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Curso 2013/14

Cuestiones y Problemas de Microeconomía I

Problema resuelto Tema 4: LOS COSTES DE PRODUCCIÓN

3

1

Sea q L 4 K 4 la función de producción de una empresa que contrata los factores trabajo y capital a los precios w 486 y r 2 , respectivamente. a) Calcule el tipo de rendimientos a escala que presenta la tecnología de esta empresa. Los rendimientos a escala permiten conocer cómo varía la producción de un bien cuando se modifican todos los factores de producción en la misma proporción. Para el cálculo de los rendimientos a escala, se procede a multiplicar todos los factores por una constante t y calcular el efecto sobre la producción del bien: 3

1

Si la función de producción es q(L, K) L 4 K 4 , entonces denominamos z z q(tL, tK) (tL) 3 / 4 ( tK)1 / 4 t 3 / 4 t 1 / 4 L3 / 4 K 1 / 4 t.q(L, K)

q(tL, tK) . Por tanto,

En este caso, se ha obtenido que al multiplicar todos los factores por la constante t también se ha multiplicado la producción por la misma constante. En este caso, se dice que la función de producción presenta rendimientos constantes a escala.

b) Obtenga las curvas de costes totales, medios y marginales a largo plazo y represéntelas gráficamente. Para el cálculo de las curvas de costes a largo plazo, en primer lugar se han de obtener las funciones de demanda condicionadas de factores, resultantes de minimizar el coste de producción, dada la función de producción de la empresa.

w , se obtiene. r

Aplicando la condición de minimización de costes RMSTL ,K

PMg L PMg K

RMST L ,K

3 / 4L

1/ 4

K 1/ 4

1 / 4K

3/ 4

3K L

3/ 4

L

wL r3

w , de donde K r

81L

sustituyendo este resultado en la función de producción: q(L, K)

3

4

L K

1

4

3/ 4

L

 w L 1 / 4   3 r  

1/ 4

3/ 4

L

(81L)

1/ 4

*

3L , de donde L

 3r  q  w 

q 3

Esta es la función de demanda condicionada del factor trabajo. Por otro lado, K

por lo que K

*

wL r3

KL / P

w  3r q r3  w w q   3r 

1/ 4

   

3/ 4

 w q   3r 

81L

81

q 3

27q ,

3/ 4

Pág. 1

MICROECONOMÍA I

Tema 4 / 4ª Colección de problemas / 2013 - 2014

Esta es la demanda condicionada del factor capital. La función de costes totales de largo plazo será: 1/ 4

wL*

CTL / P( w , r, q) 486

q 3

rK *

2.27q 162q 54q

 3r  wq   w

 w rq   3r 

3/ 4

qw 3 / 4 r 1 / 4 (31 / 4

3

3/ 4

) 1.75qw 3 / 4 r 1 / 4

216q

CMeL / P( w , r, q)

CTL / P 1.75w 3 / 4r 1 / 4 =216 q

CMgL / P( w , r, q)

dCTL / P 1.75w 3 / 4 r 1 / 4 =216 dq

La curva de CTL/P es una recta de pendiente positiva y las curvas de CMeL/P y CMgL/P son iguales y, además, son rectas totalmente elásticas, típicas cuando hay rendimientos cosntantes a escala.

c) Suponga que la empresa desea obtener q soportar.

24 unidades. Calcule el menor coste que podrá

A partir de la curva de CTL/P se puede obtener el menor coste posible para cualquier nivel de producción. En el caso de q = 24 unidades, y cuando w = 486 y r = 2, entonces el CTL/P es CTL / P

2.72qw 3 / 4 r1 / 4

1.75.24.4863 / 4 21 / 4

5.184

d) Considere que la empresa se encuentra produciendo a corto plazo con 81 unidades de capital. Obtenga cuál será el coste que le supone a la empresa producir las 24 unidades. En primer lugar, dado que el capital es fijo, entonces se trata de una situación del corto plazo, que obliga a obtener la función de costes totales del corto plazo. En este caso en el que hay sólo dos factores de producción, el problema es muy sencillo, pues, dada la cantidad del factor capital (K = 81) se trata únicamente de obtener la demanda del factor trabajo. Su valor se obtendrá de la función de producción. q

3 4

L K

1

4

L

3/ 4

1/ 4

81

L

3/ 4

3, de donde L c/p

 q    3

4/ 3

Esta es la función de demanda condicionada del factor trabajo del corto plazo, para K = 81. Por lo que la función de costes totales de corto plazo será: CTC / P( w , r, q)

wL c / p

rK

 q w   3

4/ 3

 24  r81 486.   3

4/ 3

2.81 7776 162

7938

El coste total a corto plazo de producir 24 unidades, sin duda, debe ser superior al coste total de largo plazo, por la rigidez del factor fijo. Pág.2

MICROECONOMÍA I

Tema 4 / 4ª Colección de problemas / 2013 - 2014

e) ¿A qué se debe la diferencia entre los niveles de coste obtenidos en los apartados c) y d)? Como se comentó en el apartado anterior, la razón de la diferencia entre los resultados de los apartados c) y d) se debe a que en el largo plazo se está utilizando la cantidad de capital minimizadora del coste, mientras que en el corto plazo la cantidad de capital K = 81 no es minimizadora del coste y hace aumentar los costes totales.

f) ¿Para qué nivel de producción la cantidad de capital que tiene contratada la empresa, K 81, es la que minimiza el coste a largo plazo? El nivel de capital K = 81 es minimizador del coste a largo plazo, para el nivel de producción q, tal que el CTL/P = CTC/P(K = 81). O de forma más sencilla, que el K c / p K L / P

Resolviendo, se obtiene: K*

KL / P

 w q   3r 

3/ 4

=27q=81, de donde q

81 27

3

Para el nivel de produción q=3 el nivel de capital K = 81 es el que minimiza el coste a largo plazo.

Pág.3...