Probeklausur Summer 2019, Fragen PDF

Preview

Summary

Download Probeklausur Summer 2019, Fragen PDF

Description

Universit¨at Bonn Institut f¨ur Informatik II 21.6.2019

Prof. Dr. Reinhard Klein Elena Trunz

Informationen zum Pr¨ufling:

Name:

........................................

MatrikelNr:

........................................

Vorname:

........................................

Vom Pr¨ufer auszuf¨ullen:

Aufgabe

1

2

3

4

5

6

P

Maximale Punkte

9

7

14

12

12

16

70

Erreichte Punkte

Hinweise: • Die Bearbeitungszeit betr¨agt 70 Minuten bei insgesamt 70 Punkten. Das ergibt im Schnitt eine Minute pro Punkt. • F¨ ur nicht lesbare L¨ osungen k¨onnen wir keine Punkte vergeben. • Werden mehrere unterschiedliche L¨osungen f¨ur eine Aufgabe abgegeben, wird die ganze Aufgabe nicht gewertet. • Im Fall von T¨auschungsversuchen wird die Klausur sofort und ohne Vorwarnung mit 0 Punkten bewerten. • Neben Schreibutensilien sind keine weiteren Hilfsmittel erlaubt. Elektroger¨ate aller Art (z.B. Taschenrechner, Smartphone, Smartwatch, etc.) m¨ussen ausgeschaltet werden und entweder an den Rand gelegt oder vorne abgegeben werden. Verst¨oße werden als T¨auschungsversuch gewertet. • Wir k¨onnen nur L¨osungen auf von uns ausgeteiltem Papier werten. Sollte der Platz auf den Aufgabenbl¨ attern nicht ausreichen, kann jederzeit zus¨atzliches Schreibpapier bei den Betreuern angefordert werden. Achte darauf, dass die Vorderseits jedes Blattes deinen Namen und deine Matrikelnummer enth¨alt. • Wenn nicht anders angegeben k¨onnen nur bei nachvollziehbarer Begr¨undung der Antwort Punkte vergeben werden. Eine Ausnahme bildet die Multiple-Choice Aufgabe bei der keine Begr¨undung erforderlich ist.

Viel Erfolg! 2

......................................... .........................................

–

.........................................

Aufgabe 1 (Wahrscheinlichkeitsr¨ aume, 3+3+3=9 Punkte) Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Sei A, B ∈ A wobei A 6= ∅, sei C ⊆ Ω und sei A1 , A2 , . . . eine Folge von Mengen in A. Hinweise: Jeweils nur ein Kreuz pro Teilaufgabe. Ist dieses richtig gesetzt, bekommen Sie f¨ur diese Teilaufgabe 3, anderenfalls 0 Punkte. Begr¨undungen sind nicht erforderlich. a) Kreuzen Sie die Aussage an, die falsch sein kann. 2 Ac ∪ B ∈ A und A ∩ B c ∈ A 2 C c ∪ C ∈ A und C c ∩ C ∈ A 2 A∪C ∈ A T∞ 2 B ∩ ( i=1 Ai ) ∈ A b) Kreuzen Sie die Aussage an, die falsch sein kann. 2 ({0, 1}, {{0}, {1}, {0, 1}}) ist kein Ereignisraum. 2 (Ω, 2Ω ) ist ein Ereignisraum. 2 (A, {A ∪ D | D ∈ A}) ist ein Ereignisraum. 2 (C, {C ∩ D | D ∈ A}) ist ein Ereignisraum. c) Kreuzen Sie die Aussage an, die falsch sein kann. S∞ P∞ 2 Wenn A1 , A2 , . . . paarweise disjunkt sind, gilt i=1 P (Ai ) = P ( i=1 Ai ). 2 Wenn A und B fast sichere Ereignisse, gilt P (A ∩ B) = P (A ∪ B) = 1 S∞ P∞ A) 2 i=1 P (Ai ) ≥ P ( i=1 i T∞ 2 mini P (Ai ) > P ( i=1 Ai )

3

Aufgabe 2 (Erwartungswert und Varianz, 2+2+3=7 Punkte ) Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien X, Y : Ω → Z zwei Zufallsvariablen mit X, Y ∈ L1 (P ). a) Wie ist der Erwartungswert von X bzgl. P definiert? b) Geben Sie die Rechenregel der Linearit¨ at des Erwartungswertes als Formel an (ohne Beweis). c) Unter welcher Bedingung ist die Varianz VP (X) wohldefiniert? Geben Sie sie m¨oglichst explizit an.

4

......................................... .........................................

–

.........................................

Aufgabe 3 (Lotto f¨ ur Mathematiker, 2+8+4=14 Punkte) Man kann die Zahlen 1,. . . ,49 eines Lottoscheins in die drei disjunkten Mengen • S0 := “Zahlen, die weder durch 3 noch durch 7 teilbar sind” • S3 := “Zahlen, die durch 3, nicht aber durch 7 geteilt werden k¨onnen” • S7 := “Zahlen, die durch 7 geteilt werden k¨onnen” achtigkeiten |S0 | = 26, |S3 | = 16 und |S7 | = 7. Nun werden gleichverteilt 6 untereinteilen mit den M¨ schiedliche Felder markiert. Modellieren Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau H0 , H3 und H7 Felder in den jeweiligen Mengen markiert wurden. a) Nennen Sie das passende Standardmodell beim Namen. b) Geben Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) an, der dieses Zufallsexperiment modelliert. c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit f¨ur das Ereignis H0 = 2, H3 = 1, H7 = 3? Hinweis: Es reicht die Darstellung der Formel und der eingesetzten Werte, ein genaueres Ergebnis wird nicht gebraucht.

5

Aufgabe 4 (Erwartungswert der geometrischen Verteilung, 12 Punkte) Es sei X eine geometrisch verteilte Zufallsvariable mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Zeigen Sie, dass f¨ur den Erwartungswert gilt: EP (X) = 1p .

6

......................................... .........................................

–

.........................................

Aufgabe 5 (Korrelationskoeffizient, 12 Punkte) Es seien X und Y Zufallsvariablen mit Y = −aX + b f¨ur eine positive reelle Zahl a > 0, eine reelle Zahl b und V(X) 6= 0. Zeigen Sie unter Verwendung der Rechenregeln f¨ur E, V und Cov, dass f¨ur den Korrelationskoeffizienten ρX Y gilt: ρXY = −1. Wie kann diese Aussage geometrisch gedeutet werden?

7

Aufgabe 6 (Wegemodell, 4+4+2+6=16 Punkte) Einem Kandidaten einer Spielshow werden drei T¨uren pr¨ asentiert, hinter denen genau ein Gewinn versteckt ist. Im Unterschied zum Ziegenproblem sind die Wahrscheinlichkeiten den Gewinn hinter den jeweiligen T¨ uren zu finden nicht notwendig gleich und durch p1 ≥ p2 ≥ p3 ≥ 0 mit p1 + p2 + p3 = 1 gegeben. Im Wissen um die Wahrscheinlichkeiten entscheidet sich der Kandidat f¨ur die erste T¨ur. Daraufhin ¨offnet der Moderator eine der verbleibenden T¨ uren, hinter denen der Gewinn nicht versteckt ist. Nun hat der Kandidat die M¨oglichkeit seine Wahl auf die noch verschlossene T¨ur zu a¨ndern, welche er mit Wahrscheinlichkeit α wahrnimmt. Uns interessiert, ob er schließlich gewinnt. a) Modellieren Sie dieses Experiment im Wegemodell. Unterscheiden Sie hierbei in der ersten Stufe alle {T 1, T 2, T 3}, die angeben, hinter welcher T¨ die F¨ ur der Gewinn war und in der zweiten Stufe die F¨alle {G, V }, die f¨ ur Gewonnen und Verloren stehen. Beachten Sie, dass die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen von der Wahrscheinlichkeit α abh¨angt, die angibt ob der Kandidat wechselt. b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Kandidat gewinnt, in Abh¨angigkeit von p1 , p2 , p3 und α an. c) Ist der Kandidat f¨ur p1 =

1 3

besser beraten zu wechseln, zu verbleiben oder ist es irrelevant?

d) Sei p1 = 0.6, p2 = p3 = 0.2 und α = 0.5. Falls der Kandidat gewonnen hat, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn hinter der ersten T¨ur war?

8...