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Tema 3: Dinámica de la partícula

Dinámica de la partícula

1. Una grúa sostiene un peso de 1000 kg. Calcule la tensión del cable que la soporta si: a) El peso se acelera hacia arriba a 2 m/s2. b) Se levanta el peso con velocidad constante. c) El peso se levanta con una velocidad que disminuye 2 m/s en cada segundo. 2. Una persona debe abandonar una habitación en llamas por una ventana que se encuentra a 15 m del suelo. Dispone de una cuerda delgada de 25 m de longitud, pero ésta se romperá cuando la tensión sea superior a 360 N, y la persona pesa 600 N. Sabe además que una persona se dañará si se cae contra el suelo a una velocidad mayor que 10 m/s a) Demuestra que no se puede deslizar con seguridad por la cuerda. b) Encuentra un sistema seguro que permita utilizar la cuerda y alcanzar el suelo sin sufrir daños graves. 3. El coeficiente de fricción estático entre el suelo de un camión y una caja que descansa sobre él es de 0.30. La velocidad del camión es de 80 km/h. ¿Cuál es la distancia mínima de parada del camión para que la caja no deslice? 4. Una fuerza F, dirigida horizontalmente, actúa sobre un cuerpo de masa M durante un tiempo τ. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el cuerpo y el plano horizontal en el que yace el cuerpo es µ. ¿Qué distancia recorrerá el cuerpo hasta pararse? 5. Un bloque está en un plano inclinado cuyo ángulo puede variarse. El ángulo se incrementa gradualmente desde 0º hasta 30º. El bloque comienza entonces a descender y recorre 3 m en 2 s. Calcule los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre el bloque y el plano inclinado. P á g i n a 1 | 15

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6. En un proceso de ensamblado en línea, un paquete de 20 kg parte del reposo y se desliza hacia abajo por una rampa lisa de 2 m de longitud. Suponga que se quiere diseñar el dispositivo hidráulico B, mostrado en la figura, para que ejerza una fuerza constante de magnitud F sobre el paquete y lo detenga en una distancia de 100mm. ¿Cuál es la fuerza F requerida? 7. Determina la fuerza que ejerce sobre la pared una cuña al deslizarse por ella cierta carga de masa m. El ángulo de la base de la cuña es θ. El coeficiente de rozamiento entre la carga y la superficie de la cuña es µ. Desprecie el rozamiento entre la cuña y el suelo. 8. Un bloque de peso 400 N descansa sobre una mesa horizontal. El coeficiente de rozamiento estático es 0,6. El bloque está sometido a la fuerza F, que forma un ángulo θ con la horizontal, mediante una cuerda sin peso, como indica la figura. El valor mínimo de la fuerza necesaria para mover el bloque depende del ángulo θ. a) Discute cualitativamente en qué forma esta fuerza depende de θ. b) Calcule esta fuerza para los ángulos θ = 0, 10, 20, 30, 40, 50 y 60º. c) Haz un gráfico de F en función de θ. Según este gráfico, cuál es el ángulo más eficaz que debe formar la dirección de la fuerza con la horizontal para mover el bloque? ¿Depende este ángulo del peso? ¿Y del coeficiente de rozamiento? P á g i n a 2 | 15

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9. El bloque m2 de la figura es una masa variable que puede ajustarse hasta un cierto valor crítico a partir del cual la masa m1 está a punto de deslizar. a) Si la masa crítica de m2 es de 5 kg y la masa m1 es de 7 kg, ¿cuál es el coeficiente de rozamiento estático entre la mesa y el bloque? b) Con un ligero golpe, el sistema acelera con 1 m/s2. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento dinámico entre la mesa y el bloque? 10. Dos bloques de masas m1 = 3 kg y m2 = 5 kg se conectan mediante una cuerda liviana que pasa por una polea de masa y rozamiento despreciables. Los ángulos de la figura son θ = 37º y φ = 43º. Determina a) La aceleración de los bloques. b) La tensión de la cuerda. c) La fuerza normal sobre cada bloque. 11. Un cuerpo de masa m = 2 kg descansa sobre una superficie pulida que tiene una inclinación de θ = 60º y una aceleración a hacia la derecha de tal modo que la masa permanece estacionaria en relación al plano. a) Determina la aceleración a. b) ¿Qué ocurriría si el plano tuviese una aceleración mayor? 12. Las masas de los bloques A y B mostrados en la figura son mA = 15 kg y mB = 55 kg. Sabiendo que el

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coeficiente de rozamiento entre A y el plano es µA = 0,25 y entre B y el plano es µB = 0,1, calcula la fuerza que ejercen los bloques entre sí cuando descienden por el plano. 13. Un bloque de masa m1 = 100 kg es empujado a lo largo de una superficie sin rozamiento por una fuerza F de tal modo que su aceleración es a1 = 6 m/s2. Un bloque de masa m2 = 20 kg se desliza por la parte superior de m1 con una aceleración a2 = 4 m/s2. a) ¿Cuál es la fuerza de rozamiento ejercida por m1 sobre m2? b) ¿Cuánto vale la fuerza F? c) Una vez que la masa m2 se ha caído de la m1, ¿cuál es la aceleración que adquiere m1? 14. Un bloque de masa m2 = 60 kg se desliza por la parte superior de otro bloque de masa m1 = 100 kg con una aceleración a2 = 3 m/s2 por la acción de una fuerza horizontal F = 320 N, como indica la figura. El bloque m1 se apoya sobre una superficie horizontal sin rozamiento, pero hay fricción entre los dos bloques. a) Determine el coeficiente de rozamiento dinámico entre los dos bloques. b) Calcule la aceleración del bloque de masa m1 durante el tiempo en que m2 mantiene el contacto. 15. Las partículas esféricas pequeñas experimentan una fuerza de resistencia viscosa dada por la ley de Stokes:

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𝐹𝑅 = − 6 𝜋 𝜂 𝑟 󰇍𝑣󰇍 donde r es el radio de la partícula, v es su velocidad y η la viscosidad dinámica del aire o medio fluido donde caen las esferas. a) Estima la velocidad límite de una partícula contaminante esférica de radio 10 -5 m y densidad 2·103 kg/m3. Suponga que el aire está en reposo y que η = 1,8·10-5 Ns/m2. b) Estima el tiempo que esta partícula tarda en caer por una chimenea de 100 m de altura. 16. Un automóvil de 800 kg desciende por una larga pendiente de 6º. La fuerza de rozamiento del aire que se opone al movimiento del coche tiene la forma, expresada en Newtons: 𝐹𝑅 = 100 + 1,2 𝑣 2 donde v es la velocidad del automóvil expresada en m/s. ¿Cuál es la velocidad límite del automóvil al descender por esta pendiente? 17. En un parque de atracciones, una persona entra en un cilindro vertical giratorio. Cuando el cilindro lleva cierta velocidad de giro, se quita el suelo, quedando la persona sujeta a la pared del cilindro debido a una fuerza de rozamiento dirigida hacia arriba. El coeficiente de rozamiento estático entre la pared y el cilindro y la ropa de la persona es µE = 0,4 y el radio del cilindro es R = 2,1 m a) ¿A qué velocidad angular mínima del cilindro no entraña peligro quitar el suelo? b) A esta velocidad de rotación, ¿qué aceleración centrípeta experimenta el cuerpo de la persona? 18. Un bloque de masa m1 está sujeto a una cuerda de longitud L1 fija a un clavo en el otro extremo. La masa se

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mueve en un círculo horizontal sobre una mesa pulida. Una segunda masa m2 se une a la primera mediante una cuerda de longitud L2 y se mueve también en círculo como indica la figura. Determina la tensión de cada una de las cuerdas si el periodo del movimiento es T. 19. Se sitúa una balanza calibrada en Newtons sobre el fondo de un camión que se desplaza con una velocidad constante de 14 m/s. Sobre la balanza se coloca una caja que pesa 500 N. Calcula la lectura de la balanza en los casos: a) El camión pasa por la parte alta de una colina cuyo radio de curvatura es de 100 m. b) El camión pasa por el fondo de una depresión cuyo radio de curvatura es 80 m. 20. Un disco de 100 g se coloca sobre una plataforma giratoria horizontal que gira a razón de una revolución por segundo. El disco está situado a 10 cm del eje de rotación de la plataforma. a) ¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento que actúa sobre el disco? b) El disco desliza y sale despedido de la plataforma cuando se coloca a una distancia radial superior a 16 cm del eje de rotación. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento estático? 21. Un bloque de masa M = 5 kg se mueve en línea recta sobre una superficie horizontal sin rozamiento, bajo la acción de una fuerza F que varía con la posición x del bloque de la forma que se muestra en la figura. a) ¿Qué trabajo realiza F sobre el bloque mientras se mueve desde el origen hasta x = 8 m? b) Si la velocidad del bloque al pasar por el origen es de 4 m/s, ¿con qué velocidad pasa por el punto x = 8 m? P á g i n a 6 | 15

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22. Un bloque de masa m = 2 kg cuelga de un muelle de masa despreciable, como se muestra en la figura. La constante del muelle es k = 100 N/m. ¿Cuál es el trabajo mínimo necesario para estirar el muelle una distancia adicional d = 15 cm? 23. Un sistema se compone de dos resortes unidos en serie cuyas constantes son k 1 y k2. Calcule el trabajo mínimo necesario para estirar este sistema una longitud L. 24. La fuerza restauradora de un muelle no lineal (que no obedece a la ley de Hooke) viene dada por: F(x) = - k x (1 - a x2) donde x es el alargamiento respecto a la posición de equilibrio y k y a son constantes. Halla la energía potencial del muelle en función de x. 25. Un aprendiz de brujo debe subir diariamente un cubo de agua agujereado con una capacidad de un galón desde el pozo existente en el patio del castillo hasta la parte superior de una torre de 50 m de altura. La pérdida de agua se realiza a un ritmo tal que el aprendiz llega arriba con el cubo lleno sólo hasta la mitad. Suponiendo que la velocidad de subida del aprendiz y la pérdida del cubo son ambas constantes y que el cubo puede considerarse sin peso, ¿cuánto trabajo exige esta tarea? Expresa la respuesta en julios. Nota: 1 galón de agua = 3785 g 26. La fuerza ejercida sobre un coche por una barrera parachoques al golpear el coche contra ésta es F = - (1000 + 10000 x) N, donde x es la distancia en metros medida desde el punto de contacto inicial. Si se quiere diseñar una barrera de manera que pueda detener un vehículo de 2500 kg de peso que viaje a 80 km/h, ¿Cuál será la longitud necesaria de la barrera para que esta detenga al coche?

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27. Un cuerpo de masa m se lanza con una velocidad inicial v0 que forma un ángulo θ con la horizontal. Determina las potencias instantánea y media desarrolladas por la fuerza de gravedad durante el movimiento del cuerpo. 28. Un automóvil de masa m = 750 kg circula por una carretera a nivel con una velocidad v = 54 km/h cuando su motor desarrolla una potencia p = 10 CV. a) ¿Cuánto vale la suma R de todas las resistencias (rozamientos, resistencia del aire, etc) que actúan sobre el automóvil? b) ¿Qué potencia p' deberá desarrollar el motor del automóvil para subir a 54 km/h una pendiente del 3%? c) ¿Qué pendiente permitirá que el automóvil baje a 54 km/h sin que funcione el motor? 29. Supongamos que la potencia máxima que puede desarrollar el motor del automóvil del problema anterior sea de 30 CV, y que las fuerzas de resistencia mantengan el mismo valor con independencia de la velocidad del automóvil (suposición poco realista): a) ¿Cuál sería la velocidad máxima del automóvil en una carretera horizontal? b) ¿Cuál sería la velocidad máxima del automóvil subiendo una pendiente del 10%? c) ¿Y bajando una cuesta del 3% de pendiente? d) ¿Y bajando una cuesta del 10% de pendiente? 30. Un cuerpo de 3 kg de masa se mueve a lo largo del eje OX bajo la acción de la fuerza resultante, dirigida a lo largo de dicho eje, y que está definida en función del tiempo mediante la ecuación: F = 3 + 2t estando F expresada en N y t en s. En t = 0 el cuerpo se encuentra en reposo y en el origen de coordenadas. P á g i n a 8 | 15

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a) Expresa la aceleración, velocidad y posición del cuerpo en función del tiempo. b) Expresa la potencia desarrollada por F en función de t. c) Calcula el trabajo realizado por F durante los cinco primeros segundos de desplazamiento del cuerpo. 31. Una bola de 5 kg de masa que se lanza verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 20 m/s, alcanza una altura de 15 m. Calcula la pérdida de energía debida a la resistencia del aire. 32. Una fuerza horizontal F = 40 N empuja un bloque de masa m = 0,5 kg por un plano inclinado un ángulo θ = 37º, tal y como se muestra en la figura. El coeficiente de rozamiento dinámico es de μD = 0,25. Cuando el bloque está a una altura h = 2 m más alto que su punto de partida, ¿con qué velocidad v se mueve? 33. Se quiere diseñar un parachoques que detenga un paquete de M = 100 gr que se mueve con v0 = 3 m/s, a 3 cm del punto de contacto. a) ¿Cuál es la constante k del resorte necesaria, si la fricción y la masa del parachoques se consideran despreciables? 34. En el dispositivo de forja de la figura, el martillo de 40 kg se levanta a la posición 1 y se libera del reposo. Cae y golpea una pieza de trabajo cuando está en la posición 2. Suponga que la longitud de cada resorte sin estirar es de 200 mm, a = 300 mm, b = 400 mm y que el P á g i n a 9 | 15

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dispositivo se quiere diseñar de manera que el martillo golpee la pieza de trabajo a 5m/s. Determina la constante k. 35. Dos bloques de masas M = 5 kg y m = 3 kg están conectados mediante una cuerda que pasa por una polea como muestra la figura. La masa m está inicialmente apoyada en el suelo. La altura H es de 2 m. a) ¿Qué velocidad lleva M cuando golpea el suelo? b) ¿Qué altura alcanzará el bloque de masa m suponiendo que ni la polea ni el techo interfieren en su movimiento de subida? 36. En el diseño preliminar de una máquina clasificadora del correo, los paquetes se mueven hacia abajo por una rampa lisa a v0 = 1 m/s. Son detenidos por un muelle elástico y la altura de la rampa es de b = 1 m. ¿Cuál debe ser la constante elástica del muelle si se quiere que un paquete de 100 gr quede detenido en una distancia de 5 cm? 37. Considera una partícula situada en la parte superior de un hemisferio liso. Se le da un pequeño empujón y comienza a deslizarse hacia abajo. a) Demuestra que en ausencia de rozamiento la partícula se desprende del hemisferio en un punto cuya altura respecto al suelo es 2R/3. b) Si existiera rozamiento entre hemisferio y partícula, ¿se desprendería de la superficie en un punto superior o inferior al encontrado en a)? P á g i n a 10 | 15

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38. Si la partícula del problema anterior comienza su movimiento con una velocidad inicial v0, calcula la altura a la que se desprenderá del hemisferio. 39. Se dispone de un péndulo formado por una lenteja de masa m unida a una varilla ligera de masa despreciable y de longitud L. El otro extremo de la varilla se fija a un eje sin rozamiento. El péndulo se pone en movimiento dejándolo caer desde el punto sobre la vertical del eje que se encuentra por encima de éste. Calcula la fuerza ejercida por la varilla sobre la lenteja cuando: a) La lenteja se encuentra en el punto más bajo de la trayectoria. b) La varilla forma un ángulo de 30° por debajo de la horizontal. c) La varilla forma un ángulo de 30° por encima de la horizontal. 40. Supongamos que para diseñar un lazo de un parque de atracciones se ha establecido como criterio de seguridad que en la parte superior del lazo la fuerza normal ejercida sobre un pasajero sea igual al 10% del peso de éste (es decir el peso efectivo que comprime al pasajero en su asiento es del 10% de su peso). El vagón se mueve a 20 m/s cuando entra en el lazo y b = 15 m. ¿Cuál es el radio de curvatura necesario ρ, de la vía en la parte superior del lazo? 41. Una partícula de masa m desliza por un plano inclinado sin rozamiento y entra en un lazo circular de diámetro d. a) Calcula la altura h a la que se debe soltar la masa m para que pueda dar una vuelta completa. b) Si la altura a la que se deja caer m es 2d, encuentre la reacción que ejerce la P á g i n a 11 | 15

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pista sobre la partícula en los puntos A y B. 42. Un bloque de masa m = 2 kg se desplaza sin rozamiento partiendo del reposo desde el punto A hasta el C a lo largo de la superficie de la figura. Determina: a) La fuerza que la superficie ejerce sobre el bloque en el punto B, donde el radio de curvatura es de 3 m. b) El valor mínimo del radio de curvatura en C para que el cuerpo pase por este punto. 43. Una chica se balancea en un columpio cuya cadena mide 2,5 m. a) ¿Cuál es la velocidad mínima que debe llevar la chica en el punto más bajo de la trayectoria para que dé una vuelta completa? b) Supón que la chica lleva en el punto más bajo de la trayectoria una velocidad de 9 m/s. Calcula la altura a la que se destensa la cadena.

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Soluciones 1. a) 11810 N b) 9810 N c) 7810 N 2.

b) Doblando la cuerda.

3. 83,9 m 𝐹

4. 𝑑 = 2𝜇𝑀𝑔 [

𝐹

𝑀

− 𝜇𝑔] 𝜏 2

5. μE = 0,58

μD = 0,40

6. F = 2060 N 7. F = cos2θ [tg θ – μ] mg 8. b) θ (º) F (N)

0 240

10 220

20 210

30 206

40 208

50 218

60 235

245 240 235

F (N)

230 225 220 215 210 205 200 0

10

20

30

40

50

60

70

θ (º)

d) θmín = 31º

9. μE = 0,71

El θmín no depende del peso ni del coeficiente de rozamiento.

μD = 0,54

10. a) a1 = a2 = 2,35 m/s2. El sistema se mueve hacia la derecha. P á g i n a 13 | 15

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b) T = 24,7 N c) N1 = 23,5 N

N2 = 39,1 N

11. a) a = 17,0 m/s2 b) Si la aceleración fuese mayor, el bloque ascendería por el plano. 12. F = 13,3 N 13. a) FR = 80 N b) F = 680 N c) a'1 = 6,80 m/s2 14. a) μD = 0,24 b) a1 = 1,40 m/s2 15. a) vL = 2,42 10-2 m/s b) t = 1,15 h 16. vL = 24,48 m/s 17. a) ωmín = 3,42 rad/s b) ac = 24,56 m/s2 2𝜋 2

18. 𝑇1 = [ 𝑇 ] [(𝑚1 + 𝑚2 )𝐿1 + 𝑚2 𝐿2 ]

2𝜋 2

𝑇2 = [ 𝑇 ] 𝑚2 (𝐿1 + 𝐿2 )

19. a) 400 N b) 625 N 20. a) 0,39 N b) 0,645 21. a) W = 25 J

b) v = 5,10 m/s

22. Wmín = 1,125 J 23. 𝑊𝑚í𝑛 =

1 𝑘1 𝑘2 𝑥2 2 𝑘1 +𝑘2 1

1

24. 𝐸𝑝 (𝑥) = 𝑘𝑥 2 [1 − 𝑎𝑥 2 ] 2 2 25. W = 1391 J 26. L = 11,01 m 27. Pi = - mg [v0 senθ – gt]

Pm = 0

28. a) R = 490 N

b) p' = 10661 W

29. a) 162 km/h

b) 65,4 km/h

c) 6,5 % c) 292 km/h

d) No hay límite para la velocidad. P á g i n a 14 | 15

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30. a) a(t) = (1 + 2t/3) m/s2

v(t) = (t + t2/3) m/s

x(t) = (t2/2 + t3/9) m

b) p(t) = (3t + 3t2 +2t3/3) W c) W(5s) = 267 J 31. 265 J 32. v = 17,1 m/s 33. a) k = 1000 N/m

b) k = 667 N/m

34. k = 4288 N/m 35. a) vM = 3,13 m/s

b) h = 2,50 m

36. k = 825 N/m 37. b) Inferior. 38. ℎ =

2𝑅 3

[1 +

39. a) 5 mg

𝑣02

2𝑔𝑅

]

b) 7/2 mg

½ mg

40. ρ = 9,83 m 41. a) h = 5d/4

b) NA = 6 mg

42. a) FB = 150,3 N 43. a) vmín = 11,1 m/s

NB = 3 mg

b) ρCmín = 4 m b) h = 2,88 m

P á g i n a 15 | 15...