Práctica - Mediciones no reproducibles. Prof. Alejandro González y Hernández PDF

Preview

Summary

Reporte 3, Mediciones no reproducibles, prof. Alejandro González y Hernández...

Description

Actividad Experimental III Mediciones no reproducibles Alain Acevedo Mejía Equipo 3 Laboratorio de Mecánica Grupo 8022 Segundo Semestre Prof. Alejandro González y Hernández Ay. Ismael Ponce Rosas Cd. de México Lunes 5 de marzo del 2012

Mediciones no reproducibles Resumen

Introducción

La actividad realizada tuvo el fin de medir indirectamente, a través del uso de mediciones no reproducibles y análisis estadísticos, la magnitud de la fuerza de gravedad generada por la Tierra en el sitio de realización del experimento. El procedimiento empleado, consistió a grandes rasgos, de la medición de la altura alcanzada en el primer rebote de una pelota de golf al dejarse caer desde una altura de un metro, así como del cronometraje del tiempo empleado por el cuerpo desde que toca el suelo por primera vez hasta que lo vuelve a tocar. Por medio del uso del promedio y desviación estándar de los datos obtenidos tras doscientas mediciones, así como de fórmulas físicas conocidas, se llegó a obtener una buena aproximación al valor conocido de g. En un primer acercamiento a la realización del experimento, se efectuaron las mediciones sin el uso de un dispositivo adecuado que permitiera eliminar los errores sistemáticos y disminuir al máximo los errores causados por los factores aleatorios involucrados en la medición. Tras la exploración se hizo una lista de las principales fuentes de error que no se tomaron en cuenta con el fin de corregirlas y obtener después un valor más acertado de la gravedad. Con esto pudimos apreciar después una notable diferencia entre los resultados de nuestra exploración y los del experimento realizado con la utilización de un mecanismo más adecuado para nuestros fines. Con la actividad realizada pudimos comprobar que existen importantes diferencias cuando se trabaja con mediciones no reproducibles. Las dificultades que esto representó fueron superadas a través del uso de medidas estadísticas y de la agrupación de las mediciones en clases, lo que facilitó su manejo y la realización de los cálculos. El análisis de los resultados y su interpretación fue de este modo llevado a cabo con mayor facilidad. La graficación de los histogramas correspondientes de y de la Gaussiana que se ajustó a estos, nos permitió concluir con mayor seguridad que el valor obtenido fue realmente cercano al conocido.

En el trabajo de laboratorio es frecuente encontrarse con mediciones que varían considerablemente cada vez que se llevan a cabo, aún cuando se usa el mismo instrumento y procedimiento. Estas mediciones, en las cuales el valor absoluto de la diferencia entre los valores máximos y mínimos obtenidos son mayores que la resolución del instrumento, son conocidas como mediciones no reproducibles. Las mediciones no reproducibles deben manejarse con una aproximación diferente que las que sí lo son. Debemos auxiliarnos del uso de la estadística para obtener el valor que será reportado como el más probable, y del mismo modo para calcular la incertidumbre. Esto puedo involucrar la realización de una gran cantidad de cálculos aritméticos, por lo que resulta conveniente sistematizar este proceso y buscar la forma de simplificarlo sin que esto suponga una pérdida en la precisión de la medida. El ejemplo tratado en nuestra actividad es el de la medición de la fuerza de gravedad en el laboratorio, por lo que se hablará brevemente sobre la teoría relacionada. La gravedad es una de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza que considera la física moderna. Es también, sin embargo, una de las primeras que se estudió con un método científico. Galileo Galilei (1564-1642) fue el primero en llevar esta tarea a cabo. Sus estudios sobre el plano inclinado y el péndulo lo llevaron a contradecir las creencias aristotélicas que persistían aún en su tiempo, lo que significó un cambio de paradigma para la naciente ciencia física. Galileo concluyó que la masa de los cuerpos no afecta la velocidad de su caída o desplazamiento en un plano, y que este movimiento presenta una aceleración constante. Es además notable el hecho de que haya llegado a estas conclusiones careciendo totalmente de instrumentos con una precisión como la de los que tenemos ahora. Sin duda su ingenio y dedicación en la experimentación fueron fundamentales para el éxito que tuvo en sus

experimentos. Sin embargo, no fue hasta Isaac Newton que se asentó firmemente el conocimiento de la mecánica clásica sobre la fuerza de gravedad. Sabemos ahora que la altura recorrida por un cuerpo en caída libre, en el vacío, es el producto de un medio de la fuerza de gravedad por el cuadrado del tiempo. Pero no debemos olvidar que en la gran mayoría de las caídas libres que acontecen sobre la superficie terrestre se ven afectadas por la resistencia del aire y otros factores como la rotación del planeta. En nuestro experimento, no se consideraron significativos estos fenómenos para el cálculo del valor de la gravedad. Más aún, con la llegada de la Relatividad, la fuerza de gravedad fue vista como una ilusión generada por la curvatura de la geometría del espacio-tiempo debida a la masa. Esto, claro, escapa ya de la mecánica clásica, por lo que no ahondaremos más en ello.

Objetivo La práctica fue llevada a cabo con el objetivo principal de obtener mediante la experimentación y el análisis de mediciones no reproducibles un valor aproximado a la magnitud conocida de la fuerza de gravedad. Para ello se realizaron doscientas mediciones no reproducibles de la altura y el tiempo empleado en el rebote de una pelota de golf, se obtuvieron medidas estadísticas de los datos, se agruparon las medidas en clases, se graficaron y se concluyó con un valor aproximado que representa el más probable en un intervalo posible.

Descripción comentada e ilustrada del dispositivo experimental Las fotografías que se muestran fueron tomadas con una cámara Lumix, de la compañía Panasonic, modelo DMC-FH2PU-R, sin hacer uso de flash. La resolución original de las imágenes fue de 4320 x 3240 píxeles (14 megapíxeles), sin embargo, fueron reducidas a 640 x 480 píxeles con el fin de ajustarlas al presente reporte y disminuir el uso de memoria del archivo.

El equipo utilizado durante la actividad se describe a continuación: 1. Regla de un metro de madera

Fotografía 1. Regla de madera recargada en un banco del laboratorio.

Escala: 1 cm Incertidumbre: 0.5 cm La regla utilizada para las mediciones de la altura alcanzada por el primer rebote de la pelota fue una regla de un metro, de madera, con una escala en centímetros. Ya que las mediciones se hicieron a simple vista, una mayor resolución del instrumento hubiera sido de poca ayuda. 2. Una pelota de golf La pelota de golf empleada era de color blanco y presentaba el característico patrón en su superficie de las pelotas de golf, que consiste básicamente de una cantidad par de alveolos que la vuelven más aerodinámica. Presentaba ya un uso considerable. Podía observarse en ella un deteriorado impreso con el texto “ProStar 3”, seguramente haciendo referencia al tipo de pelota del que se trataba. Esto puede observarse en la siguiente fotografía.

4. Soporte universal Se utilizo con el fin de fijar un dispositivo para soltar la pelota de golf sin proporcionarle impulso alguno, de modo que la caída ocurriera siempre de la forma más parecida posible. 5. Varilla Fue empleada para fijar unas pinzas al soporte universal. 6. Nuez Fotografía 2. Pelota de golf utilizada.

3. Cronómetro

Empleada para sujetar la varilla al soporte universal. 7. Pinzas Parte indispensable del dispositivo, se usaron para controlar la forma en que la pelota de golf era soltada. El dispositivo completo se muestra a continuación.

Fotografía 3. Cronómetro Casio empleado para medir el tiempo.

Escala: 0.01 segundos Incertidumbre: 0.005 segundos El cronómetro empleado era un cronómetro marca Casio de color negro. Poseía una pequeña correa y tenía dos botones en su parte superior, uno para iniciar y detener la cuenta del tiempo y otro para reiniciar el contados. 4. Nivel Como su nombre lo indica, fue usado para nivelar correctamente la posición de la regla con respecto al piso. Esto con el fin de eliminar errores sistemáticos causados por una desviación de la regla.

Fotografía 4. Dispositivo montado.

Exploración Durante la exploración se observó con detenimiento la pelota golf. Se observó que rebotaba con gran facilidad y que al soltarla con la mano era difícil evitar darle un pequeño impulso que la hacía girar en una u otra dirección. Sus alveolos o muescas modificaban de forma considerable sus propiedades aerodinámicas. Sin usar aún un dispositivo como el descrito anteriormente, se realizaron cien mediciones, en las cuales el cuatro integrantes del equipo nos fuimos alternando en las labores de la toma de medidas. En esta parte de la exploración se empleó únicamente la regla de madera, el cronómetro Casio y la pelota de golf proporcionada. Todo esto condujo a mediciones poco precisas con una gran dispersión de los datos.

medidor para iniciar y detener el cronómetro. c) La incertidumbre y el error del cronómetro. d) Variaciones en la altura de la cual era soltada la pelota. e) Variaciones en el ángulo de caída de la pelota. f) Variaciones en el tiempo de la trayectoria de la pelota durante el rebote debidas al punto con que la pelota toca el piso, pues esta presenta alveolos. Fuentes de error en la altura: a) Punto de perspectiva del observador. b) Posición en la que se situaba la regla. c) Percepción visual del medidor. e) Variaciones en la altura de la cual era soltada la pelota. d) La incertidumbre y el error de la regla. e) Imperfecciones del suelo que alteraban el rebote de la pelota. f) Imperfecciones de la pelota que afectaban su rebote. Tras haber realizado estas observaciones de propusieron las siguientes modificaciones a la realización del experimento para mejor la medición. Algunas de ellas se llevaron a cabo:

Fotografía 5. Material empleado durante la exploración.

Tras meditar concienzudamente las posibles causas de error durante estas mediciones realizadas en la exploración, enlistamos las que consideramos de mayor relevancia: Fuentes de error en el tiempo: a) Deficiencias en el tiempo de reacción del medidor al usar el cronómetro. b) Diferencia en el criterio empleado por cada

1. Fijar cuidadosamente la regla de forma ortogonal al piso. 2. Buscar una región lo más plana posible del suelo. 3. Montar un dispositivo para soltar la pelota de modo que su caída se efectúe siempre del modo más similar posible. 4. Utilizar una pelota lo más esférica posible, con una densidad uniforme. 5. Fijar un criterio para el momento en que inicia y detiene el contador del cronómetro, o, de ser posible, utilizar un temporizador. 6. Emplear una regla y un cronómetro con mayor resolución. 7. Fijar la altura de observación para quien mida la altura del rebote, de modo que su perspectiva siempre sea la misma. 8. Videograbar el experimento para después poder analizarlo con otros métodos, como el uso de un software especialmente diseñado para ello. Así se concluyó el proceso de exploración y se pasó al planteamiento de la hipótesis.

Hipótesis La implementación de un dispositivo que permita un mayor control sobre la toma de mediciones de la caída de la pelota disminuirá notoriamente la dispersión de los datos obtenidos, con lo que podremos obtener un valor de g cercano al valor conocido. El análisis estadístico de los datos nos proporcionará una idea de la incertidumbre que tendremos en nuestro valor más probable, y esto será representado en parte por la gaussiana que ajustaremos a nuestros histogramas. Las gráficas nos permitirán interpretar mejor los resultados obtenidos.

Tabla 2. Mediciones de las alturas

Tablas de datos con incertidumbre y unidades

Para las alturas las medidas estadísticas obtenidas fueron:

Las tablas con el total de las mediciones realizadas se anexan al final del reporte. Se presentan aquí solamente los valores principales utilizados para la realización de las gráficas. Tabla 1. Mediciones de los tiempos Clase Frecuencia

Intervalo [a,b)

Valor medio

1

2

61-65

63

2

4

65-69

67

3

9

69-73

71

4

31

73-77

75

5

63

77-81

79

6

67

81-85

83

7

15

85-89

87

8

9

89-93

91

Clase Frecuencia Intervalo [a,b)

Valor medio

1

2

73-75

74

2

5

75-77

76

3

16

77-79

78

4

95

79-81

80

5

79

81-83

82

6

2

83-85

84

7

1

85-87

86

x =80.54 m

σ=0.76 m

Gráficas Los datos fueron agrupados en ocho clases por considerarse un número adecuado para la cantidad de datos recolectados durante las mediciones. La incertidumbre de las mediciones será de 0.005 segundos para el histograma de tiempos. Gráfica 1. Histograma de los tiempos

Con estos datos fueron calculados el promedio y la desviación estándar de las alturas obtenidas. Los valores son los siguientes: x=80.10

s 100

σ=1.90

s 100

Del mismo modo se realizó el cálculo para las alturas, donde la dispersión de los datos fue aún menor.

De modo análogo se procedió con las

alturas. Gráfica 4. Gaussiana para las alturas. Gráfica 2. Histograma de las alturas

En esta gráfica, la incertidumbre de las mediciones sería de 0.5 cm o lo que es lo mismo 0.005 m. Aunque más relevante es la desviación estándar calculada previamente, pues es una medición no reproducible. Las gráficas de las gaussianas se muestras a continuación. En ellas las frecuencias de las clases se indican con puntos que están sobre el centro de cada clase, es decir, sobre el valor medio. Gráfica 3. Gaussiana para los tiempos.

Interpretación de gráficas En las gráficas se observa una clara distribución normal, que aunque no perfecta, sí nos permite trazar una gaussiana que la ajuste de forma muy precisa. Esto nos indica que nuestro experimento ha arrojado resultados que están todos muy cercanos a la media, lo que se traduce en una desviación estándar pequeña que está dentro de lo que cabría esperar con los métodos empleados. En el histograma de los tiempos, así como en su gaussiana, se observa una dispersión ligeramente mayor que la que se presenta en la de las alturas. Consideramos que esta dispersión se debe en gran medida a los errores provocados por las variaciones en la velocidad de reacción del medidor al utilizar el cronómetro. Este problema pudo ser solucionado montando un dispositivo más sofisticado que hiciera uso de un temporizador, con lo cual la dispersión de los tiempos seguramente disminuiría, a costa de un sistema experimental más complejo. En las gráficas de las alturas los valores se encontraron significativamente más concentrados. En parte debido seguramente a que la medición de las alturas era más fácil de llevar a cabo con el método utilizado que la de los tiempos. Cuando la pelota alcanza su altura máxima también alcanza su velocidad mínima, pasado por una velocidad nula. Esto facilita la observación de la altura que alcanza en ese momento. Mucho más difícil sería,

tenemos que:

por ejemplo, observar que altura ha recorrido la pelota después de un segundo, pues para ese momento su velocidad sería mayor.

Cálculo de parámetros con sus incertidumbres

δ g=1.99

De modo que tendríamos que:

El promedio y desviación estándar para los tiempos fueron: x=80.10

s 100

σ=1.90

s 100

Sin embargo, para obtener el valor de g lo que nos interesa es la mitad de este valor, pues en su rebote, al subir y bajar, la altura que nos interesa es recorrida dos veces: σ t=( τ ± τ )s 2 2

g=(10.04±1.99)

Discrepancia=∣g−gt ∣ De modo que nuestra discrepancia es de 0.26

Y de Galileo nosotros teníamos que: 1 h= gt² 2 Así que el valor que buscamos es: g=

2h t²

Con lo que concluimos que nuestro valor aproximado es de: g=10.04

m s²

Y haciendo los cálculos para la incertidumbre de este valor, a partir de la desviación estándar,

m s²

Así que el valor porcentual sería:

∣g −g t∣

Y para la altura quedaría como ya habíamos calculado: h=(0.8054±.0 .0076)m

m s²

Ahora veamos cuál es la discrepancia con el valor conocido de g. Tomaremos como referencia un m , el valor en la Ciudad de valor de g=9.78 s² México.

De modo que nuestro tiempo sería, utilizando como unidad los segundos: t=(0.4005±0.0095)s

m s²

gt

∗100=2.66

El valor es notoriamente menor al 10%, por lo que concluimos que los procedimientos seguidos nos permitieron obtener una medición con gran precisión, sobre todo en comparación con las realizadas durante la exploración.

Resultados Después de haber realizado el experimento con el dispositivo descrito, y de haber llevado a cabo el análisis estadístico de los datos, se pudo llegar a un valor de g muy cercano al valor conocido. En resumen obtuvimos: g=10.04

m s²

Con una discrepancia con el valor conocido de solo 0.26 m/s², o porcentualmente de 2.66%.

Las gráficas nos muestran del mismo modo que todas nuestras mediciones estuvieron muy cercanas al valor promedio, con una dispersión casi perfectamente normal.

Análisis de resultados Los resultados obtenidos nos muestran que al realizar mediciones no reproducibles es indispensable procurar en lo posible eliminar todo error sistemático y disminuir al máximo los errores aleatorios. Durante la exploración las mediciones que se llevaron a cabo estuvieron sumamente dispersas, debido a múltiples fallas que aumentaron considerablemente los errores en las medidas. Una vez que se propusieron medidas a seguir para disminuir estos errores, y que se implementaron estas en la medida de lo posible, la dispersión de los datos decreció notoriamente. El análisis estadístico fue fundamental para el estudio de los datos obtenidos. La clasificación de los datos ordenados en clases nos permitió un procesamiento más sencillo de la información, lo que facilitó notoriamente llegar a resultados significativos. El valor obtenido de g está sin duda dentro de lo esperado, pues es sumamente cercano al valor conocido para la Ciudad de México. La discrepancia y la discrepancia porcentual son muy pequeñas, lo que da mayor fiabilidad a nuestro experimento. Sin embargo, no podemos ignorar que la incertidumbre que obtuvimos para nuestro valor es considerablemente grande. Ello es sin duda en parte debido a que en las mediciones no reproducibles debemos utilizar la desviación estándar como herramienta para obtener las incertidumbres, lo que tiende a arrojar valores considerablemente mayores a los que suelen

obtenerse en mediciones reproducibles. Esto nos permite ver la importancia de tomar una muestra considerablemente grande de mediciones y de llevar a cabo cada una de ellas con mayor rigor posible.

Conclusiones La implementación de un dispositivo que permita sistematizar la realización de las mediciones, con la menor intervención humana posible, es fundamental para obtener una menor dispersión de los datos cuando se llevan a cabo mediciones no reproducibles. Esto nos lleva a afirmar q...