Praktisch - Übungsaufgabe Gedämpfter harmonischer Oszillator PDF

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Übungsaufgabe Gedämpfter harmonischer Oszillator...

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Übungsaufgabe: Gedämpfter harmonischer Oszillator Aufgabe. Die Differentialgleichung des ungedämpften harmonischen Oszillators lautet x ¨ + ω 20 x = 0 . In der Regel wird man neben der Hookeschen Rückstellkraft FH = −Dx (wobei D in obiger Gleichung gleich mω0 2ist) auch eine Reibungskraft FR zu berücksichtigen haben, die entgegen der Bewegungsrichtung des schwingenden Körpers wirkt. Bei einem Federpendel, das in einer Flüssigkeit schwingt, hat diese Kraft z.B. die Form FR = −bx˙ mit b > 0, was auf die Newtonsche Bewegungsgleichung m¨ x = −Dx − bx˙ führt. Mit der Abkürzung 2γ := b/m wird daraus die Differentialgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators x ¨ + 2γx˙ + ω 20 x = 0 .

(1)

λt

1. Gehen Sie mit einem Ansatz x(t) = C · e in Gleichung Gl. (1) ein und lösen Sie die Bestimmungsgleichung für λ! Wie Sie sehen werden, hängt es vom Verhältnis der Größen γ und ω0 zueinander ab, ob die Lösungen reell oder komplex sind. 2. Zeigen Sie, dass im Fall γ < ω0 („schwache Dämpfung“) die Oszillatorgleichung Gl. (1) zu den Anfangsbedingungen x(t = 0) = x0 , x(t ˙ = 0) = 0 durch   γ x(t) = x0 e−γt cos ωt + sin ωt ω gelöst wird! Was ist dabei ω ? Skizzieren Sie außerdem den Funktionsverlauf. 3. Weisen Sie nach, dass für γ > ω0 („starke Dämpfung“) die allgemeine Lösung von Gleichung Gl. (1) durch   x(t) = e−γt c1 eαt + c2 e−αt gegeben ist! Was ist dabei α? Setzen Sie die Anfangsbedingungen x(0) = 0, x˙ (0) = v0 ein und bestimmen Sie damit die spezielle Lösung v0 −γt e sinh αt . α 4. Jetzt bleibt noch der sog. „aperiodische Grenzfall“ γ = ω0 („kritische Dämpfung“) zu untersuchen. Sie erhalten hier für den Parameter λ nur eine einzige Lösung, nämlich λ = −γ. Da Gleichung Gl. (1) jedoch eine Differentialgleichung 2. Ordnung ist, brauchen Sie zwei freie Integrationskonstanten, und die gewinnen Sie folgendermaßen: x(t) =

Betrachten Sie den Vorfaktor C als zeitabhängig und gehen Sie mit dem Ansatz x(t) = C(t)eλt ¨ = 0, also C = c1 t + c2 sein muss. in Gl. (1) ein! Sie werden feststellen, dassC(t) Setzen Sie dies ein und finden Sie als Lösung zur Anfangsbedingung x(0) = 0, x˙ (0) = v0 die Funktion x(t) = v0 te−γt . 5. Skizzieren Sie den Funktionsverlauf im Falle kritischer bzw. starker Dämpfung (jeweils unter gleichen Anfangsbedingungen)! Wo liegt der wesentliche Unterschied? Hinweis. sinh (x) =

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(ex − e−x )

Quelle: https://lp.uni-goettingen.de/get/text/2292 Erstellt für: Gast

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