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Notas para fazer a prova EAD Estatística....

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PROBABILIDADE Experimentos determinísticos: Ao ser repetidos sob as mesmas condições,



fornecem sempre o mesmo resultado. NÃO SÃO OBJETOS DE ESTUDO DA ESTATISTICA Experimentos Aleatórios: Ao ser repetido sob as mesmas condições,



fornecem resultados diferentes, ou seja, incertos. SÃO OBJETOS DE INTERESSE DA ESTATISTICA. Conceito Probabilísticos



o

Espaço amostral: conjunto de todos os diferentes resultados possíveis de um experimento aleatório. Ω Exemplo: Hábito de fumar: Ω = {Fumante, Não Fumante}

o

Evento: Subconjunto do espaço amostral, formado por um ou mais resultados do espaço amostral Observação 1.

∅

(Conjunto vazio): Evento impossível.

2. Ω = Espaço amostral: evento certo Operações com eventos: Eventos possíveis amostral Ω



Seja A e B, dois eventos possíveis do espaço amostral Ω Interseção de eventos A ∩ B Representa a ocorrência simultânea de eventos que ocorrem.

Ω A∩B

A∩B

A∩B

A∩B

Conjunto A ∩ B: Evento em que XeA e XeB Exemplo: Lançamento de um dado Espaço Amostral: Ω:{1,2,3,4,5,6} Evento A: sair face par

A = {2,4,6}

B: sair face maior que 3

B= {4,5,6}

C: sair face 1

C= {1}

a.Sair face par e maior que 3 (Conjunto que pertence A e B)

A ∩ B = {2,4,6} ∩ {4,5,6} = {4,6} b.Sair face par e face 1 A ∩ C = {2,4,6} ∩ {1} = { ∅ } c. Sair face par ou maior que 3 (A União de A e B) A U B = {2,4,6} U {4,5,6} = {2,4,5,6} d.Sair face par ou face 1 A U C = {2,4,6} U {1} = {1,2,4,6}

e. Não sair face 1 CC = Ω - C = {2,3,4,5,6}

Probabilidade de frequência: Medida da possibilidade de ocorrência de um experimento aleatório (Evento). Definições: como atribuir probabilidade aos elementos amostral: Seja: Ω = {w1, w2,....,wn} 1. Clássica P ( wi ) =

número de elementos w i número de elementos de Ω

2. Frequentista: no experimento aleatório repetido n vezes, calcula-se a frequência relativa com que cada resultado ocorre. Para um número grande de realizações, a frequência relativa aproxima-se da probabilidade P(wi) = Fri.

3. Axiomática: Seja Wi um evento, então A.

0 ≤ P(W i ) ≤ 1

B.

P ( Ω )= P ( W 1) +P ( W 2) +…+ P ( W N )=1

Propriedades: sejam A e B, dois eventos possíveis do espaço amostral:

a.

P ( ∅) =0

b.

C P ( A )+ P ( A )=1

c. P ( A ∪ B ) =P ( A ) + P (B ) −P( A ∩ B)

A probabilidade da intersecção de dois eventos ou probabilidade de eventos sucessivos determina a chance, a possibilidade, de dois eventos

ocorrerem simultânea ou sucessivamente. Para o cálculo desse tipo de probabilidade devemos interpretar muito bem os problemas, lendo com atenção e fazendo o uso da seguinte fórmula: Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral S. A probabilidade de A ∩ B é dada por:

Onde p(A∩B) → é a probabilidade da ocorrência simultânea de A e B p(A) → é a probabilidade de ocorrer o evento A p(B│A) → é a probabilidade de ocorrer o evento B sabendo da ocorrência de A (probabilidade condicional) Se os eventos A e B forem independentes (ou seja, se a ocorrência de um não interferir na probabilidade de ocorrer outro), a fórmula para o cálculo da probabilidade da intersecção será dada por:

Vejamos

alguns

exemplos

de

aplicação.

Exemplo 1. Em dois lançamentos sucessivos de um mesmo dado, qual a probabilidade de sair um número ímpar e o número 4? Solução: O que determina a utilização da fórmula da intersecção para resolução desse problema é a palavra “e” na frase “a probabilidade de sair um número ímpar e o número 4”. Lembre-se que na matemática “e” representa intersecção, enquanto “ou” representa união. Note que a ocorrência de um dos eventos não interfere na ocorrência do outro. Temos, então, dois eventos independentes. Vamos identificar cada um dos eventos. Evento Evento Espaço

A:

Temos que:

sair

um B: sair Amostral: S

número ímpar o número = {1, 2,

= 3,

4

{1, 4,

=

3, 5,

5} {4} 6}

Assim, teremos:

Exemplo 2. Numa urna há 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Retiram-se duas bolinhas dessa urna, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de ter saído um número par e um múltiplo de 5? Solução: Primeiro passo é identificar os eventos e o espaço amostral. Evento A: sair um número par = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, Evento B: sair um múltiplo de 5 = {5, 10, 15, Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19,

20} 20} 16, 20}

Como as duas bolinhas foram retiradas uma após a outra e não houve reposição, ou seja, não foram devolvidas à urna, a ocorrência do evento A interfere na ocorrência do B, pois haverá na urna somente 19 bolinhas após a retirada da primeira. Assim, temos que:

Após a retirada da primeira bola, ficamos com 19 bolinhas na urna. Logo, teremos:...