Problemas Tema 5 (Soluciones) PDF

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Problemas Tema 5. Transmisión de calor en superficies extendidas 5.1. Un cazo de aluminio se utiliza para hervir agua tal y como se muestra en el esquema. El cazo está expuesto al aire de la habitación a 25ºC, y el coeficiente de convección es de 5 [W·m–2·K–1] y la conductividad térmica del aluminio es 230 [W·m–1·K–1]. a) ¿Podríamos tocar el mango mientras el agua está hirviendo? b) ¿Qué pasaría si el mango fuera de acero inoxidable (kacero=17 [W·m–1·K–1])? 20 cm 0.5 cm x

3 cm

100ºC

Solución: a) T(x=0.1 m)=90.4ºC y T(x=0.2 m)=87.3ºC); b) T(x=0.2 m)=37.3ºC.

5.2. Para disipar calor de un dispositivo electrónico se ha diseñado un conjunto de 9 aletas de cobre cuyas dimensiones se indican en el documento adjunto. En las condiciones de funcionamiento el coeficiente de transferencia de calor por convección es de h=15 W/m2K. Considerando que las aletas son lo suficientemente finas como para que la transferencia de calor de los extremos sea despreciable, determinar la cantidad de calor disipada, la efectividad de las aletas y su eficiencia.

30 mm 5 mm Ta=25ºC

40 mm

Tb=100ºC 2 mm

5.1.

L=0.2 m b=0.005 m

x

a=0.03 m T∞=25 ºC

Tb=100 ºC

a) Mango de aluminio La temperatura de la base es la del agua dentro del cazo: Tb=100 ºC La temperatura del fluido es la del al aire de la habitación: T∞=25 ºC La conductividad térmica del aluminio es: k =230 [W·m–1·K–1] El coeficiente de convección es: h =5 [W·m–2·K–1] La superficie de la sección transversal del mango del cazo Ac y el perímetro P se calculan a partir de sus dimensiones: Ac=a·b=0.03 [m]·0.005 [m]=0.000156 [m2] P=2·(a+b)= 2·(0.03 [m]+0.005 [m])=0.07 [m] 𝑚=√ = √ [𝑊·𝑚−1 −1]·0.00015 2 = 3.19 [𝑚 −1 ] 237 [𝑚 ] k·𝐴 ·𝐾 ℎ·𝑃

𝑐

5 [𝑊·𝑚−2 ·𝐾 −1 ]·0.07 [𝑚]

1º Caso A: Una primera opción de solución es considerar que a través del extremo de la aleta se produce una transmisión de calor por convección. Para el Caso A la distribución de temperatura viene dada por la siguiente ecuación: b ⇒ 𝑇(𝑥) = 𝑇∞ + (𝑇𝑏 − 𝑇∞ ) · [

ℎ

𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑚·(𝐿−𝑥)+(𝑚·𝑘)𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑚·(𝐿−𝑥)

𝑇(𝑥 = 0.2 [𝑚]) = 25 º𝐶 + (100 º𝐶 − 25 º𝐶)

ℎ 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑚·𝐿+( ·𝑘)𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑚·𝐿 𝑚

] 0

5 [𝑊 · 𝑚 −2 · 𝐾−1 ] 𝑐𝑜𝑠ℎ 3.19 [𝑚−1 ] · (0.2 [𝑚] − 0.2 [𝑚]) + ( · 237 [𝑊 · 𝑚−1 · 𝐾−1 ]) 𝑠𝑒𝑛ℎ3.19 [𝑚−1 ] · (0.2 [𝑚] − 0.2 [𝑚]) 3.19 [𝑚−1 ] ·[ ] −2 −1 5 [𝑊 · 𝑚 · 𝐾 ] · 237 [𝑊 · 𝑚−1 · 𝐾−1 ]) 𝑠𝑒𝑛ℎ 3.19 [𝑚−1 ] · 0.2 [𝑚] 𝑐𝑜𝑠ℎ 3.19 [𝑚−1 ] · 0.2 [𝑚] + ( 3.19 [𝑚−1 ]

𝑇(𝑥 = 0.2 [𝑚]) = 87.1 [º𝐶]

⇒

0.0045 No se podría coger el mango sin quemarse

2º Caso B: Suponiendo que el flujo de calor en el extremo es despreciable debido a su pequeño tamaño en comparación con el resto del mango, la distribución de calor viene dada en este caso por una expresión similar a la anterior en la que se han eliminados los segundos sumandos en el numerador y el denominador.

b ⇒ 𝑇(𝑥) = 𝑇∞ + (𝑇𝑏 − 𝑇∞ ) · [

𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑚·(𝐿−𝑥) 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑚·𝐿

]

𝑇(𝑥 = 0.2 [𝑚]) = 25 º𝐶 + (100 º𝐶 − 25 º𝐶) · [

𝑇(𝑥 = 0.2 [𝑚]) = 87.0 [º𝐶]

𝑐𝑜𝑠ℎ 3.19 [𝑚−1 ] · (0.2 [𝑚] − 0.2 [𝑚])) ] 𝑐𝑜𝑠ℎ 3.19 [𝑚 −1 ] · 0.2 [𝑚]

b) Mango de acero inoxidable La conductividad térmica del acero inoxidable es: k =17 [W·m–1·K–1] 𝑚=√ = √ [𝑊·𝑚−1 −1]·0.00015 2 = 11.72 [𝑚 −1 ] 17 ·𝐾 [𝑚 ] k·𝐴 ℎ·𝑃

𝑐

5 [𝑊·𝑚−2 ·𝐾 −1 ]·0.07 [𝑚]

1º Caso A: 𝑇(𝑥 = 0.2 [𝑚]) = 25 º𝐶 + (100 º𝐶 − 25 º𝐶)

5 [𝑊 · 𝑚−2 · 𝐾−1 ] · 17 [𝑊 · 𝑚−1 · 𝐾−1 ]) 𝑠𝑒𝑛ℎ 11.72 [𝑚−1 ] · (0.2 [𝑚] − 0.2 [𝑚]) 𝑐𝑜𝑠ℎ 11.72 [𝑚−1 ] · (0.2 [𝑚] − 0.2 [𝑚]) + ( 11.72 [𝑚−1] ] ·[ 5 [𝑊 · 𝑚 −2 · 𝐾−1 ] 𝑐𝑜𝑠ℎ 11.72 [𝑚−1 ] · 0.2 [𝑚] + ( 11.72 [𝑚−1 ] · 17 [𝑊 · 𝑚−1 · 𝐾−1 ]) 𝑠𝑒𝑛ℎ 11.72 [𝑚−1 ] · 0.2 [𝑚]

0.16

𝑇(𝑥 = 0.2 [𝑚]) = 38.9 [º𝐶] ⇒

Si se podría coger el mango sin quemarse

2º Caso B: 𝑇(𝑥 = 0.2 [𝑚]) = 25 º𝐶 + (100 º𝐶 − 25 º𝐶) · [

𝑇(𝑥 = 0.2 [𝑚]) = 39.3 [º𝐶]

𝑐𝑜𝑠ℎ 11.72 [𝑚−1 ] · (0.2 [𝑚] − 0.2 [𝑚])) ] 𝑐𝑜𝑠ℎ 11.72 [𝑚 −1 ] · 0.2 [𝑚]

5.2.

a=0.03 m c=0.005 m Ta=25ºC

L=0.4 m Tb=100ºC b=0.002 m

Número de aletas: N=9 La temperatura de la base es: Tb=100 ºC La temperatura del fluido es la del al aire es: Ta=25 ºC La conductividad térmica del cobre es: k =380 [W·m–1·K–1] (Catálogo de elementos constructivos del CTE) El coeficiente de convección es: h =15 [W·m–2·K–1] La superficie de la sección transversal del mango del cazo Ac y el perímetro P se calculan a partir de sus dimensiones: Ac=a·b=0.03 [m]·0.002 [m]=0.00006 [m2] P=2·(a+b)= 2·(0.03 [m]+0.002 [m])=0.064 [m] 𝑚=√ = √ [𝑊·𝑚−1 −1]·0.00006 2 = 6.49 [𝑚 −1 ] 380 [𝑚 ] k·𝐴 ·𝐾 ℎ·𝑃

𝑐

15 [𝑊·𝑚 −2 ·𝐾 −1]·0.064 [𝑚]

𝑀 = √ℎ · 𝑃 · 𝑘 · 𝐴𝑐 · 𝜃𝑏 = √15 [𝑊 · 𝑚 −2 · 𝐾−1 ] · 0.064 [𝑚] · 380 [𝑊 · 𝑚 −1 · 𝐾−1 ] · 0.00006 [𝑚2 ] · (100 [º𝐶 ] − 25 [º𝐶 ]) 𝑀 = 11.10 [𝑊 · 𝐾 −1 ]

a) Calor cedido por el disipador La cantidad total de calor cedida por el disipador es la suma del calor transmitido por las superficies de los huecos sin aleta y la suma de todas las aletas: Q=Qs+QA La superficie de los huecos es: As=(N–1)· a·c=(9–1)· 0.03 [m]·0.005 [m]=0.0012 [m2] El calor cedido por los huecos sin aletas es un proceso de convección natural: Qs=As·h·(Tb – Ta)= 0.0012 [m2]·15 [W·m–2·K–1]·(100 [ºC] – 25 [ºC])=1.35 [W]

Caso B: Suponiendo que el flujo de calor en el extremo es despreciable debido a su pequeño tamaño en comparación con el resto del mango, el flujo de calor desde una aleta al aire es: 𝑞𝐴 = 𝑀 · 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑚 · 𝐿 = 11.6 [𝑊] · 𝑡𝑎𝑛ℎ (6.49 [𝑚 −1 ] · 0.4 [m]) = 10.97 [𝑊]

El calor cedido por las 9 aletas será: QA=N·qA=9·10.97 [W]=98.76 [W] La transferencia de calor total será:

Q=Qs+QA=1.35 [W]+ 98.76 [W]=100.11 [W]

b) Coeficiente de disipación de las aletas El coeficiente de disipación de las aletas es la relación entre el calor que cede una aleta y el que cedería la base de la aleta si no se hubiera colocado esta: 𝜀𝐴 =

10.97 [𝑊] 𝑞𝐴 = = 162.56 –2 –1 ℎ · 𝐴𝑐 · 𝜃𝑏 15 [W · m · K ] · 0.00006 [m2 ] · (100 [ºC] – 25 [ºC])

c) Efectividad de las aletas El área de la sección transversal de la aleta en la base es: AA =AC+P·L=0.00006 [m2]+0.064 [m]· 0.4 [m]=0.02566 [m2]

Efectividad de una sola aleta es la relación entre el calor que cede una aleta real y el calor que cedería la aleta si toda su superficie estuviera a la temperatura de la base: 𝜂𝐴 =

𝑞𝐴 10.97 [𝑊] = = 0.380 –2 –1 ℎ · 𝐴𝐴 · 𝜃𝑏 15 [W · m · K ] · 0.02566 [m2 ] · (100 [ºC] – 25 [ºC])

Superficie total del disipador: AT =N·AA +AS=9·0.02566 [m 2]+0.0012 [m2]=0.02566 [m 2]

La eficiencia global del conjunto de aletas es la relación entre el calor cedido por el disipador y la que cedería si toda su superficie se encontrara a la temperatura de la base: 𝜂0 =

𝑄 100.11 [𝑊] = = 0.383 –2 –1 ℎ · 𝐴 𝑇 · 𝜃𝑏 15 [W · m · K ] · 0.02566 [m2 ] · (100 [ºC] – 25 [ºC])

También se puede calcular la eficiencia global del conjunto de aletas a partir de la eficiencia de una sola aleta: 𝜂0 = 1 −

𝑁 · 𝐴𝐴 9 · 0.02566 [m2 ] · (1 − 0.380) = 0.383 · (1 − 𝜂 𝐴 ) = 1 − 0.02566 [m2 ] 𝐴𝑇...