Probeklausur 6 August 2007, Fragen - (SS 2007) PDF

Preview

Summary

(SS 2007)...

Description

Bergische Universit¨ at Wuppertal

Dr. Andreas Bartel SoSe 2007

Fachbereich D – Bauingenieurwesen Lehrgebiet Mathematik

Probeklausur H¨ ohere Mathematik A 06. August 2007 Bitte tragen Sie deutlich Ihre pers¨onlichen Daten in die Tabelle ein: Name, Vorname: Matrikelnummer:

Beachten Sie bitte folgende Hinweise: 1) Die Klausur besteht aus acht Aufgaben, die wie folgt gel¨ost werden sollen: – Diplom: Aufgaben 5 bis 8 plus zwei Aufgaben zur Wahl aus den Aufgaben 1 bis 4 (180 Pkte) 2) Die Punktzahl ist f¨ur jede Aufgabe angegeben und entspricht in etwa der Anzahl der Minuten, die Sie - bei sehr guten Leistungen - f¨ur diese Aufgabe ansetzen sollten. Sie haben mit Sicherheit bestanden, wenn Sie 50% der von Ihnen verlangten Punkte erreicht haben. 3) Sie d¨urfen ein vorbereitetes, beidseitig handschriftlich beschriebenes DIN A4 Blatt als Ged¨achtnisst¨utze benutzen. Taschenrechner d¨urfen nicht benutzt werden. Lassen Sie nicht ausrechenbare Terme stehen. 4) Bearbeiten Sie die Aufgaben bitte auf leeren DIN A4 Seiten, die Sie (vorsichtshalber) oben rechts mit einem K¨urzel Ihres Namens kennzeichnen. Bitte beginnen Sie jede neue Aufgabe auf einem neuen DIN A4 Blatt. Die Bl¨atter der Aufgabenbearbeitung sind vor der Abgabe zu sortieren. 5) Dieses Deckblatt ist mit den bearbeiteten Aufgaben abzugeben! 6) L¨osungswege sind immer zu kommentieren. Nur Nachvollziehbares wird gewertet! Viel Gl¨uck! A1 30

A2 30

A3 30

A4 30

A5 30

A6 30

A7 30

A8 30

Summe

 Ich bitte darum, dass meine KlausurErgebnisse zusammen mit Matrikelnummer f¨ ur ca. drei Wochen auf der Homepage des Lehrgebietes Mathematik ver¨offentlicht werden.

Unterschrift

Aufgabe 1. (30 Punkte) Betrachtet werden folgende sechs Punkte des

3

P1 = (1, 0, −3) , P2 = (−1, 3, 2) , P3 = (2, 1, 2) P4 = (0, 2, 0) , P5 = (3, 0, 0) , P6 = (1, 1, −1) a) Begr¨unden Sie, daß die durch die Punkte P1 , P2 , P3 aufgespannte Ebene E1 und die durch die Punkte P4 , P5 , P6 aufgespannte Ebene E2 zueinander parallel sind. Bestimmen Sie die Hesseform von E1 und E2 . Welchen Abstand haben E1 und E2 ? b) Unter welchem Winkel schneidet die durch die Punkte P3 und P6 festgelegte Gerade g die Ebene E1 ? c) Der Punkt P2 wird an der Ebene E2 gespiegelt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes P 2′ . d) Berechnen Sie die Fl¨ache des Parallelogramms, welches von den Punkten P1 , P2 und P3 aufgespannt wird.

Aufgabe 2. (30 Punkte) Es sei R1 (x) =

x5 − 3x4 − 7x3 + 15x2 + 18x P (x ) . = x3 − 7x2 + 15x − 9 Q(x)

a) Berechnen Sie die gek¨urzte Darstellung von R1 . Dazu bestimmen Sie zuerst den gr¨oßten gemeinsamen Teiler von Z¨ahler- und Nennerpolynom. Die gek¨urzte Darstellung werde R2 (x) genannt. Berechnen Sie R2 (3). b) Berechnen Sie lim R1 (x) mit Hilfe der Regel von de l’Hospital und ¨uberpr¨ufen Sie die x→3 ¨ Ubereinstimmung mit R2 (3). c) Geben Sie eine Faktorzerlegung von Q (x) an und lesen Sie daraus die Nullstellen von Q mit ihren Vielfachheiten ab. d) Berechnen Sie die Fl¨ache, die auf dem Bereich [0, 2] vom Graphen von Q(x) und der x-Achse eingeschlossen wird.

Aufgabe 3. (30 Punkte) Berechnen Sie folgende Integrale: Z t   e−x a − 3x dx, mit Konstanten a, t ∈ a)

,

0

b)

Z

sin(x)   dx. (1 − sin(x)) · 1 + cos(x)

Hinweis zu b): Erst Substitution, dann Partialbruchzerlegung. c) Erl¨autern Sie kurz, wie man zum Integralbegriff f¨ur stetige Funktionen f : [a, b] → (3–4 S¨ atze.)

2

+

kommt.

Aufgabe 4. (30 Punkte) Wir betrachten den Arkustangens auf [−1, 1]. a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom t3 (dritten Grades) mit Entwicklungspunkt a = 0 f¨ur f(x) = arctan(x). Welche Symmetrien weisen arctan und t3 auf. Stellen Sie das zugeh¨orige Restglied R3 auf. Sch¨atzen Sie ab, wie groß R3 auf [−1, 1] werden kann. b) Berechnen Sie mit Hilfe von t3 folgendes Integral n¨aherungsweise: Z

1

−1

 x · arctan(x) dx.

Stellen Sie eine Formel f¨ur den Fehler auf.

(Hinweis: Nur aufstellen!)

c) Berechnen Sie nochmal n¨aherungsweise das Integral Z

1

−1

 x · arctan(x) dx.

Diesmal mit Hilfe der zusammengesetzten Trapezregel, wobei Sie nur die Stellen x = −1, x = 0 und x = 1 verwenden sollen.

Aufgabe 5. (30 Punkte) Es seien die vier Vektoren ~v1 ,~v2 ,~v3 ,~v4 ∈ folgt gegeben    0  2     ~v1 =   1  , ~v2 =  0

4

ur ein festes, aber nicht n¨aher festgelegtes α ∈ f¨

 0 1  , α  0

wie



   1 α  0   −1     ~v3 =   1  , ~v4 =  0  −1 1

a) Ermitteln Sie mit Hilfe der Determinantenrechnung, f¨ur welche α die gegebenen Vektoren linear unabh¨ angig und f¨ur welche α sie linear abh¨angig sind. Entwickeln Sie die Determinante nach der letzten Zeile. Stellen Sie f¨ur eines dieser α den Vektor ~v2 als Linearkombination der drei anderen Vektoren dar. b) Kl¨aren Sie mit dem Gaußalgorithmus: F¨ur welchen Wert von α besitzt das lineare Gleichungssystem x1~v1 + x2~v2 + x3~v3 + x4~v4 = ~b mit ~b = (1, 0, 1, α)T (a) keine L¨osung, (b) genau eine L¨ osung, (c) mehrere L¨osungen?

3

Aufgabe 6. (30 Punkte) √ Gesucht ist eine rationale Approximation des Arkustangens auf dem Intervall [0, 3]. Dazu wird folgender Ansatz aufgestellt y(z) =

b1 + z + b2 z 2 1 + b3 z 2

f¨ ur z ≥ 0.

Ziel ist die Bestimmung der Parameter b1 , b2 , b3 , so dass 4 X i=1

(arctan(zi ) − y(zi ))2

√ f¨ur z1 = 0, z2 = z3 = 1 und z4 = 3 minimal wird. Dies soll mittels nichtlinearer Ausgleichsrechnung (Gauss-Newton) geschehen, da der Ansatz nichtlinear von den Parametern bi abh¨angt. Als Startwerte f¨ur die bs soll der Vektor (1, 1, 0)T benutzt werden. Gehen Sie dabei wie folgt vor: √ 3 , 3

d d y(0) = dz a) Weisen Sie nach, dass dz arctan(0). Ferner geben Sie alle Vektoren ~b = (b1 , b2 , b3 )T ∈ 3 ur die y(0) = arctan(0) gilt. , f¨

b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen der Ansatz Funktion y nach den Parametern bi . c) Mit den partiellen Ableitungen aus b) und dem Startvektor (1, 1, 0)T bekommt man durch eine Taylorapproximation erster Ordnung den folgenden linearen Ansatz   z + b1 + b2 · z 2 + b3 · z 2 + z 3 + z 4 ≈ arctan(z ).

Dies stellt nun ein lineares Ausgleichsproblem dar. Stellen Sie daf¨ur die Normalgleichungen f¨ur die konkret gegebenen Daten z1 , z2 , z3 , z4 auf (Matrizenprodukte brauchen nicht ausgerechnet werden). Hinweis: Verwenden Sie folgende Modifikation:   y˜(z ) := b1 + b2 · z 2 + b3 · z 2 + z 3 + z 4 ≈ arctan(z ) − z.

d) Was m¨ussen Sie weiter tun, um zu einer L¨osung des linearen Ausgleichsproblems und schließlich des nichtlinearen Ausgleichsproblems zu kommen (ca. drei S¨atze).

4

Aufgabe 7. (30 Punkte) Gegeben sei die Menge D :=



(x, y) ∈

2

| 2 − x2 ≤ y ≤ 3 −

3 2 x , 25



y≥0 .

a) Skizzieren Sie die Menge D. b) Berechnen Sie den geometrischen Schwerpunkt von D. Hinweis: Eine Koordinate des Schwerpunkts ist anschaulich plausibel (diese brauchen Sie nicht unbedingt zu berechnen). c) Aus der Menge D definieren wir nun die Teilmenge n √ √ o G := (x, y) ∈ D | − 2 ≤ x ≤ 2 . Tragen Sie noch die Einschr¨ankungen f¨ ur G in ihre Skizze ein. Berechnen Sie das Volumen, welches zwischen G und der folgenden Funktion liegt: f :G→

,

(x, y) 7→ f(x, y) = 1 − x.

Hinweis: Ein Volumen kann nicht negativ werden. Aufgabe 8. (30 Punkte) Gegeben seien das Gebiet  D := (x, y) ∈

2

| x + 1 ≥ −y,

x − 1 ≤ y,

x2 + y 2 ≤ 4

und die Funktion f(x, y) = 4x3 − 3xy2 + 2y2 . a) Fertigen Sie eine Skizze von D an. b) Berechnen Sie die Eckpunkte von D. c) Ermitteln Sie auf D alle Kandidaten f¨ur lokale Extremstellen von f . √ √ √ Hinweise: 7 ≈ 2.6, 13 ≈ 3.6 85 ≈ 9.2.

5

...