Tema 6. Problemas II PDF

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Problemas propuestos de la asignatura...

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Bolet´ın 6B. Operadores lineales. Problema de Sturm-Liouville. Curso 2016-17 1. Un operador Q se dice antiherm´ıtico si Q† = −Q. Demuestre que: a) Los autovalores de un operador antiherm´ıtico Q son imaginarios. b) El conmutador de dos operadores, herm´ıticos o antiherm´ıticos, es antiherm´ıtico. c) El anticonmutador de dos operadores, herm´ıticos o antiherm´ıticos, es herm´ıtico 2. En cierta base ortonormal de un espacio vectorial de dimensi´on tres, dos vectores |f i y |g i se representan como     i i |gi →  0 . |f i →  −2 , −i 2 ∗

a) Comprobar expl´ıcitamente que hf |gi = hg|f i .

b) Calcular la matriz que representa al operador |f ihg |.

3. Se considera el operador B = d2 /dx2 restringido al subespacio vectorial S = {f (x) ∈ C 2 ([0, 1]) y f (0) = f (1) = 0} ⊂ L2 ([0, 1]) . Compruebe que el operador inverso de B es Z 1  x(s − 1), 0 ≤ x ≤ s ≤ 1, −1 B = ds K(x, s)· , K(x, s) = (x − 1)s, 0 ≤ s ≤ x ≤ 1. 0 4. En el espacio L2 ([−1, 1]) se define el operador de paridad Π como Πf (x) = f (−x),

∀f (x) ∈ L2 ([−1, 1]).

Demuestre que Π2 = I y use este resultado para demostrar que los autovalores de Π son λ = ±1. ¿Cu´ales son las autofunciones? ¿Cu´al es la degeneraci´on de cada autovalor? 5. Verificar que el operador P , cuya representaci´on matricial en una base ortonormal es   1 0 2i 2 P →  0 1 0 , − 2i 0 21 es un proyector. Hallar una base del subespacio S sobre el que proyecta. 6. Se consideran los tres primeros polinomios de Legendre normalizados r r 5 2 1 3 x, P2 (x) = P0 (x) = √ , P1 (x) = (3x − 1) 2 8 2 y el subespacio S = gen{P0 (x), P1 (x), P2 (x)} ⊂ L2 ([−1, 1]) generado por los mismos. Calcule la representaci´on matricial de los siguientes operadores lineales restringidos a S : d , a) dx

d2 b) 2 , dx

c)

Z

x −1

ds · .

7. Repita el ejercicio anterior pero restringiendo los operadores al subespacio vectorial generado por las funciones 1 1 1 x ∈ [−1, 1]. ϕ1 (x) = √ eiπx, ϕ2 (x) = √ e−iπx, ϕ0 (x) = √ , 2 2 2 8. A continuaci´on se lista una serie de operadores A, subespacios lineales S y espacios de Hilbert † L2 . En cada caso, calcule AS respecto al producto escalar del correspondiente espacio de Hilbert, as´ı como los autovalores y autovectores del operador restringido AS . d , S = {f (x) ∈ C 1 ([−π, π]) y f (−π) = f (π )} ⊂ L2 ([−π, π]). dx d2 b) A = 2 , S = {f (x) ∈ C 2 ([−π, π]) y f (−π) = f (π ), f ′(−π) = f ′ (π )} ⊂ L2 ([−π, π]). dx 9. Considere el problema de autovalores a) A = i

φ′′(x) + λφ(x) = 0,

2φ(0) + φ′ (0) = 0,

φ(1) = 0.

Demuestre que: a) No existe el autovalor λ = 0. b) Existen infinitos autovalores positivos λn , n = 0, 1, 2, . . ., que para n → ∞ tienden a  2 n + 21 π 2 . c) Existe un u ´nico autovalor negativo. 10. Considere el problema de autovalores d2 y(x) + λy (x) = 0, y(a) = y(a + L), y ′ (a) = y ′ (a + L). dx2 a) ¿Es un problema de Sturm-Liouville regular? b) Halle los autovalores y autofunciones del problema propuesto. c) ¿Qu´e periodicidad tienen las funciones generadas con la base formada por estas autofunciones? 11. Se considera el problema de autovalores x2 y ′′(x) + 3xy ′ (x) + y(x) = λy(x), con 0 < ε < 1.

y(ε) = y(1) = 0,

ε ≤ x ≤ 1,

a) Compruebe que se trata de un problema de Sturm–Liouville regular y calcule los autovalores y las autofunciones. ¿Qu´e se puede afirmar sobre estas u ´ltimas? b) Supongamos que hici´eramos ε = 0. ¿Sigue siendo un problema de Sturm–Liouville? Demuestre que, en este caso, no existe soluci´on del problema de autovalores si se exige que y(0) sea regular y que y(1) = 0. 12. Se considera el problema de autovalores d2 φ d4 φ dφ x (0) = + λe φ = 0, φ(0) = φ (1) = (1) = 0. dx4 dx dx2 Demuestre que los autovalores λ son reales y negativos, y que las autofunciones correspondientes a dos autovalores diferentes son ortogonales respecto al producto escalar del espacio Lw2 ([0, 1]) con la funci´on peso w(x) = ex ....