Practica calculo 1 PDF

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSUniversidad del Perú, Decana de AméricaVICERRECTORADO ACADÉMICO DE PREGRADOESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES NOTAPRÁCTICA CALIFICADA N°ÁREA: INGENIERÍA CURSO: CÁLCULO IESCUELA PROFESIONAL: ..............................................................................

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, Decana de América

VICERRECTORADO ACADÉMICO DE PREGRADO ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES

NOTA

PRÁCTICA CALIFICADA N°01 INGENIERÍA

ÁREA:

ESCUELA PROFESIONAL: …………………………………………………………………. SEMESTRE:

2020-2

ALUMNO:

………………………………………………………………………………………………..

DOCENTE:

Mg. Jaime Rolando Rojas Huacanca

SECCIÓN:

8

CURSO:

CÁLCULO I

CICLO:

I

FECHA:

24/noviembre

CÓDIGO:

……..……………..

Rúbrica de Evaluación (Para cada problema):  [Puntos: 100%] Resuelve correctamente , presenta de forma ordenada y con nitidez.  [Puntos: 75%] Resuelve correctamente, no presenta de forma ordenada o sin nitidez.  [Puntos: 50%] Plantea y realiza las operaciones correctamente, presenta de forma ordenada y clara, pero no llega a la respuesta.  [Puntos: 25%] Plantea correctamente, pero los cálculos operacionales son incorrectos.  [Puntos: 0%] Resuelve incorrectamente o no presenta la solución.

PROBLEMAS PROPUETOS 1. [5 pts] Discutir las siguientes relaciones de 𝑅 en 𝑅 definida por: 𝑅 = {(𝑥; 𝑦) є 𝑅² /4𝑥² + 4𝑦² − 12𝑥 + 24𝑦 + 9 = 0} Solución: Paso 1: en la condición de 𝑅 se observa que es una ecuación de la circunferencia 4𝑥² + 4𝑦² − 12 𝑥 + 24𝑦 + 9 = 0 Completando cuadrado se tiene la circunferencia en su forma ordinaria. 𝑥² + 𝑦² − 3𝑥 + 24𝑦 + 9 = 0 2 3 (𝑥 − ) + (𝑦 + 3)2 = 32 2 3 Donde, 𝐶(ℎ, 𝑘) = 𝐶 ( , −3) y 𝑟 = 3. 2 Paso 2: Graficar

Paso 3: intersección con los ejes coordenados

Eje X: 𝑦 = 0 ⟹ 𝑥 = 2 9 Eje Y: 𝑥 = 0 ⟹ + (𝑦 + 3)2 = 9 ⟹ (𝑦 + 3)2 = 27⟹ 𝑦 = −3 ± √27 2 4 Paso 4: Dominio4 y Rango de 𝑅 a partir de la gráfica 𝐷𝑜𝑚(𝑅) = [−1.5, 4.5] y 𝑅𝑎𝑛(𝑅) = [−6, 0] 3

2. [5 pts] Hallar el domino, rango y esbozar su grafica de la función: 𝑥 2 + 10𝑥 + 21; 𝑠𝑖|𝑥 − 3| > 6 (|𝑥 2 − 4|); 𝑠𝑖 |𝑥| ≤ 3 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑔𝑛 𝑥+6 𝑠𝑖 3 < 𝑥 < 9 { ⟦ 3 ⟧; Solución: Paso 1. Redefiniendo la función 𝑓1 (𝑥) = (𝑥 + 5)2 − 4; 𝑥 > 9 ∨ 𝑥 < −3 −1; |𝑥 2 − 4| < 0 ∧ |𝑥| ≤ 3 𝑓2 (𝑥) = { 0; |𝑥 2 − 4| = 0 ∧ |𝑥| ≤ 3 1; |𝑥 2 − 4| > 0 ∧ |𝑥| ≤ 3 Se observa que, cuando la función 𝑓2 (𝑥) = −1; |𝑥 2 − 4| < 0 ∧ |𝑥| ≤ 3, la inecuación no tiene solución, entonces. 0; 𝑥 ± 2 𝑓2 (𝑥) = { 1; 𝑥 ∈ [−3, 3] − {±2} 𝑥 +6 𝑓3 (𝑥) = ⟦ ⟧;3 < 𝑥 < 9 3 𝑥 𝑓3 (𝑥) = ⟦ ⟧ + 2 ; 3 < 𝑥 < 9 … (∗) 3 𝑥 𝑥 Como 3 < 𝑥 < 9 ⟹ 1 < 3 < 3 ⟹ ⟦3⟧ = 1 o 2. Entonces 𝑥 1 𝑠𝑖 1 ≤ < 2 ⟹ 3 ≤ 𝑥 < 6 𝑥 3 ⟦ ⟧={ 𝑥 3 2 𝑠𝑖 2 ≤ < 3 ⟹ 6 ≤ 𝑥 < 9 3 Remplazando en (∗) 3; 3≤𝑥 9 ∨ 𝑥 < −3 0; 𝑥 ± 2 𝑓(𝑥) = 1; 𝑥 ∈ [−3, 3] − {±2} 3; 3≤𝑥 ≤00 𝐻(𝑥) = { −3𝑥 2 − 6𝑥 + 2 a) Pruebe que 𝐻 es una función estrictamente decreciente. b) Halle 𝐻 −1. Luego grafique 𝐻 y 𝐻 −1 en el mismo plano. Solución a) Redefiniendo la función 𝐻 se tiene (𝑥 − 1)2 + 1; 𝑥 ≤ 0 𝐻(𝑥) = { −3(𝑥 + 1)2 + 5; 𝑥 > 0 Una función 𝐻 es estrictamente decreciente, 𝑠𝑖 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝐻(𝑎) > 𝐻(𝑏) ; ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝐻) = ℝ Para: 𝐻1 (𝑥) = (𝑥 − 1)2 + 1; 𝑥 ≤ 0. Sean 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝐻1 ) 𝑎 < 𝑏 ≤ 0 ↔ 𝑎 − 1 < 𝑏 − 1 ≤ −1 ↔ (𝑎 − 1)2 > (𝑏 − 1)2 ≥ 1 (𝑎 − 1)2 + 1 > (𝑏 − 1)2 + 1 ↔ 𝐻1 (𝑎) > 𝐻1 (𝑏) Para: 𝐻2 (𝑥) = −3(𝑥 + 1)2 + 5; 𝑥 > 0. Sean 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝐻2 ) 0 < 𝑎 < 𝑏 ↔ 1 < 𝑎 + 1 < 𝑏 + 1 ↔ (𝑎 + 1)2 < (𝑏 + 1)2 −3(𝑎 + 1)2 > −3(𝑏 + 1)2 ↔ −3(𝑎 + 1)2 + 5 > −3(𝑏 + 1)2 + 5 ↔ 𝐻2 (𝑎) > 𝐻2 (𝑏) Como 𝐻1 y 𝐻2 son estrictamente decrecientes. Entonces, 𝐻 es estrictamente decreciente. Solución b) Hallando 𝐻 −1 Paso 1. 𝐻1 y 𝐻2 son inyectivas porque 𝐻1 y 𝐻2 son estrictamente decrecientes en sus dominios correspondientes. Paso 2. Determinando los rangos de 𝐻1 y 𝐻2 . 𝐻1 es decreciente en ⟨−∞, 0] ⇒ 𝑅𝑎𝑛(𝐻1 ) = [𝐻1 (0), +∞⟩ = [2, +∞⟩ 𝐻2 es decreciente en ⟨0, +∞⟩ ⇒ 𝑅𝑎𝑛(𝐻2 ) = ⟨−∞, 𝐻2 (0)⟩ = ⟨−∞, 2⟩ Siendo 𝐻1 y 𝐻2 inyectivas y 𝑅𝑎𝑛(𝐻1 ) ∩ 𝑅𝑎𝑛(𝐻2 ) = ∅, 𝐻 es inyectiva, entonces ∃𝐻−1. Paso 3. Obtención de la función 𝐻 −1. En 𝐻1 : 𝑦 = 𝐻1 (𝑥 ); 𝑥 ≤ 0 Dado que 𝑦 = (𝑥 − 1)2 + 1 ⟹ 𝑥 = 1 − √𝑦 − 1 ⟹ 𝐻1−1(𝑥) = 1 − √𝑥 − 1 ; 𝑥 ∈ 𝑅𝑎𝑛(𝐻1 ) En 𝐻2 : 𝑦 = 𝐻2 (𝑥); 𝑥 > 0 Dado que 𝑦 = −3(𝑥 + 1)2 + 5 ⟹ 𝑥 = −1 + √ ⟹ 𝐻2−1(𝑥) = −1 + √ Por tanto

𝐻 −1(𝑥) =

5−𝑥 ; 𝑥 ∈ 𝑅𝑎𝑛(𝐻2 ) 3

1 − √𝑥 − 1 ; 𝑥 ∈ [2, +∞⟩

5−𝑥 −1 + √ ; 𝑥 ∈ ⟨−∞, 2⟩ 3 { Paso 4. Grafica de 𝐻 y 𝐻 −1.

5−𝑦 3...