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PRÁCTICA NÚMERO 1 Uso de la balanza analítica y método de mínimos cuadrados

OBJETIVOS General  Comprender cómo el uso de la balanza analítica y el método de mínimos cuadrados nos ayudará a lo largo de nuestra carrera. Específicos  Entender el uso correcto de una balanza analítica.  Identificar cuáles son las características de una balanza analítica, por ejemplo, su peso límite al hacer uso de esta.  Comprender el método de mínimos cuadrados.  Aplicar el método de mínimos cuadrados con los valores dados por el docente.

INTRODUCCIÓN Antes de empezar la práctica debemos tener claros algunos conceptos, pues serán con los que trabajaremos y además son conceptos que nos seguiremos encontrando en el futuro. Los primero son los términos “masa” y “peso”, estos tienen una gran relevancia y es por ello que se necesita comprender de manera correcta. La masa es una propiedad característica de un cuerpo, esta se relaciona con el número y clase de partículas que lo conforman, sus unidades de medida son: lo kilogramos, gramos, toneladas, libras, entre otros, por otro lado, el peso es la fuerza con la que lo atrae la tierra y depende de la masa de este, sus unidades de medida son: Newtons, kg-fuerza, libras-fuerza, onzas-fuerza, etc. Explicado lo anterior, la balanza analítica es un instrumento que tiene como función medir la masa, es utilizada para medir masas en pequeñas proporciones. Esta balanza es muy exacta, y es por eso mismo que se ocupa en el laboratorio debido a que los resultados analíticos tienen que ser muy precisos para demostrar efectividad sobre cualquier experimento que se esté elaborando. Las balanzas analíticas modernas pueden ofrecer valores de Ilustración 1: Balanza analítica precisión de lectura de 0,1 µg a 0,1 mg. Para que la balanza analítica tenga un buen funcionamiento se deben de considerar las siguientes condiciones ambientales: mantener una temperatura constante, humedad entre 45 - 60%, no permitir la incidencia de luz solar directa, no estar expuesta a irradiadores de calor. También cabe mencionar que debe de estar en un lugar fijo, es decir, no debe de haber movimiento, ya que esto puede afectar nuestros resultados y al momento de iniciar la medición se requiere que la balanza sea equilibrada con el botón “tare” y de igual manera se tiene que checar que la

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Facultad de Ciencias Biológicas Licenciatura en Biotecnología burbuja ubicada en la pantalla esté en el centro, todo lo anterior es para un correcto funcionamiento y manejo de la balanza. Algo muy importante que debemos saber, no sólo porque con esto nos será posible solucionar la práctica sino también porque nos permite predecir movimientos en planos, este es un conocimiento que podríamos ocupar en las curvas de titulación, estamos hablando del método de mínimos cuadrados, es un método de regresión lineal, este se emplea para verificar la relación entre dos o más variables. Este tipo de métodos se ocupan para conocer la calidad de los datos experimentales obtenidos y de esta manera analizar el posible error y el porcentaje de error que existen entre los datos. Cuando se obtienen los resultados experimentales se hace una gráfica para poder observar con más detenimiento dichos datos. La recta resultante presenta 2 característica importantes:  Es nula la suma de desviaciones verticales en los puntos a partir de la recta.  Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Para un valor dado de x, por ejemplo, x i , habrá una diferencia entre el valor y i y el correspondiente valor de la curva C. Esta diferencia se denota por D i , que se conoce como desviación, error o residuo. La suma de cuadrados de desviación se le llama suma de cuadrados por falla (SCF). Esta suma de cuadrados proporciona la medida de que tan bien se ajusta la línea al conjunto completo de puntos. Si la SCF es cero, implica que los puntos caen exactamente sobre la línea. Por el contrario, entre más grande es SCF respecto de cero, menor es el ajuste. La recta que tenga una suma de cuadrados menor para un conjunto de puntos, que cualquier otra línea recta es la línea recta llamada línea de regresión de los mínimos cuadrados. Las ecuaciones normales son un conjunto de ecuaciones cuya solución produce un valor único para la pendiente B y la ordenada a asociada con los datos de las variables x, y. El problema que se plantea es entonces el de cómo calcular las cantidades a y b, a partir de un conjunto de n observaciones, dadas dos variables x, y, sobre las que se define: ^y =a+bx 1. Se mide el error que se comete al aproximar ^y mediante calculando la suma de las diferencias entre los valores reales y los aproximados al cuadrado (para que sean positivas y no se compensen los errores):

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Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Facultad de Ciencias Biológicas Licenciatura en Biotecnología y i−¿ ¿ ¿

n

y i− ^y ( x i ) ¿ =∑ ¿ 2

¿

i=1

n

∑¿ i=1

2. Una aproximación ^y =a+bx de y, se define a partir de dos cantidades a y b. Se va a calcular aquellas que minimizan la función:

y i− ^y i ¿2 ¿ y i−a−b x i ¿ 2 ¿ ¿ n

Error ( a , b )=∑ ¿ i=1

3. Posteriormente se encontrarán las fórmulas para el cálculo directo de a y b que sirvan para cualquier problema:

a) Ordenada al origen: 2 Σx ¿ 2 nΣ x −¿ 2 Σy (Σ x )−( Σx )( Σxy ) a= ¿

b) Pendiente de la recta: 2 Σx ¿ 2 nΣ x −¿ nΣxy −( Σx )( Σy ) b= ¿

Diagrama de dispersión La correlación, método por el cual se relacionan dos variables se pude graficar con un diagrama de dispersión de puntos, al cual muchos autores le llaman nubes de puntos, encuadrado dentro de un gráfico de coordenadas x, y en la cual se pude trazar una recta y cuyos puntos mas cercanos de una recta hablarán de una correlación más fuerte, a esta recta se le denomina recta de regresión, que puede ser positiva o negativa, la primera contundencia a aumentar y la segunda en descenso o decreciente.

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Ilustración 2: Regresión negativa

Ilustración 3: Regresión positiva

Ilustración 4:Gráfica de dispersión

Coeficiente de correlación La razón de la variación explicada a la variación total se llama coeficiente de determinación. Si la variación explicada es cero, es decir, la variación total es toda no explicada, esta razón es cero. Si la variación no explicada es cero, es decir, la variación total es toda explicada, la razón es uno. En los demás casos la razón se encuentra entre cero y uno. Puesto que la razón es siempre no negativa, se denota por r 2 . La cantidad r se llama coeficiente de correlación y está dado por: c) Coeficiente de correlación:

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Σx ¿ ¿ 2 Σy ¿ ¿ nΣ y2−¿ nΣ x2−¿ √¿ nΣxy −( Σx )( Σy ) r= ¿

Aunque hay muchas maneras de construir una recta ajustada, además de la ya mencionada, también podemos calcularla a partir de la fórmula de la pendiente con la que es posible hallar fórmulas subsecuentes: d) Recta pendiente: y=mx + b 2

Σx ¿ ¿ ¿ 2 Σ x −¿ (Σx )( Σy ) Σxy− n m= ¿

b= y−m x

MATERIAL  Balanza electrónica de precisión Sartorius Gem BL3100  Balanza electrónica de precisión Ohaus Explorer.  Objetos con el mismo peso o similar.  Vidrio de reloj  Papel filtro

METODOLOGÍA Hemos diseñado un diagrama de trabajo que llevaríamos a cabo si tuviésemos la oportunidad de hacer la práctica de manera presencial.

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Esquema 1: Diagrama de trabajo

Los pasos por seguir para realizar la práctica virtual serán:  Capturar los datos de las masas de las monedas en la tabla.  Realizar las sumatorias de la tabla.  Utilizando las fórmulas a), b) y c) obtener los valores de a, b y r.  Graficar los datos experimentales x i , y i .  Obtener la recta ajustada con los resultados de a), b) y demostrar que obtenemos los mismos resultados si usamos la ecuación d).

CÁLCULOS xi

yi

(No. Dato)

(Masa de la moneda en g)

1

2

2

x i yi

xi

yi

10.1981

10.1981

1

104.0012

2

10.1987

20.3974

4

104.0135

3

10.1995

30.5985

9

104.0298

4

10.1999

40.7996

16

104.0380

5

10.2021

51.0105

25

104.0828

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Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Facultad de Ciencias Biológicas Licenciatura en Biotecnología 6

10.2035

61.221

36

104.1114

7

10.2047

71.4329

49

104.1359

8

10.2121

81.6968

64

104.2870

9

10.2125

91.9125

81

104.2952

10

10.2242

102.242

100

104.5343

⅀ xi =¿ 55

⅀ y i=¿ 102.0 553

⅀ xi y i=¿ 561.5093

2 ⅀ xi =¿ 38 5

2

⅀ y i =¿ 1041.5 291

Utilizando la ecuación a) obtenemos a: 2

Σx ¿ nΣ x 2−¿ Σy (Σ x 2)−( Σx )( Σxy ) a= ¿

55¿ 2 10 (385 )−¿ 102.0553(385)−(55 )(561.5093 ) a= ¿ a=10.1919

Utilizando la ecuación número b) obtenemos b: 2

Σx ¿ nΣ x 2−¿ nΣxy −( Σx )( Σy ) b= ¿ 2

55¿ 10 (385 )−¿ 10(561.5093)−( 55 )(102.0553 ) b= ¿ b=0.00248

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Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Facultad de Ciencias Biológicas Licenciatura en Biotecnología Utilizando la ecuación número c) obtenemos r:  Método 1. 2

Σx ¿ ¿ 2 Σy ¿ ¿ nΣ y 2−¿ nΣ x2−¿ √¿ nΣxy −( Σx )( Σy ) r= ¿

2

55 ¿ ¿ 102.0553 ¿ ¿ ¿2 10 (1041.5291 )−¿ 10 (385 )−¿ √¿ 10(561.5093 )−(55 )( 102.0553) r= ¿

r=0.86986



Método 2.

A partir de los datos obtenidos, encontraremos la recta que mejor se ajuste a los puntos en el plano x, y a partir de: y=mx + b

Para calcular la pendiente usamos: 2

Σx ¿ ¿ ¿ 2 Σ x −¿ (Σx )( Σy ) Σxy− n m= ¿

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2

55 ¿ ¿ ¿ 385−¿ (55)(102.0553 ) 561.5093− 10 m= ¿

m=0.00248 Para obtener b usamos: b= y−m x b=

b=

Σx Σy −(0.00248) n n

55 102.0553 −(0.00248) 10 10

b=10.19189

Así, la recta buscada a través del método de los mínimos cuadrado es la siguiente: y=(0.00248)x +10.1919

Con los datos que hemos obtenido de las fórmulas a) y b) podríamos solo sustituir en la siguiente fórmula: y= A+Bx y=10.1919+0.00248 x

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Gráfica de los datos experimentales ( x i . y i )

Gráfica ajustada

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RESULTADOS Obtuvimos resultados precisos, y sin variaciones debido a que hemos ocupado el material de trabajo de la manera adecuada y siguiendo todas las indicaciones de uso, evitando el daño de la balanza y prolongando su tiempo de vida y asegurando datos veraces y completamente fiables. Tuvimos en cuenta la limpieza de la balanza con el material adecuado para evitar descalibrar la misma. En cuanto al método matemático aplicado, como ya lo mostramos en la parte de Cálculos, los datos en la tabla parecían muy cercanos unos de otros, de hecho, de los 10 datos en x, y la variación es muy poca, los cambios drásticos los obtuvimos en las sumatorias. Esta diferencia la podemos observar mejor en las gráficas con puntos dispersos pero que claramente siguen una tendencia positiva.

OBSERVACIONES Nos dimos cuenta de que dentro del valor "b" expresa que tan bien la recta es obtenida por mínimos cuadrados, se ajusta a la información técnica, podemos decir entonces que el resultado de "b" nos muestra que la recta se ajusta muy bien con los datos mencionados, exponiendo la utilidad del método de mínimos cuadrados y la buena implementación y desarrollo de las cuentas y datos realizados. Dando así que estos procedimientos nos dan una visión más amplia de la balanza analítica, se conocen y exponen sus utilidades y métodos, así como sus ecuaciones correspondientes.

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Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Facultad de Ciencias Biológicas Licenciatura en Biotecnología Llevar estos cálculos al inicio fue un poco agobiante, era algo metódico, pero cuando entendimos mejor el procedimiento los resultados salían fluidamente

CONCLUSIONES En la práctica pudimos ver los usos y funciones de una balanza analítica, también repasamos conceptos como “masa” y "peso", estás prácticas nos ayudan también a entender las herramientas de trabajo en los laboratorios, para sacar la mayor utilidad posible a lo largo de la carrera. Y como lo decíamos al principio, es importante saber aplicar los métodos teóricos para que en la práctica la efectividad sea lo que destaque nuestros trabajos.

BIBLIOGRAFÍA ➔ TP-Laboratorio Químico. (s.f.). Balanza Analítica. 20 de enero del 2021, de TP-Laboratorio Químico Sitio web: https://www.tplaboratorioquimico.com/laboratorio-quimico/materiales-einstrumentos-de-un-laboratorio-quimico/balanza-analitica.html. ➔ Ira N. (2014). Principios de fisicoquímica. New York: McGraw-Hill. ➔ Samuel H., Carl. F y Aragonés A. (1980). Fundamentos de fisicoquímica. México: Limusa. ➔ Universitarios, D. U. R. N. A. D. M. (2019, 22 mayo). Repositorio Institucional de la Universidad Nacional Autónoma de México. Repositorio Institucional de la UNAM. https://repositorio.unam.mx/contenidos/aplicacion-del-metodo-de-los-minimos-cuadradospara-la-obtencion-de-los-parametros-de-los-modelos-de-henderson-y-chung-p-54110? c=b7x6j5&d=true&q=*:*&i=1&v=1&t=search_0&as=0

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