Practica 8. Carga y descarga de un capacitor en un circuito RC PDF

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Practica 8“Carga y descarga de un capacitor en un circuitoRC.”Laboratorio de Física Magaña Téllez SalvadorObjetivos: Relacionar gráficos de diferencia de potencial eléctrico en función del tiempo mediante datos experimentales de diferencia de potencial eléctrico y tiempos de carga y descarga de un c...

Description

Practica 8 “Carga y descarga de un capacitor en un circuito RC.” Laboratorio de Física

Magaña Téllez Salvador

Objetivos: •

•

•

•

Relacionar gráficos de diferencia de potencial eléctrico en función del tiempo mediante datos experimentales de diferencia de potencial eléctrico y tiempos de carga y descarga de un capacitor. Obtener la constante de tiempo característico, a partir de las gráficas de diferencia de potencial eléctrico en función del tiempo en la situación de carga y descarga de un capacitor. A partir de una ecuación exponencial, obtener una ecuación lineal y ajustarla por el método de cuadrados mínimos para obtener, del valor de la pendiente, la constante de tiempo característico. Analizar el principio de conservación de la energía e el circuito eléctrico RC.

Antecedentes: En este guión experimental se estudia el comportamiento de circuitos RC, figura 2. En una primera parte se analiza el fenómeno de carga y en la segunda parte la descarga de un capacitor, y a partir de los datos obtenidos experimentales se calcula la constante de tiempo característica, RC o τ, del circuito.

Figura 2. Circuito Electrico RC en serie. La terminal A permite la carga del capacitor mientras que la terminal B la descarga del mismo V0 representa la diferencia de potencial eléctrico de la fuente de alimentación R al resistor y C al capacitor.

•

CARGA DEL CAPACITOR

Tomando la figura 1 y suponiendo que el capacitor de este circuito está inicialmente descargado y que no existirá corriente eléctrica en tanto el interruptor esté abierto. Si el interruptor se mueve hacia la posición A en el tiempo, t = 0 s, la carga comenzará a fluir, estableciendo una corriente directa en el circuito y el capacitor comenzará a cargarse. Observe que durante la carga, las cargas no saltan de una placa a la otra del capacitor porque el espacio entre las placas representa un circuito abierto. En vez de eso, la carga se transfiere de una placa a la otra y sus alambres de conexión gracias al campo eléctrico que la fuente de alimentación establece en los alambres, hasta que el capacitor queda completamente cargado. Conforme las placas se cargan, la diferencia de potencial eléctrico aplicada al capacitor aumenta, por lo que el valor de la carga máxima en las placas dependerá de la diferencia de potencial eléctrico de la fuente de alimentación. Una vez que se alcanza la carga máxima, la corriente eléctrica es igual a cero ya que la diferencia de potencial eléctrico entre las placas del capacitor es igual a la suministrada por la fuente de alimentación. Para analizar cuantitativamente este circuito nos basamos en las siguientes ecuaciones, las cuales están fundamentadas en la regla de Kirchhoff. 𝑉0 −

𝑑𝑞 𝑞 𝑅− =0 𝑑𝑡 𝐶

A partir de esta ecuación diferencial ordinaria de primer orden, con término independiente constante, llegamos a las siguientes ecuaciones que rigen el comportamiento del circuito RC durante la carga del capacitor. 𝑡

𝑞 = 𝐶𝑉0 (1 − 𝑒 −𝑅𝐶 ) 𝑡

Carga del capacitor de cualquier tiempo “t”

𝑉 = 𝑉0 (1 − 𝑒 −𝑅𝐶 ) Diferencia de potencial eléctrico en el capacitor a cualquier tiempo “t”

𝐼=

𝑉0 𝑅

•

𝑒 −𝑡/𝑅𝐶

Intensidad de corriente eléctrica en el circuito a cualquier tiempo “t”

DESCARGA DEL CAPACITOR.

Supóngase ahora que el capacitor de la figura 2 está completamente cargado, es decir, que V = V0, y en un nuevo tiempo t = 0 s, el interruptor se mueve de la posición A hacia la posición B para que el capacitor pueda descargarse a través del resistor R. La forma en que varía la carga q del capacitor y la corriente I que circula por el circuito de descarga como función del tiempo, estarán definidas por una ecuación diferencial que se obtiene de la segunda regla de Kirchhoff, excepto que ahora, sin fuente de alimentación. 𝑞 𝑑𝑞 𝑅+ =0 𝑑𝑡 𝐶

Resolviendo esta ecuación, llegamos a las siguientes ecuaciones que rigen el comportamiento del circuito RC en su descarga. 𝑞 = 𝑞𝑜 𝑒 −𝑡/𝑅𝐶

Carga del capacitor a cualquier tiempo “t”

𝑉 = 𝑉0 𝑒 −𝑡/𝑅𝐶 Diferencia de potencial eléctrico de capacitor a cualquier tiempo “t” 𝑞

𝐼 = − 𝑅𝐶0 𝑒

𝑡 𝑅𝐶

−

Intensidad de corriente eléctrica en el circuito a cualquier tiempo “t”

Diagrama de Procedimiento Experimental:

Etapa 1. Carga del capacitor en el circuito RC. Conectar en el protoboard el resistor, R, el capacitor, C, y la fuente de alimentación de corriente directa formando un circuito en serie, como el mostrado en la figura 3.

En el caso del multimedidor asegurar que las conexiones corresponden con la propiedad eléctrica que se desea medir (diferencia de potencial eléctrico o corriente eléctrica) y que el indicador del multimedidor está en el valor más grande de la escala elegida para evitar el daño del instrumento. En el caso de la fuente de alimentación de corriente directa, asegurar que ésta no se encuentra encendida al momento de realizar la conexión en el protoboard. Este instrumento sólo deberá de encenderse hasta el momento de iniciar las mediciones requeridas.

Encender el multimedidor y la fuente de alimentación de corriente directa y suministrar con la fuente de alimentación una diferencia de potencial eléctrico. Estos instrumentos no deberán apagarse durante el desarrollo experimental de esta etapa. El tiempo t = 0 s, primer dato experimental, se obtiene en el momento de encender la fuente de alimentación. Medir la propiedad eléctrica (diferencia de potencial eléctrico o corriente eléctrica) durante diferentes lapsos de tiempo hasta que la lectura del multimedidor no varíe.

Resultados: Lectura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

t(s) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260

V (V) 1.70 3.30 4.70 6.05 7.19 8.19 9.01 9.77 10.44 10.97 11.46 11.87 12.24 12.55 12.83 13.08 13.28 13.47 13.62 13.76 13.87 13.98 14.07 14.14 14.22 14.27

Lectura 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

t (s) 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520

V (V) 14.33 14.37 14.41 14.45 14.48 14.50 14.52 14.54 14.56 14.58 14.59 14.60 14.61 14.62 14.63 14.63 14.64 14.65 14.65 14.65 14.66 14.66 14.66 14.67 14.67 14.67

Etapa 2. Descarga del capacitor en el circuito RC. Una vez cargado el capacitor anterior. Apagar la fuente de alimentación del circuito, desconectarla y cerrar el circuito entre el capacitor y el resistor, figura 4. El multimedidor permanecerá conectado. El tiempo t = 0 s, primer dato experimental, se obtiene en el momento de cerrar el circuito entre el capacitor y el resistor.

Medir la propiedad eléctrica (diferencia de potencial eléctrico o corriente eléctrica) del capacitor durante diferentes lapsos de tiempo hasta que la lectura del multimedidor no varíe.

Resultados: Lectura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

t (s) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240

V (V) 14.67 13.14 11.37 9.94 8.64 7.43 6.55 5.70 4.96 4.32 3.76 3.27 2.85 2.49 2.17 1.88 1.65 1.45 1.26 1.10 0.97 0.84 0.74 0.65 0.56

Lectura 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

t (s) 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500

V (V) 0.44 0.38 0.34 0.30 0.26 0.23 0.21 0.18 0.16 0.14 0.13 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.07 0.06 0.05 0.05 0.04 0.04 0.04 0.03 0.03

Lectura 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66

t (s) 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650

V (V) 0.03 0.03 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.01 0.01 0.01 0.01

26

250

0.50

52

510

0.03

Tratamiento de datos. Realizar el producto de la resistencia eléctrica del resistor, R, por el valor de la capacitancia del capacitor, C, para obtener el valor del tiempo característico “t”. Este valor será considerado como el tiempo característico teórico.

Valor de la Resistencia (R): 216,000 Ω Valor capacitancia (C): 323x10-6 F 𝑡 = (216,000 Ω)(323x10 −6 𝐹 ) = 𝟔𝟗. 𝟕𝟔𝟖 𝒔 Graficar la diferencia de potencial eléctrico como función del tiempo para el proceso de carga y descarga del capacitor.

Para carga del capacitor:

∆V vs t 16 14 12

∆V (V)

•

10

8 6 4 2 0 0

100

200

300

t (s)

400

500

600

•

Para descarga del capacitor

∆V vs t 16 14

∆V (V)

12

10 8 6 4 2 0 0

100

200

300

400

500

600

700

t (s)

Con los datos experimentales obtenidos en el proceso de descarga del capacitor, realizar un gráfico de lnV como función del tiempo y ajustar la recta resultante por el método de los cuadrados mínimos.

Proceso de Descarga

X t (s)

Y ln (V)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

2.68580459 2.57566101 2.43097831 2.29656702 2.15640258 2.00552586 1.87946505 1.74046617 1.60140574 1.4632554 1.32441896 1.18478998 1.04731899 0.91228271 0.77472717 0.63127178

160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610

0.50077529 0.37156356 0.23111172 0.09531018 -0.03045921 -0.17435339 -0.30110509 -0.43078292 -0.5798185 -0.69314718 -0.82098055 -0.96758403 -1.07880966 -1.2039728 -1.34707365 -1.46967597 -1.56064775 -1.71479843 -1.83258146 -1.96611286 -2.04022083 -2.20727491 -2.30258509 -2.40794561 -2.52572864 -2.65926004 -2.65926004 -2.81341072 -2.99573227 -2.99573227 -3.21887582 -3.21887582 -3.21887582 -3.5065579 -3.5065579 -3.5065579 -3.5065579 -3.5065579 -3.91202301 -3.91202301 -3.91202301 -3.91202301 -3.91202301 -3.91202301 -3.91202301 -3.91202301

620 630 640 650

-4.60517019 -4.60517019 -4.60517019 -4.60517019

𝐥𝐧 ∆𝑽 = −

𝟏 𝒕 𝑹𝑪

𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃

m

b

Sm

Sb

Sy

-0.011386876

2.325337174

0.000168511

0.06348105

0.260797142

ln (V) vs t

y = -0.0114x + 2.3253

4 3 2

lnV (V)

1 0 -1 0

100

200

300

400

500

-2 -3 -4 -5 -6

t (s)

−

1 =𝑚 𝑅𝐶

𝑅𝐶 = −

𝑅𝐶 =

1 𝑚

−1 = 𝟖𝟕. 𝟖𝟐 𝒔 −0.011386876 RC= 87.82 s

600

700

Valor Teórico Valor por Cuadrados mínimos

69.768 s 87.82 s

Conclusión: Conforme a los datos experimentales recabados se pudo determinar la constante del tiempo característico por el método de cuadrados mínimos y un cambio de variable en el cual se aplicó logaritmo natural de la diferencia de potencial. Hecho esto se prosiguió a realizar regresión lineal que se pudo corroborar con una gráfica de ln(V) vs t. El valor de la constante RC se pudo determinar mediante el despeje de la 1 ecuación: − = 𝑚, conocido este ultimo se puede hacer una comparación entre 𝑅𝐶

el valor teórico y el obtenido experimentalmente, en el cual podemos concluir que los cálculos determinados no se pudieron hacer de la mejor manera, causa de ello es que obtuvimos una relación completamente lineal en la determinación de nuestra constante.

Siempre y cuando exista un capacitor en serie en un circuito este se comportara como circuito RC. Ahora si el capacitor está siendo cargado su voltaje aumenta y la diferencia de potencial del resistor disminuye al igual que la corriente, obviamente la carga aumenta de forma exponencial y tiende asintóticamente hacia un valor final Q de carga, contrario sucede con la corriente ya que este tiende asintóticamente hacia cero. Al descargar el capacitor lo que aumenta es la corriente y disminuye la carga, su comportamiento es el mismo para cuando se carga el capacitor, su crecimiento (corriente) y decrecimiento (carga) se hace exponencialmente. Todo esto ocurre durante un instante de tiempo igual a RC.

Cuestionario: Compara los diferentes valores obtenidos para la constante de tiempo del circuito RC, e indica cuál es el más exacto y por qué. R= el método por cuadrados mínimos es el mas exacto, ya que arroja el tiempo que realmente nos tardamos en realizar la descarga del capacitor, el teórico no es tan exacto ya que es mas como una suposición muy cercana a la realidad del tiempo que nos tardamos en realizar la descarga del capacitor.

Demuestra que el producto de la resistencia eléctrica y la capacitancia tiene unidades de tiempo. Resistencia (R) Ω (ohm) =

𝑚2 𝐾𝑔 𝑠 3 𝐴2

Capacitancia (C) 𝐹 (𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑 ) = 𝑹𝑪 = 𝜴𝑭 = (

𝑠 4 𝐴2 𝑚2 𝑘𝑔

𝒎𝟐𝑲𝒈 𝒔𝟒𝑨𝟐 ) ( 𝟐 ) = 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 (𝒔) 𝒔𝟑𝑨𝟐 𝒎 𝒌𝒈

Ejercicio 1. Considera un circuito RC de carga con resistencia de 58 kΩ, capacitancia de 1.6 μF alimentados por una fuente de alimentación de corriente directa de 14 V. Si al t = 0 s, se comienza el proceso de carga del capacitor, determina. A) La carga y la energía almacenada en el capacitor al tiempo t = 60 ms. 𝑞 = 𝐶𝑉 (1 −

𝑡 ) 𝑒 (−𝑅𝐶 ) ;

𝑞 = (1.6𝑥10 𝐹 )(14 𝑉 ) (1 − −6

= 𝟏. 𝟎𝟔𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟓𝑪

60𝑥10−3 𝑠 (− 3 Ω)(1.6x10−6 𝐹 )) ( 58𝑥10 ) 𝑒

B) La intensidad de corriente en el circuito al tiempo t = 60 ms. 60𝑥10 𝑠 14 𝑉 𝑉 (− 𝑡 ) ) (− (58𝑥103 Ω)(1.6x10−6 𝐹) ) = 𝟏. 𝟐𝟔𝟒𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟒𝑨 ) (𝑒 𝐼 = 𝑒 𝑅𝐶 ; 𝐼 = ( 3 58𝑥 10 Ω 𝑅 −3

C) La energía disipada por el resistor desde t = 0 s hasta t = 60 ms.

) (14𝑉 )2 (1.6𝑥 10−6 𝐹) (58𝑥10 Ω)(1.6x10 2(360 𝑥10−3 𝑠) −6 𝐹) ) (− 𝐸𝐷 = (1 − 𝑒 (1 − 𝑒 2 2 = 𝟏. 𝟏𝟑𝟕𝟕𝒙𝟏𝟎−𝟒𝑱

𝑉 2𝐶

2𝑡 (− 𝑅𝐶) ) ;

𝐸𝐷 =

D) La energía suministrada por la fuente de alimentación desde t = 0 s hasta t= 60 ms. 𝐸𝑠 = 𝑉 𝐶 (1 − 𝑒 2

(−

𝑡 ) 𝑅𝐶 ) ;

𝐸𝑠 = (14𝑉) 1.6𝑥 10 𝐹 ) (1

= 𝟏. 𝟒𝟗𝟑𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟒𝑱

2(

−6

60𝑥10−3 𝑠 (−(58 3 Ω)(1.6x10−6 𝐹)) 𝑥 10 ) −𝑒

Bibliografía. Resnick, R.; Halliday, D.; Física. Editorial Compañía Editorial Continental, 1994. Sears, F.; Zemansky, M.; Young, H.; Freedman, R.; Física universitaria. Novena edición. Editorial Addison Wesley Iberoamericana. México, 1998. Serway, R. A.; Física. Cuarta edición. Editorial Mc Graw Hill, 1996. Jaramillo, G.; Alvarado, A.; Electricidad y magnetismo. Segunda Edición. Editorial Trillas. México, 2004....