Práctica 5 Teorema DE Steiner PDF

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Logo FacultadESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZOVICERRECTORADO ACADÉMICO DIRECCIÓN DE DESARROLLO ACADÉMICOFACULTAD: MECÁNICACARRERA: INGENIERÍA MECÁNICAGUÍA DE LABORATORIO DE FÍSICA IIPARALELO: BPRÁCTICA No. 05 MOMENTO DE INERCIA, TEOREMA DE STEINER1. DATOS GENERALES:NOMBRE: CODIGO(S):Kevin R...

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO VICERRECTORADO ACADÉMICO DIRECCIÓN DE DESARROLLO ACADÉMICO

FACULTAD: MECÁNICA CARRERA: INGENIERÍA MECÁNICA

GUÍA DE LABORATORIO DE FÍSICA II PARALELO: B

PRÁCTICA No. 05 MOMENTO DE INERCIA, TEOREMA DE STEINER

1. DATOS GENERALES: NOMBRE:

CODIGO(S):

Kevin Ruben Jiménez Estévez

7957

Edwin Samuel Guamán Guaillas

7526

Rómulo Fabricio López Villa

7562

GRUPO No.: 02

FECHA DE REALIZACIÓN: 20020-06-04

FECHA DE ENTREGA: 20020-06-11

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2. OBJETIVO. 

GENERAL

Calcular de manera objetiva y mediante lo aprendido en la práctica de laboratorio los momentos de inercia de un disco delgado que posee distintas distancias entre su eje de torción y su eje de simetría para poder para poder validar el teorema de Steiner. 

ESPECIFICOS

Determinar mediante la experimentación objetiva el momento de inercia de un disco delgado que posee hoyos en los cuales se ubican a distintas distancias lineales del centro del disco. Observar cómo actúan los diferentes momentos de inercia en el disco delgado, y comparar la variación de revoluciones que da en los distintos tiempos utilizados en la práctica 3. INTRODUCCIÓN El teorema de los ejes paralelos o simplemente teorema de Steiner es usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes y viene dado por: I Z =I c + m r

2

MARCO TEÓRICO ¿Qué es el Teorema de Steiner o de ejes paralelos? Señala que un cuerpo no tiene un solo momento de inercia, de hecho, tiene un número infinito, porque el número de ejes sobre los que podría girar es infinito. No obstante, hay una relación simple entre el momento de inercia

I c de un cuerpo de masa M alrededor

de un cuerpo de masa M alrededor de un eje que pasa por el centro de masa y el momento de inercia

Ic

alrededor de cualquier otro eje paralelo al original pero desplazado una

distancia d. Esta relación, llamada teorema de los ejes paralelos, dice que: I Z =I c +m r2 ∴

Considere un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje fijo que se encuentra desplazado una distancia R con respecto al punto de su centro de masa (C.M); y es paralelo a dicho eje de rotación C.M. Como se muestra en la siguiente figura:

∴ I o=∫ r C . M dm=∫( X C .M +Y C . M ) dm 2

2

Para el punto P= ( x 1 ,

2

y

1

) se establece la siguiente transformación de coordenadas 1

x =x+ x C . M

;

1

y = y + yC . M

∴

∴

Considerando que las coordenadas del punto centro de masa C.M. se encuentra en el origen del sistema de referencia.

∫ 2 x . xC .M dm=0

∫ 2 y . yC . M dm=0 IMPORTANTE: Recuerde que en este caso consideramos las coordenadas del centro de masa en el origen ∴ I Z= I c+ m r

2

4. MATERIALES    

1 Eje de torsión 1 Soporte en V 1 Disco para el eje de torsión (Steiner). 1 Soporte para el disco del eje de torsión.

- 1 cronómetro. - 1 cinta métrica - 1 balanza

5. INSTRUCCIONES  

Colocar el eje de torsión en la base en A y sujetarlo firmemente Colocar el disco de Steiner con el respectivo acople para su uso

6. ACTIVIDADES POR DESARROLLAR         

Fijar el disco por su centro al eje de torsión y marcar la posición cero sobre la mesa. Hacer girar 180° el disco hacia la derecha respecto de la posición cero y soltar. Comenzar a medir el tiempo cuando el disco pase la poción cero y detener la medición luego de cinco oscilaciones, anote los valores en la tabla 1. Repetir la medición cinco veces alternando giros hacia la izquierda y derecha. Calcular el periodo de oscilación T en base al valor medio de las cinco mediciones. Montar el disco sobre el eje de torsión separado 2 cm del centro y eventualmente marcar de nuevo la posición cero, anotar los valores en la tabla 2. Medir cinco veces el periodo de cinco oscilaciones alternando giros hacia la derecha e izquierda. Calcular el periodo de oscilación T. Repetir la medición para otras distancias a respecto del eje de simetría.

Tabla 1. a(cm)

a(m)

0

0

T ´(s)

5*T(s) 17,0

17, 5

18, 0

16, 0

16,5 17,0

CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA DEL SOLIDO I = (K*T^2)/4π^2 I = (0,04774*17^2)/4π^2 I = 0,34947 kgm^2

Tabla 2. M(kg)=0,685 – 0,706 R(m)= 0,20

K∗T´ 2 2 (kg m ) 2 4π 0,34947 I s=

a(cm)

a(m)

2

0,02

4

0,04

6

0,06

8

0,08

10

0,10

12

0,12

14

0,14

16

0,16

17, 5 18, 0 18, 8 19, 8 21, 1 22, 8 24, 5 26, 5

17, 0 18, 5 19, 3 20, 3 21, 6 22, 3 25, 0 27, 0

16, 5 19, 0 19, 8 20, 8 22, 1 21, 8 25, 5 27, 5

17,5

2 K∗T´ (kg m2) 2 4π 0.37033

18

0.39180

18,8

0.42740

20,3

0.49832

21,1

0.53837

22,3

0.60135

24,5

0.72586

26,5

0.84920

T ´(s)

5*T(s) 18,0 17,5 18,3 21,3 20,6 21,3 24,0 26,0

18, 5 17, 0 17, 8 19, 3 20, 1 23, 3 23, 5 25, 5

I A=

7. RESULTADOS OBTENIDOS 

Determine con la ecuación de la tabla 2 el momento de inercia IA en base a los periodos de oscilación T, utilice el valor de la constante k hallado en una practica anterior. IA=

K∗T 2 (kg m2) 2 4π

Donde: K=0.0477  IA=

PARA a(m)0.02 0.0477∗17,502 ( kg m2 ) 2 4π

2 I A =0.37033 ( kg m )



PARA a(m)0.04 0.0477∗182 ( I A= kg m2 ) 2 4π 2 I A =0.3918 ( kg m )



PARA a(m)0.06 0.0477∗18,82 ( I A= kg m2 ) 2 4π 2 I A =0.4274 ( kg m )



PARA a(m)0.08 0.0477∗20,32 ( I A= kg m2 ) 2 4π 2 I A =0.48832 ( kg m )



PARA a(m)0.1 0.0477∗21,12 ( I A= kg m2 ) 2 4π 2 I A =0.53837 ( kg m )



PARA a(m)0.12 0.0477∗22,32 ( kg m2 ) I A= 2 4π 2 I A =0.60135 ( kg m )



PARA a(m)0.14 0.0477∗24,52 ( kg m2 ) I A= 4π2 I A =0. 72586 (kg m 2 )



PARA a(m)0.16 I A=

0.0477∗26,52 (kg m2 ) 4π2

I A =0. 84920 (kg m2 )



Realizar la gráfica de IA en función de a2. ¿qué tipo de grafica obtuvo?. Determine la relación matemática entre las dos variables e interprete el significado de cada término.

CALCULO TEORICO Y EXPERIMENTAL DEL DISCO DE STEINER RESPECTO A SU DISTANCIA DE r=0.02m Datos : R=0,20m M=0,685kg CALCULO TEORICO

I A =I D + mr

2

I A =ICM +mr 2 I A =0,34947−8,4∗10

−4

I A =0,34863 kg∗m 2 CALCULO EXPERIMENTAL

I A= IA=

K∗T 2 (kg m2) 4 π2

0.0477∗17,502 ( kg m2 ) 2 4π

2 I A =0.37033 ( kg m )

CALCULO DEL ERROR DEL TEORICO Y EXPERIMENTAL ERROR ABSOLUTO:

Ea =¿ I teor−I exp ∨¿

Ea =¿ 0.34863−0.37033∨¿ Ea =0.0 217

ERROR RELATIVO PORCENTUAL E R=

Ea I teor

E R=

0.0 217 0,3483

E R=0.0 62∗100 %

E R=6 , 23 % CALCULO TEORICO Y EXPERIMENTAL DEL DISCO DE STEINER RESPECTO A SU DISTANCIA DE r=0.04m Datos : R=0,20m M=0,685kg CALCULO TEORICO

I A =I D + mr

2

I A =ICM +mr 2 I A =0,34947−8,4∗10

−4

I A =0,34863 kg∗m 2 CALCULO EXPERIMENTAL

I A= IA=

K∗T 2 (kg m2) 2 4π

0.0477∗17,502 ( kg m2 ) 2 4π

2 I A =0.37033 ( kg m )

CALCULO DEL ERROR DEL TEORICO Y EXPERIMENTAL ERROR ABSOLUTO:

Ea =¿ I teor−I exp ∨¿

Ea =¿ 0.34863−0.37033∨¿ Ea =0.0 217

ERROR RELATIVO PORCENTUAL E R=

Ea I teor

E R=

0.0 217 0,3483

E R=0.0 62∗100 %

E R=6,23 CALCULO TEORICO Y EXPERIMENTAL DEL DISCO DE STEINER RESPECTO A SU DISTANCIA DE r=0.06m Datos : R=0,20m M=0,685kg CALCULO TEORICO

I A =I D + mr

2

I A =ICM +mr 2 I A =0,34947−8,4∗10

−4

I A =0,34863 kg∗m 2 CALCULO EXPERIMENTAL 2

I A= I A=

K∗T (kg m2) 4 π2

0.0477∗18,82 (kg m2 ) 2 4π

2 I A =0.4274 ( kg m )

CALCULO DEL ERROR DEL TEORICO Y EXPERIMENTAL ERROR ABSOLUTO:

Ea =¿ I teor−I exp ∨¿

Ea =¿ 0.34863−0.37033∨¿ Ea =0.01

ERROR RELATIVO PORCENTUAL

E R=

Ea I teor

E R=

0.01 0,3483

E R=0.02∗100 % E R=2,87 CALCULO

TEORICO Y EXPERIMENTAL DEL DISCO DE STEINER RESPECTO A SU

DISTANCIA DE r=0.08m Datos : R=0,20m M=0,685kg CALCULO TEORICO

I A =I D + mr

2

I A =ICM +mr 2 I A =0,34947−8,4∗10

−4

I A =0,34863 kg∗m 2 CALCULO EXPERIMENTAL

I A=

I A=

K∗T 2 2 (kg m ) 2 4π

0.0477∗20,32 ( kg m2 ) 2 4π

I A =0.48832 ( kg m2 ) CALCULO DEL ERROR DEL TEORICO Y EXPERIMENTAL ERROR ABSOLUTO:

Ea =¿ I teor−I exp ∨¿

Ea =¿ 0.34863−0.37033∨¿ Ea =0.01

ERROR RELATIVO PORCENTUAL E R=

Ea I teor

E R=

0.01 0,3483

E R=0.02∗100 %

E R=2,87 CALCULO

TEORICO Y EXPERIMENTAL DEL DISCO DE STEINER RESPECTO A SU

DISTANCIA DE r=0.1m Datos : R=0,20m M=0,685kg CALCULO TEORICO

I A =I D + mr 2 I A =ICM +mr

2

I A =0,34947−8,4∗10−4 I A =0,34863 kg∗m

2

CALCULO EXPERIMENTAL 2

I A=

K∗T (kg m2) 2 4π 2

I A=

0.0477∗20,3 ( kg m2 ) 4π2

2 I A =0.48832 ( kg m )

CALCULO DEL ERROR DEL TEORICO Y EXPERIMENTAL ERROR ABSOLUTO:

Ea =¿ I teor−I exp ∨¿ Ea =¿ 0.34863−0.37033∨¿

Ea =0.01

ERROR RELATIVO PORCENTUAL E R=

Ea I teor

E R=

0.01 0,3483

E R=0.02∗100 % E R=2,87 CALCULO

TEORICO Y EXPERIMENTAL DEL DISCO DE STEINER RESPECTO A SU

DISTANCIA DE r=0.12m Datos : R=0,20m M=0,685kg CALCULO TEORICO

I A =I D + mr

2

I A =ICM +mr 2 I A =0,34947−8,4∗10

−4

I A =0,34863 kg∗m 2 CALCULO EXPERIMENTAL

I A= I A=

K∗T 2 (kg m2) 4 π2

0.0477∗22,32 ( kg m2 ) 2 4π

2 I A =0.60135 ( kg m )

CALCULO DEL ERROR DEL TEORICO Y EXPERIMENTAL ERROR ABSOLUTO:

Ea =¿ I teor−I exp ∨¿

Ea =¿ 0.34863−0.37033∨¿

Ea =0.01 ERROR RELATIVO PORCENTUAL E R=

Ea I teor

E R=

0.01 0,3483

E R=0.02∗100 %

E R=2,87 CALCULO

TEORICO Y EXPERIMENTAL DEL DISCO DE STEINER RESPECTO A SU

DISTANCIA DE r=0.14m Datos : R=0,20m M=0,685kg CALCULO TEORICO

I A =I D + mr 2 I A =ICM +mr

2

I A =0,34947−8,4∗10−4 I A =0,34863 kg∗m

2

CALCULO EXPERIMENTAL

I A= I A=

K∗T 2 2 (kg m ) 2 4π

0.0477∗24,52 ( kg m2 ) 2 4π

2 I A =0. 72586 (kg m )

CALCULO DEL ERROR DEL TEORICO Y EXPERIMENTAL ERROR ABSOLUTO:

Ea =¿ I teor−I exp ∨¿

Ea =¿ 0.34863−0.37033∨¿ Ea =0.01

ERROR RELATIVO PORCENTUAL E R=

Ea I teor

E R=

0.01 0,3483

E R=0.02∗100 % E R=2,87 CALCULO

TEORICO Y EXPERIMENTAL DEL DISCO DE STEINER RESPECTO A SU

DISTANCIA DE r=0.16m Datos : R=0,20m M=0,685kg CALCULO TEORICO

I A =I D + mr

2

I A =ICM +mr 2 I A =0,34947−8,4∗10

−4

I A =0,34863 kg∗m 2 CALCULO EXPERIMENTAL

I A= I A=

K∗T 2 2 (kg m ) 2 4π

0.0477∗26,52 ( kg m2 ) 4π2

2 I A =0. 84920 (kg m )

CALCULO DEL ERROR DEL TEORICO Y EXPERIMENTAL

ERROR ABSOLUTO:

Ea =¿ I teor−I exp ∨¿ Ea =¿ 0.34863−0.37033∨¿

Ea =0.0 217 ERROR RELATIVO PORCENTUAL E R=

Ea I teor

E R=

0.0 217 0,3483

E R=0.0 623∗100 %

E R=6,23



¿Se verificó el teorema de Steiner? Efectivamente, ya que se pudo demostrar que si el eje de torción es colocado a mayor distancia del centro del disco delgado, este genera una mayor resistencia para realizar el movimiento rotacional

Realice la comparación entre IA experimental y IA teórico. ¿Cuál es su error relativo porcentual?



CALCULO EXPERIMENTAL

I A =0. 84920 (kg m2 )

CALCULO TEORICO

I A =0,34863 kg∗m

2

ERROR RELATIVO PORCENTUAL E R=6,23

8. 9. CONCLUSIONES 

Se logró comprobar la validez del teorema de Steiner en el cual relaciona el momento de inercia de un eje que pasa por el centro de masa, con otro eje paralelo al eje de torción.



Al momento de implementar el teorema de Steiner se debe considerar los momentos de inercia de los diferentes cuerpos rígidos con diferentes geometrías.



Entre más alejada este la masa del centro de rotación, mayor es su momento de inercia.



El teorema de Steiner nos ayuda a conocer el momento de inercia de un cuerpo con respecto a cualquier eje paralelo al centro de masa.

10. RECOMENDACIONES 

Es recomendable a las futuras generaciones que realicen la práctica de “MOMENTO DE INERCIA, TEOREMA DE STEINER” las lecturas sean tomadas por la misma persona para poder reducir en cierta medida el error humano, y que estas lecturas sean tomadas sean tomadas de forma frontal al instrumento.



Se debe mantener el mayor cuidado de los instrumentos y su correcta utilización, ya que de no ser así algún integrante del grupo puede salir lesionado o a su vez los equipos pueden sufrir daños.



Es de suma importancia encerar los instrumentos después de cada medición para evitar lecturas erróneas o desfasada

11. BIBLIOGRAFÍA Locres, S. D., & Pérez, N. P. (2009). Teorema de ejes paralelos aplicados.//The calculation of main axes and inertia momentum/Steiner. Ingeniería Mecánica, 4(3), 57-62. Dubles, W. (23 de Noviembre de 2011) Physic world. Recuperado el 08 de Junio de 2020, de Physicworld; https://portal.cam ins.upc.edu/materials_guia/250131/2012/inertial/Steiner/momentum.pdf Terrel, A. (09 de Enero de 2003) Newton web. Rescuperado el 08 de Junio de 2020, de Newton web; https://es.qwe.wiki/wiki/inertial_(physics)

---------------------------------------------NOMBRE Y FIRMA DEL PROFESOR DE LA ASIGNATURA...