Práctico - problemas resueltos hipotesis PDF

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problemas resueltos hipotesis ...

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Contraste de Hipótesis 1. Se quiere comprobar si una muestra de tamaño 20 con media 10 procede de una población N(14,3) con el nivel de significación 0,05. 2.- En una propaganda se anuncia que unas determinadas pilas proporcionan más horas de luz que las normales. Doce personas deciden comprarlas y los resultados obtenidos son los siguientes: Individuo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Variación 0,2 0 1 0,6 -0,5 -0,6 -1 0,6 1 0,5 -0,4 -0,5 ¿Se puede admitir, teniendo en cuenta estos datos, que el anuncio es correcto? 3.- Se intenta comparar dos métodos de enseñanza y para ello se selecciona una muestra de 50 individuos. A 20 personas se les aplica el método A y a las otras 30 el B. Al cabo de un año los aumentos en conocimiento han sido los siguientes n A  20; x A  5;SA  1, 2;n B  30; x B  3;S B  0,9 . Contrastar la hipótesis de igualdad de varianzas y de igualdad de medias al 95%. 4.- De 1000 familias con 5 hijos cada una se ha analizado la distribución de la variable X =”número de hijos varones, obteniéndose los siguientes resultados: X 0 1 2 3 4 5 Nº de familias 26 162 309 321 153 29 ¿Se puede afirmar que la variable X sigue una distribución binomial B(5,p)? 5.- Un tipógrafo asegurar que el número medio de errores por página que comete es 2, mientras el editor sospecha que es mayor. Suponiendo que el número de errores por página sigue una distribución de Poisson y que en una muestra de 200 páginas se encontraron 450 errores, especificar las hipótesis nula y alternativa del contraste y realizar el contraste con un nivel de significación del 5%. 6.- Un fabricante de bolsas de plástico asegura que el 95% de sus bolsas resisten 6 kg o más. Se toman 40 de estas bolsas al azar y se llenan con 6 kg rompiéndose 6 de ellas. ¿Existe evidencia estadística para rechazar la afirmación del fabricante? 7.- Se sabe que la renta anual de los individuos de un país sigue una distribución normal de media desconocida y de desviación típica 1.400. Se ha observado la renta anual de 16 individuos escogidos al azar y se ha obtenido un valor medio de 19.500 euros. Contrastar, a un nivel de significación del 5%, si la media de la distribución es de 18.000 de euros. 8.- Se aplica un cierto test de memoria a estudiantes de dos universidades diferentes. Los resultados siguen una distribución normal con desviación típica 33,5 para la primera universidad y para la segunda 38,2. Se toma una muestra aleatoria simple de 18 alumnos de la primera universidad y de 25 alumnos de la segunda; las medias muestrales obtenidas son, respectivamente, 183,7 y 165,4. a) ¿Son estos datos significativos de una diferencia de memoria entre los alumnos de ambas universidades? (Considerar un nivel de significación del 0,05) b) Calcular el p-valor e interpretarlo. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M

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Contraste de Hipótesis 9.- Se han recogido los siguientes datos de una población: X 0 1 2 3 4 5 6 ni 8 19 22 24 23 15 5 ¿Podemos admitir que siguen una distribución de Poisson?

7 4

10.- Se quiere comprobar si existe alguna relación entre las calificaciones de los alumnos en el tipo de asignaturas superadas. Para ello se ha tomado una muestra con alumnos de las tres asignaturas siguientes:  Aprobado Notable Sobresaliente Total 152 99 29 280 Geomática 35 28 17 80 Matemáticas 12 18 10 40 Física 199 145 56 400 Total Contrastar la independencia con el test de la Chi-cuadrado. ¿Qué ocurre si consideramos sólo las asignaturas de Matemáticas y Física? 11.- El nivel medio de errores en nivelación es de 20 errores/100 tramos. Se estudian 40 nivelaciones en las que se sabe se han cometido errores. Los resultados son: x = 18.5 err./100 tr. y s = 4 err/100 tr. a) Intervalo de confianza del 95% del nivel medio de errores en las 40 nivelaciones. b) ¿Es la muestra comparable con la población con un nivel de significación   0.05 ? 12.- Queremos contrastar la hipótesis H 0: “la duración media de los motores de una determinada marca es 180.000 km”. Para ello se toma una muestra de 9 motores de automóviles, obteniéndose una media de 150.000 km y una varianza muestral 2 2 S =(30.000) . Estudiar si debemos aceptar la hipótesis H 0 con un nivel de confianza del 95%. 13.- Si el coeficiente medio de inteligencia de la población universitaria de la U.P.M. es   95 y  =14, y se extrae una muestra de 49 estudiantes de esa población. a) ¿Qué probabilidad hay de que resulte una media muestral igual o inferior a 92? b) Hallar un intervalo de confianza al 95% para la media de la población universitaria, para la muestra de media 92. c) ¿Podemos aceptar la hipótesis de ser la media   95 , 14.- Se prueban 12 piezas de un material A resultando un desgaste medio de 85 unidades con una desviación típica de 4. Por otra parte 10 piezas de un material B produce unos resultados de 81 unidades y una desviación típica de 5. a) Comprobar que las varianzas poblacionales son iguales a un nivel de significación de 0,1. b) ¿Podemos concluir con un nivel de significación del 0,05 que el desgaste del material A excede el del material B en más de 2 unidades? Suponga que las poblaciones son normales.

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Contraste de Hipótesis 15.- En medidas de ángulos con un cierto teodolito, un topógrafo asegura que la varianza que obtiene es igual o menor que 5. Se le pone a prueba y se le hacen 20 determinaciones, obteniéndose una varianza de 6. Si la variable medida del ángulo es normal. Se pide: a) Intervalo de confianza del 99% para la varianza obtenida. b) ¿Aceptamos su aseveración a un nivel de significación 0,01? 16.- Se tabulan los errores de cierre en nivelación obtenidos en 1000 polígonos. ¿Se puede admitir que el error de cierre se distribuye normalmente? Contrastar la bondad del ajuste mediante la 2n con α=0,05. error de cierre 0 -0,1

n° de polígonos 64

0,1-0,2 0,2-0,3

242 390

0,3-0,4

238

0,4-0,5

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17.- La siguiente tabla contiene los datos de dos muestras de tamaño 50. ¿Podemos admitir que tienen la misma distribución utilizando el estadístico de Pearson y calculando el p-valor? 1ª muestra 2ª muestra 3 1 2 4 4 9 11 5 11 10 9 9 5 4 3 4 2 4 18.- A la vista de los datos que aparecen en la tabla adjunta, obtenidos después de una encuesta realizada para ver si la edad tiene influencia en los errores cometidos por los observadores. ¿Se puede admitir que el cometer errores es independiente de la edad? Edad Cometer No cometer error error 60 20 57

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Contraste de Hipótesis 19.- Se quieren comparar la vida útil de dos tipos de baterias para moviles, para ello obtenemos muestras de tamaño 9 de cada tipo, obteniendo los siguientes resultados n A  9; x A  5;SA  1, 2;n B  9; x B  3;S B  0, 9 . Contrastar la hipótesis de igualdad de medias al 95% suponiendo que la varianza es desconocida pero igual para las dos muestras. 20.- Al calcular cinco veces la distancia entre dos puntos, obtenemos los siguientes valores: 170,13m; 170,12m; 170,2m; 170,65m; 170,4 Se pide: a) Intervalo de confianza del 80% para la media. b) ¿Cuál será el número de mediciones necesaria para que el error sea inferior a 0,1 m con un nivel de significación de 0,2? c) Intervalo de confianza del 90% para la varianza obtenida. d) Si la variable medida del ángulo es normal ¿aceptamos una desviación típica inferior a 0,1 m con un nivel de significación 0,1? 21.- Se ha observado un ángulo cinco veces, obteniéndose los siguientes valores: 65º25’; 65º33’; 65º32’; 65º28’; 65º27’ Se pide: a) Intervalo de confianza del 95% para la media del ángulo observado. b) ¿Cuál será el número de observaciones necesaria para que el error sea inferior a 1 minuto con un nivel de significación de 0,05? c) Intervalo de confianza del 99% para la varianza obtenida. d) Si la variable medida del ángulo es normal ¿aceptamos una desviación típica inferior a 2 minutos a un nivel de significación 0.01? Escribir la región crítica. 22.- Se quiere comprobar si es cierto que un nuevo modelo de automóvil consume 5,7 litros por cada 100 km a 90 km/h tal y cómo afirma en su propaganda. Para ello se realizan 10 recorridos de 100 km a dicha velocidad, con los siguientes consumos: 5,8; 6,3; 6; 5,5; 6,1; 6,5; 5,5; 7; 6,8; 5,7 Se pide: a) Intervalo de confianza para la media obtenida con un nivel de significación del 0,05. b) ¿Se puede aceptar la afirmación del fabricante al 95%? 23.- Un jugador afirma que los dos dados que utiliza no están trucados. Para comprobar esta afirmación, se lanzan los dos dados 360 veces y se anota la suma de los resultados. Dichas sumas se muestran en la siguiente tabla, junto con su probabilidad correspondiente (para facilitar la comparación). Suma FRECUENCIA PROBABILIDAD OBSERVADA 2 11 1/36 3 18 2/36 4 33 3/36 5 41 4/36 6 47 5/36 7 61 6/36

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Contraste de Hipótesis 8 52 5/36 9 43 4/36 10 29 3/36 11 17 2/36 12 8 1/36 Para poder decidir si los dados están trucados o no, realizar un contraste  2 . ¿Deberíamos jugar con estos dados? 24.- Durante 50 días se ha observado la variable “número diario de cancelaciones de cuentas en una sucursal bancaria” anotándose la siguiente tabla de frecuencias: Nº Frecuencias cancelaciones observadas n i 0 16 1 23 2 8 3 3 Sumas 50 Contrastar el hecho de que la distribución es de Poisson de parámetro λ=1. 25.- Para curar una enfermedad se sabe que existen cuatro tratamientos diferentes. Aplicados por separado a unos grupos de enfermos se han observado los resultados siguientes: Tratamiento Curados No Curados A 83 44 B 45 28 C 60 54 D 82 62 Total 270 188 ¿Se puede asegurar que la eficacia de los cuatro tratamientos es la misma, con un nivel de confianza del 95%? 26.- Si el coeficiente medio de inteligencia de la población universitaria de la U.P.M. es   95 y  =14, y se extrae una muestra de 49 estudiantes de esa población y el 2 resultado de la varianza muestral S =100. ¿Podemos concluir con un nivel de significación del 0,05 que la varianza es menor de 14 2?

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Contraste de Hipótesis 1.- Se quiere comprobar si una muestra de tamaño 20 con media 10 procede de una población N(14,3) con el nivel de significación 0,05. Solución: Se trata de un contraste de hipótesis para la media de una población normal de varianza conocida: H0 :   14 H1 :   14 X  0  N (0,1) Sabemos que: Z  / n El valor del estadístico Z bajo la hipótesis nula es: X  0 10  14 Z   5,96  / n 3 / 20 Para =0,05 en la N(0,1) tenemos que: P  z /2  Z  z /2  1   P Z 1,96  0,975  z0,025 1,96 Como el valor de nuestro estadístico Z bajo la hipótesis nula cae fuera de la región de aceptación ( Z  z /2 ), RECHAZAMOS la hipótesis nula, y por tanto la muestra no procede de dicha población.

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Contraste de Hipótesis 2.- En una propaganda se anuncia que unas determinadas pilas proporcionan más horas de luz que las normales. Doce personas deciden comprarlas y los resultados obtenidos son los siguientes: Individuo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Variación 0,2 0 1 0,6 -0,5 -0,6 -1 0,6 1 0,5 -0,4 -0,5 ¿Se puede admitir, teniendo en cuenta estos datos, que el anuncio es correcto? Solución: Realizamos la hipótesis nula de que no proporcionan más horas de luz que las normales. H0 :   0 H1 :   0 Datos: n  12; x  0,075 ; S  0, 672;   0.05 x  0 0,075  0   0.3866184838 S/ n 0,672 / 12 Calcularemos el p-valor p  1  P  0,3866  t n 1  0,3866  2P 0,3866 tn 1   0,7064.

t=

DERIVE: #1: 2(1-(STUDENT(0.3866, 11)) #2: 0.7064262140 EXCEL: =DISTR.T.(0,3866;11;2)

0,70642621

SPSS: 2(1-CDF. T(0.3866,11))

0,7

Podemos aceptar la hipótesis nula, para cualquier valor de  < 0,7 y en consecuencia la propaganda es falsa.

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Contraste de Hipótesis 3.- Se intenta comparar dos métodos de enseñanza y para ello se selecciona una muestra de 50 individuos. A 20 personas se les aplica el método A y a las otras 30 el B. Al cabo de un año los aumentos en conocimiento han sido los siguientes n A  20; x A  5;SA  1, 2;n B  30; x B  3;S B  0,9 . Contrastar la hipótesis de igualdad de varianzas y de igualdad de medias al 95%. Solución: Debemos en primer lugar contrastar la hipótesis de igualdad de varianzas H0 : A2   B2

H1 :  A2   B2  S 2A  , F  F   S 2B  1 2 ,n A 1,n B 1 2 ,n A 1,n B 1 S2A 1.2 2   1.78   F0.975,19,29 , F0.025,19,29    0.42, 2.23 S2B 0.9 2 EXCEL: =DISTR.F.INV(0,975;19;29)0,41633; =DISTR.F.INV(0,025;19;29) 2,231275 SPSS: IDF.F(0.975,19,29) .42;IDF.F(0.025,19,29) 2.23 0,42 < 1,78 < 2,23 y por tanto aceptamos la hipótesis de varianzas iguales. Contrastamos ahora la igualdad de medias de dos poblaciones normales de varianzas desconocidas pero iguales y muestras pequeñas. H0 :  A   B   A   B  0 H 1 : A   B   A   B  0 x A x B  t siendo El estadístico de prueba es: 1 1 S  nA nB S2 

(n A 1)S2A  (n B  1)S2B 19 1.2 2  29  0.9 2   1.059375 con lo cual (n A  1)  (n B  1) 19  29

xA  xB

53   6.73 y para =0.05, t0.025,48=2 1 1 1 1 S 1.059375   nA nB 20 30 EXCEL: =DISTR.T.INV(0,05;48) 2,01063472 SPSS:IDF.T(0.975,48) 2.01 Como 6.73 > 2 RECHAZAMOS la hipótesis de igualdad de medias.

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Contraste de Hipótesis 4.- De 1000 familias con 5 hijos cada una se ha analizado la distribución de la variable X =”número de hijos varones, obteniéndose los siguientes resultados: X 0 1 2 3 4 5 Nº de familias 26 162 309 321 153 29 ¿Se puede afirmar que la variable X sigue una distribución binomial B(5,p)? Solución: Primeramente debemos estimar el valor del parámetro p, hacemos X 2, 5  0,5 X  np  p   n 5 Observando una distribución B(5,0.5) y multiplicando por 1000, obtenemos el número de familias según la distribución teórica (esperadas). X 0 1 2 3 4 5 26 162 309 321 153 29 ni pi

 5  5 5 0.5 5  0  0.5 1   

npi

31.25

 n i  np i 

2

 26  31.25 31.25

5  5  5  5  5  5  2  0.5  3  0.5  4  0.5      

156.25 2

312.5 2

312.5 2

162  156.25 

309  312.5 

156.25

312.5

156.25 2

 321  312.5 153  156.25 312.5

 5 5  5  0.5  

156.25

31.25 2

2

 29  31.25 31.25

np i k

D i 1

(ni  npi )2  1,59 np i

utilizando el p-valor: DERIVE: 1 - CHI_SQUARE(1.59,4)= 0.8105883166>  EXCEL: = DISTR.CHI(1,59;4) 0,810588>  SPSS: 1 - CDF.CHISQ(1.59,4) .81>  2 Para  = 0,05 P( 4   0.05 )  0.05   0.05  9,49 siendo D = 1,59 menor que 0 .05 aceptamos la hipótesis de ser el ajuste bueno. La diferencia entre la distribución empírica y la ley de la distribución binomial no es significativa. Aceptamos el ajuste para todo nivel de significación menor que 0,81.

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Contraste de Hipótesis 5.- Un tipógrafo asegurar que el número medio de errores por página que comete es 2, mientras el editor sospecha que es mayor. Suponiendo que el número de errores por página sigue una distribución de Poisson y que en una muestra de 200 páginas se encontraron 450 errores, especificar las hipótesis nula y alternativa del contraste y realizar el contraste con un nivel de significación del 5%. Solución: La variable aleatoria X=”número de errores por página”=P() H0 :   2 H1 :   2 Para realizar el contraste se extrae una muestra x1 , x 2 ,..., x n  con n=200. La variable Y  X1  X2  ...  Xn que representa el número de errores en n páginas, sigue una distribución aproximadamente Normal (Teorema Central del Límite) Y  E Y Y  N E Y , V Y    N(0,1) V Y 





Entonces: E Y   E X1  ...  Xn   n   400

V Y  V X1  ...  X n   nV X  n   400 Z

Y  E Y V  Y



450  400  2,5 400

Para =0,05 en la N(0,1) tenemos que: P Z  z  1   P Z 1, 6448  0, 95  z0,05 1, 6448 Como el valor de nuestro estadístico Z bajo la hipótesis nula cae fuera de la región de aceptación (2,5>1,64), se RECHAZAMOS la hipótesis nula y se puede concluir que el número de errores por página es superior a 2. DERIVE: #1: NSOLVE(NORMAL(λ) = 0.95, λ, Real) #2: λ = 1.644853651 EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,95;0;1) 1.6448536 SPSS: IDF. NORMAL(0.95, 0,1) 1,64

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Contraste de Hipótesis 6.- Un fabricante de bolsas de plástico asegura que el 95% de sus bolsas resisten 6 kg o más. Se toman 40 de estas bolsas al azar y se llenan con 6 kg rompiéndose 6 de ellas. ¿Existe evidencia estadística para rechazar la afirmación del fabricante? Solución: Establecemos la proporción de bolsas rotas de nuestra muestra en p y n=40, siendo X= número de bolsas que se rompen tendremos una distribución Binomial de parámetros n y p que ajustaremos a una distribución Normal; en nuestro caso: X  N np, np(1  p)  N 40p, 40p(1  p)



Planteamos







H0 : p  0,05 , en cuyo caso la distribución adecuada queda en N(2,1.3784) H1 : p  0,05

que

podemos ajustar a una distribución Normal que tipificando X  X 2 Z   N (0,1) y en particular para X=6  Z  2.901915264  1.3784

resulta

Para =0,05 en la N(0,1) tenemos que: P Z  z  1   P Z 1, 6448  0, 95  z0,05 1, 6448 Como el valor de nuestro estadístico Z bajo la hipótesis nula cae fuera de la región de aceptación (2,9>1,64), se RECHAZAMOS la afirmación del fabricante

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Contraste de Hipótesis 7.- Se sabe que la renta anual de los individuos de un país sigue una distribución normal de media desconocida y de desviación típica 1.400. Se ha observado la renta anual de 16 individuos escogidos al azar y se ha obtenido un valor medio de 19.500 euros. Contrastar, a un nivel de significación del 5%, si la media de la distribución es de 18.000 de euros. Solución: Se trata de un contraste de hipótesis para la media de una población normal de varianza conocida: H0 :   18.000 H1 :  18.000 X  0  N (0,1) Sabemos que: Z  / n El valor del estadístico Z bajo la hipótesis nula es: X  0 19500  18000  4.285714285 Z  / n 1400 / 16 Para =0,05 en la N(0,1) tenemos que: P  z/2  Z  z/2  1   P Z 1,96  0,95  z0,025 1,96 Como el valor de nuestro estadístico Z bajo la hipótesis nula cae fuera de la región de aceptación ( Z  z /2 ), RECHAZAMOS la hipótesis nula, y la media no puede ser 18.000 euros.

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Contraste de Hipótesis 8.- Se aplica un cierto test de memoria a estudiantes de dos universidades diferentes. Los resultados siguen una distribución normal con desviación típica 33,5 para la primera universidad y para la segunda 38,2. Se toma una muestra aleatoria simple de 18 alumnos de la primera universidad y de 25 alumnos de la segunda; las medias muestrales obtenidas son, respectivamente, 183,7 y 165,4. a) ¿Son estos datos significativos de una diferencia de memoria entre los alumnos de ambas universidades? (Considerar un nivel de significación del 0,05) b) Calcular el p-valor e interpretarlo. Solución: a) Contrastamos la igualdad de medias de dos poblaciones normales de varianzas conocidas...