−1− j

Para las raíces del numerador

s 2 +3 s+ 2=( s+1 ) (s+2)

Por lo tanto

H ( s )=

( s +1 ) (s+2) (s+3)( s − (−1+ j ) )(s−(−1− j ) )

2. Con ayuda de un equipo de cómputo y un software especializado, obtenga la representación gráfica de los polos y de los ceros de la función de transferencia anteriormente mencionada. ¿Qué puede decir sobre la estabilidad del sistema?

Como se puede observar en el diagrama de polos y ceros, el sistema es estable ya que los polos se encuentran en el semiplano izquierdo

3. De la Figura 31 obtenga la ecuación diferencial que represente la dinámica del sistema.

Si utilizamos la notación de Newton y consideramos condiciones iniciales nulas:

m ´x ( t ) +b x´ ( t )=f ( t ) Ahora se obtiene la transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación:

m s2 X (s ) +bsX ( s) =F ( s ) Función de transferencia

X (s ) 1 = =H ( s ) F ( s ) m s 2+ s

4. Obtenga la función de transferencia del sistema y determine la expresión matemática de la respuesta al impulso unitario (considere condiciones iniciales nulas).

f ( t ) =δ ( t ) →2 { δ }=1

Como la salida del sistema es su desplazamiento

Y δ=δ (s) ∙ H ( s) =

1 ms + bs 2

Se obtienen los polos y se resuelve por fracciones parciales

X ( s )=

1

( mb )

(s−0) s+

Se resuelve por fracciones parciales

Se le dan valores a s para encontrar A y B

Por lo tanto:

1−e

−m t b

x( t ) =

m ) ¿ b

5. Bosqueje la respuesta al impulso cuando la magnitud de este es dos, considere m = b = 1.

6. Considere un sistema cuya función de transferencia es representada como:

Utilice el método de fracciones parciales para encontrar la transformada inversa de Laplace y corrobore sus resultados con ayuda de un software especializado. Por fracciones parciales:

Resolviendo:

A= ½

B=½

Sustituyendo en la expresión anterior:

Por lo tanto, con la transformada inversa de la place:

1 s = 1 1 5+ 2+3+ s s 1 s

3+

H ( s )=

3 s+1 5 s+1

3+

Y γ ( s )=X ( s ) H ( s)

1 3 s+1 Y γ ( s )= ∙ s 5 s+1 Por lo tanto

H ( s )=

3 s+1 5 s 2+s

8. Encuentre la expresión matemática que determina la respuesta a una entrada escalón y bosqueje sus resultados con ayuda de un software especializado.

Resolviendo por fracciones parciales

Asignando valores con s=0 y s = 1/s: A=1

B = -2

Se sustituyen los valores:

1 −2 + s 5 s+1

Se aplica la transformada inversa de Laplace: −t

2 y ( t )=1− e 5 5

9. De una forma alternativa, considerando el teorema del valor final y el teorema del valor inicial (sin la transformada inversa de Laplace) determine la respuesta al escalón. ¿Qué puede decir con respecto a lo realizado en la actividad 8?.

3 1 ∗s + 3 3 s+1= 5 H ( s )= 5 s+ 1 1 s+ 5 +¿ ¿ 0 ¿ yγ ¿

1 c 3 5 y γ ( ∞ ) =H (0 )= = = a 1 3 5

1 1 τ = = =5 a 1 5

−t

2 y γ ( t ) =1− e 5 5

Podemos observar que efectivamente pudimos obtener la misma función, así que de ambas maneras podemos llegar al resultado.

Conclusiones Con esta práctica conseguimos identificar algunos de los comportamientos característicos de los sistemas, y como es que estos, reaccionan a una señal de tipo escalón. También pudimos observar que la salida de estos sistemas se estabiliza con el tiempo. Además logramos comprender la función de transferencia , la cual representa el comportamiento del sistema, y pudimos identificar si un sistema es estable mediante el diagrama de polos, observando en donde se encuentran sus raíces....