Problemas Matemáticas - Apuntes, temas 1 - 10 PDF

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Para la asignatura de Matemáticas y su didáctica II me gustaría aclarar una cosa. Hay un profesor que tiene su libro, en el cual hay 50 problemas a resolver de los cuales salen en el examen sí o sí 5, teniendo una calificación de 2 puntos cada uno. Evidentemente los problemas te tienes que buscar la...

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PROBLEMA NÚMERO 1: Tenemos 3 cajas iguales y 5 guantes de la mano izquierda, todos ellos iguales. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir en las tres cajas de forma que en cada caja siempre se tenga un guante? 1ª FASE: Comprensión del enunciado  

Datos: 3 cajas y 5 guantes (de la mano izquierda)  Dato superfluo. Incógnita: De cuantas maneras podemos introducirlos en las cajas con la condición de que haya al menos un guante en cada una.

2ª FASE: Diseño del plan Realizaremos tablas para organizar la información y poder ordenar así todas las posibilidades. 3ª FASE: Ejecución del plan Si tenemos en cuenta que las cajas están ordenadas, es decir, que existe una primera caja, una segunda y una tercera, las soluciones son: POSIBILIDADES

1. ª CAJA

2. ª CAJA

3. ª CAJA

1. º

1

1

3

2. º

1

2

2

3. ª

2

1

2

4. ª

2

2

1

5. ª

3

1

1

6. ª

1

3

1

4ª FASE: Revisión del plan Sin embargo, si no importa el orden de las cajas solo hay dos soluciones: Dos cajas con un solo guante y la otra con tres guantes y dos cajas con dos guantes y una con un solo guante.

PROBLEMA NÚMERO 2: En tu bolsillo tienes 2 monedas y 3 billetes: 1 euro, 2 euros, 5 euros, 10 euros y 20 euros. ¿Cuántas cantidades distintas puedes formar? 1ª FASE: Comprensión del enunciado  

Datos: 5 elementos que representan 5 cantidades distintas. Incógnita: Cantidades distintas que se pueden formar.

2ª FASE: Diseño del plan Vamos a utilizar una codificación y un esquema que nos permita contar con todas las cantidades posibles. 3ª FASE: Ejecución del plan Codificación  A = 1€, B = 2€, C = 5€, D = 10€ y E = 20€ Distinguimos los siguientes casos: 1. º Grupos de 0 elementos: 0 € (1 cantidad). 2. º Grupos de 1 elementos: A, B, C, D y E (5 cantidades). 3. º Grupos de 2 elementos: AB AC AD AE

BC BD BE

CD CE

DE (10 cantidades)

4. º Grupos de 3 elementos: ACB ABD ABE

ACD ACE

ADE

BCD BCE

BDE

CDE (10 cantidades)

5. º Grupos de 4 elementos: ABCD ABCE ABDE

ACDE

(5 cantidades)

6. ª Grupos de 5 elementos: ABCDE

BCDE

(1 cantidad)

4ª FASE: Revisión del plan El ejercicio resultaría mucho más rápido de resolver si utilizáramos la combinatoria, ya que lo que estamos haciendo son combinaciones de 5 elementos tomados en grupos de 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Cantidad total = C5;0 + C5;1 + C5;2 + C5;3 + C5;4 + C5;5 = 32

PROBLEMA NÚMERO 3: Una cuadrilla de segadores debía segar dos prados, uno de doble superficie que el otro. Durante medio día trabajó todo el personal en el prado grande; después de la comida, la mitad de la gente quedó en el prado grande y la otra mitad trabajó en el pequeño. Durante esa tarde se terminaron los dos campos, a excepción de un reducido sector del prado pequeño, cuya siega ocupó el día siguiente completo a un solo segador. ¿Cuántos segadores componían la cuadrilla? 1ª FASE: Comprensión del enunciado  

Datos: Comparación entre los prados y el tiempo, y como se reparten los trabajadores en cada instante. Incógnita: Cantidad de segadores

2ª FASE: Diseño del plan Vamos a utilizar la estrategia de codificación y organización de la información. A partir de esa codificación vamos a obtener ecuaciones para obtener la solución. 3ª FASE: Ejecución del plan CODIFICACIÓN: 2n = Total de segadores 2t = Día completo (t = mañana y t = tarde)

Campo mayor

Campo menor

Mañana

Tarde

Total

2n · t

n·t

2nt + nt =3nt

Tarde

Día

Total

n·t

1 · 2t

nt + 2t

Por lo tanto, campo mayor = 2 · (campo mayor) 3nt = 2 · (nt + 2t);

3nt = 2nt + 4t; (dividimos por t)

3n = 2n + 4;

n=4

Total de segadores = 8, porque el total de segadores es 2n (2 · 4 = 8). 4ª FASE: Revisión del plan Podemos observar que no ha dependido de la codificación del tiempo, t.

PROBLEMA NÚMERO 4: Pepe y Pablo hacen footing de A a B. Pepe corre la mitad de la distancia y anda la otra mitad, Pablo corre la mitad del tiempo y anda la otra mitad. Los dos corren a la misma velocidad y los dos andan a la misma velocidad. ¿Quién llega antes? 1ª FASE: Comprensión del enunciado  

Datos: Los dos recorren la misma distancias y sabemos cómo la recorren y que las velocidades de andar y correr son las mismas para los dos. Incógnita: ¿Quién llega antes?

2ª FASE: Diseño del plan Vamos a particularizar el ejercicio, realizamos dibujos orientativos, analogías de otros problemas, ecuaciones, ensayo-error, codificación… 3ª FASE: Ejecución del plan Como no va a depender ni del espacio que recorren ni las velocidades a las que andan o corren, realizamos la siguiente particularización: Andan a 2 km/h y corren a 6km/h. La distancia entre A y B es de 24 km. También tenemos en cuenta la fórmula del espacio, que es e = v · t PEPE: 24 km

A

B 12 km

12 km

t1 = tiempo andando 12 = 2 · t1  6h = t1 t2 = tiempo corriendo 12 = 6 · t2  2h = t2 Conclusión: Pepe tarda 8 horas PABLO: t = tiempo de Pablo Espacio andando = 2 · t/2 = t Espacio corriendo = 6 · t/2 = 3t t + 3t = 24;

4t = 24;

t = 6h

Solución: Pablo tarda menos en realizar el recorrido. 4ª FASE: Revisión del plan Pablo siempre llegará antes debido a que corre más de la mitad del trayecto y Pepe solamente la mitad.

PROBLEMA NÚMERO 5: Un monje decide subir desde su ermita a la montaña para pasar allí la noche orando. Sale de su ermita a las 9 de la mañana y después de caminar todo el día llega a la cumbre. Allí pasa la noche y a la mañana siguiente, a las 9 de la mañana, emprende el camino a su ermita por el mismo sendero. Al ir bajando se pregunta: ¿habrá algún punto del camino en el que hoy esté a la misma hora que estuve ayer? 1ª FASE: Comprensión del enunciado  

Datos: Sale a las 9 de la mañana de ambos puntos. Incógnita: ¿Hubo algún punto en que pasó a la misma hora?

2ª FASE: Diseño del plan Podemos hacer un dibujo para orientarnos, ecuaciones, reducción al absurdo, analogías de otros problemas. 3ª FASE: Ejecución del plan Bastará con suponer que en vez de una persona son dos personas distintas que salen a la misma hora y es evidente que las dos personas se deben de cruzar.

9:00

9:00

9:00

4ª FASE: Revisión del plan Una solución sencilla es que si sube y baja a la misma velocidad dicho punto es el punto medio del camino.

PROBLEMA NÚMERO 6: Aquí aparece el plano de un solar. Un gato quiere llegar a la posición de salida. ¿Cuántos caminos diferentes tiene? Se supone que no puede pasar dos veces por el mismo sitio.

1ª FASE: Comprensión del enunciado  

Datos: Dibujo del plano. No se puede pasar dos veces por el mismo sitio. Incógnita: ¿Cuántos caminos diferentes tiene?

2ª FASE: Diseño del plan Lo mejor es hacer un diagrama, ensayo-error, analogías de otros problemas conocidos. 3ª FASE: Ejecución del plan La casilla 1 y 8 siempre son fijos en cualquiera de las combinaciones por eso no las tenemos en cuenta.

4ª FASE: Revisión del plan La estrategia más eficaz para este tipo de ejercicios es este diagrama de árbol para completar todas las posibilidades, como los problemas de probabilidades (analogías).

PROBLEMA NÚMERO 7: Se inscribe un cuadrado en un semicírculo. Calcula la relación entre a y b. 1ª FASE: Comprensión del enunciado  

Datos: El cuadrado inscrito en el semicírculo y las longitudes a y b. Incógnita: ¿Qué relación hay entre a y b?

2ª FASE: Diseño del plan Analogías de problemas de geometría (Teorema de Pitágoras, área de figuras planas, etc…). Descomponer el problema en subproblemas, casos más favorables. 3ª FASE: Ejecución del plan

4ª FASE: Revisión del plan El cociente entre A y B es el conocido número áureo.

PROBLEMA NÚMERO 8: Compró un regalo y una caja para presentarlo. El regalo y la caja cuestan 110 €, pero el regalo cuesta 100 € más que la caja. ¿Cuánto cuesta cada cosa? 1ª FASE: Comprensión del enunciado  

Datos: Lo que cuestan los dos juntos y la diferencias entre los dos. Incógnita: ¿Cuánto cuesta cada uno?

2ª FASE: Diseño del plan Ecuaciones, analogías, empezar por el final, tablas y gráficos para organizar la información, codificación. 3ª FASE: Ejecución del plan PRECIO REGALO

100 + X

CAJA

X

TOTAL

110 €

100 + X + X = 110;

100 + 2X = 110;

2X = 10;

X = 5€

Precio regalo: 105 € Una caja: 5 € 4ª FASE: Revisión del plan Vemos que 105 + 5 = 110 € y que 105 – 5 = 100 €. Podemos comprobar que el resultado es correcto.

PROBLEMA NÚMERO 9: Calcular el área de la zona rayada de la figura, sabiendo que el lado del cuadrado mide 10 cm.

1ª FASE: Comprensión del enunciado  

Datos: Dibujo (circulo inscrito en un cuadrado) y el lado del cuadrado. Incógnita: Área de la zona rayada.

2ª FASE: Diseño del plan Analogías de problemas de geometría, modificar el problema, área de las figuras planas, descomponer el problema en subproblemas. 3ª FASE: Ejecución del plan

4ª FASE: Revisión del plan Hemos obtenido que para calcular el área rayada de este modelo bastará multiplicar el área del circulo por 2 y luego restar el área del cuadrado.

PROBLEMA NÚMERO 10: En la época en que los cañones lanzaban bolas, éstas eran almacenadas en parques de artillería en forma de pirámide de base cuadrada; cada lado del cuadrado de la base contaba 15 bolas ¿Cuál era el número de balas de la pirámide? 1ª FASE: Comprensión del enunciado  

Datos: Pirámide de base cuadrada. Incógnita: ¿Cuántas bolas tendrán una pirámide de lado de la base de 15 bolas?

2ª FASE: Diseño del plan Inducción matemática: Búsqueda de regularidades, realizar problemas más sencillos, obtener una conjetura. Tablas y gráficos para organizar la información, ensayo-error sistemático. 3ª FASE: Ejecución del plan Vamos a realizar problemas más sencillos buscando regularidades que nos permitan obtener una conjetura para calcular la solución de nuestro problema.

4ª FASE: Revisión del plan Hemos obtenido una conjetura para calcular la cantidad de bolas de una pirámide de altura “n”. Bn =

2

2

2

1 + 2 + 3 +…+n

2

Resultaría más sencillo si aplicáramos la fórmula para sumar los cuadrados de los n primeros números naturales.

Bn=

( 2 n+1) n x ( n+1 ) ( 2 x 15 + 1 ) x 15 x 16 =1240 Bolas = 6 6

PROBLEMA NÚMERO 11: Para numerar las páginas de un libro grande hacen falta 2989 dígitos. ¿Cuántas páginas tiene el libro? 1ª FASE: Comprensión del enunciado  

Datos: Dígitos que hacen falta para numerar las páginas de un libro. Incógnita: ¿Cuántas páginas tiene el libro?

2ª FASE: Diseño del plan Tablas para organizar la información, modificar el problema, ensayo-error, ecuaciones, analogías de problemas. 3ª FASE: Ejecución del plan Dígitos

Páginas

Total dígitos

1

9

1x9=9

2

90

2 x 90 = 180

3

900

3 x 900 = 2700

4

9000

4 x 9000 = 36000

Hemos utilizado ensayo y error para contemplar que no puede haber 9000 páginas con 4 dígitos, debe haber menos. Codificamos: X = cantidad de páginas con 4 dígitos (Continuación de la tabla anterior) 4

X

4X 2989

9 + 180 + 2700 + 4X = 2989;

4X = 2989 – 2700 – 180 – 9;

4X = 100;

X = 25 páginas de 4 dígitos. Total: 9 + 90 + 900 + 25 = 1024 páginas. 4ª FASE: Revisión del plan Comprobamos la solución: 4

X = 25

4 x 25 = 100

2989

PROBLEMA NÚMERO 12: Demuestra la proposición recogida del libro Elementos de Euclides. Dicha proposición dice: “Existen infinitos números primos”. 1ª FASE: Comprensión del enunciado  

Datos: Los números primos son aquellos que son divisibles por él mismo y por la unidad. Imaginamos que hay infinitos. Incógnita: ¿Hay infinitos?

2ª FASE: Diseño del plan Resolver ejercicios más pequeños, analogías de problemas, reducción al absurdo. 3ª FASE: Ejecución del plan Comenzamos a obtener los números primos: 2, 3, 5, 7, 11… 2 · 3 + 1 = 7 (primo) 2 · 3 · 5 + 1 = 31 (primo) 2 · 3 · 5 · 7 + 1 = 211 (primo) Utilizamos la reducción al absurdo suponiendo que la serie de números primos es limitada. Si es limitada entonces existe un primo “p” que es el mayor de todos: 2, 3, 5, 7, 11…, p Definimos el número “n” como el producto de todos los primos más 1, es decir: n = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · … · p + 1 Si el número “n” fuera compuesto debería ser divisible por algún primo y esto es imposible, ya que al dividirlo por alguno de los primos de la serie da siempre resto 1. Por lo tanto llegamos al absurdo ya que existe un número “n” mayor que “p” el cual es primo y lo que habíamos supuesto es falso. Podemos afirmar que la serie de los números primos es limitada. 4ª FASE: Revisión del plan Demostrar esta proposición con otra estrategia sería prácticamente imposible ya que queremos demostrar que es infinita.

PROBLEMA NÚMERO 13: De un cuadrilátero convexo se conocen tres de sus ángulos: 140º, 130º y 30º. ¿Puede inscribirse este cuadrilátero en una circunferencia? 1ª FASE: Comprensión del enunciado  

Datos: Tenemos tres ángulos del cuadrilátero. Incógnita: ¿Puede inscribirse en una circunferencia?

2ª FASE: Diseño del plan Reducción al absurdo, dibujos geométricos para orientaciones, analogías de problemas de geometría 3ª FASE: Ejecución del plan Como sabemos tres ángulos del cuadrilátero también podemos saber el restante ya que los cuatro deben sumar 360º. 360º - 140º - 130º - 30º = 60º Supongamos que este cuadrilátero se puede inscribir en la circunferencia. Sabemos que si se puede inscribir en la circunferencia los ángulos opuestos son suplementarios. Y no existe ningún par de ángulos que sumen 180º y por tanto lo que hemos supuesto es falso y no se puede inscribir en la circunferencia. 4ª FASE: Revisión del plan Podemos utilizar transportador de ángulos y compás y ver que no podemos construirlo.

PROBLEMA NÚMERO 14: Demuestra que la raíz cuadrada de dos no es un número racional. 1ª FASE: Comprensión del enunciado  

Datos: Tenemos una √2 Incógnita: Demostrar que no es un número racional.

2ª FASE: Diseño del plan Definición de número racional, reducción al absurdo.

3ª FASE: Ejecución del plan

4ª FASE: Revisión del plan Utilizamos la calculadora para observar que el número √2 no es un número racional. Otros números que no son racionales son π, e, √3…

PROBLEMA NÚMERO 15: Toma cuatro números naturales consecutivos y multiplícalos, ¿qué observas? 1 · 2 · 3 · 4 = 24 = 25 - 1 = 52 - 1 2 · 3 · 4 · 5 = 120 = 121 - 1 = 112 - 1 3 · 4 · 5 · 6 = 360 = 361 - 1 = 192 – 1 Después de experimentar un poco, parece que el producto de cuatro números naturales consecutivos es igual a un cuadrado perfecto menos 1. ¿Será esto cierto? ¿Podremos demostrarlo? 1ª FASE: Comprensión del enunciado  

Datos: Los ejemplos dados en el enunciado. Incógnita: Ver que es cierto para todos los números naturales siempre que multipliquemos cuatro números consecutivos es igual a un cuadrado perfecto menos 1.

2ª FASE: Diseño del plan Organizar información, particularizar (de forma sistemática), búsqueda de regularizaciones que nos permitan obtener una conjetura, aplicarla a otros casos, si funciona aplicarla al caso concreto. 3ª FASE: Ejecución del plan

4ª FASE: Revisión del plan También la conjetura podía ser la siguiente: 1·2·3·4=

52 - 1 = (2 · 3 – 1) ² – 1

2·3·4·5=

11

2

- 1 = (3 · 4 – 1) ² – 1

n · (n + 1) (n + 2) (n + 3) = [(n + 1) (n + 2) – 1] ² -1

PROBLEMA NÚMERO 16: Observa que: 1+3=4 1+3+5=9 1 + 3 + 5 + 7= 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 ¿Cuál es la ley general? Exprésala de manera conveniente y pruébala. 1ª FASE: Comprensión del enunciado  

Datos: Ejemplos de las sumas de los primeros números impares. Incógnita: ¿Cuál es la ley general? Y probarla para los números naturales.

2ª FASE: Diseño del plan Inducción matemática, realizar particularizaciones de los primeros casos, búsqueda de regularidades que nos permitan obtener una conjetura. Inducción completa para probar que la conjetura es cierta para todos los números naturales. 3ª FASE: Ejecución del plan (Está en la siguiente página, que no cunda el pánico)

4ª FASE: Revisión del plan Para probar las conjeturas en el método de inducción matemática normalmente se utiliza el método de inducción matemática completa.

PROBLEMA NÚMERO 17: Imagínate una tira de papel larga y estrecha, extendida ante ti sobre la mesa, de izquierda a derecha. Coge el extremo derecho y colócalo encima del izquierdo. Ahora aplasta la tira sobre la mesa aplanándola, de manera que quede plegada por la mitad y presente un pliegue. Repite toda la operación dos veces más sobre la nueva tira doblada. ¿Cuántos pliegues habrá después de repetir la operación diez veces en total? ¿Y n-veces? 1ª FASE: Comprensión del enunciado  

Datos: Como se debe doblar el papel. Incógnita: Cantidad de pliegues cuando se repita la operación 10 veces y N veces.

2ª FASE: Diseño del plan Construcción de un esquema o tabla, variables que influyen (dobleces y pliegues), analizar casos particulares (sistemáticamente), búsqueda de regularidades para poder encontrar, una conjetura y generalizar. Comprobar la conjetura. 3ª FASE: Ejecución del plan DIBUJO

DOBLECES

CAPAS

PLIEGUES

1

2

1

2

4

3

3

8

7

Cn = Cantidad de capas para “n” dobleces. C1 = 2 C2 = 4 = 22 C3 = 8 = 23 Cada vez que repetimos el experimento, la cantidad de capas se duplica, es decir: Cn = 2n Pn = Cantidad de pliegues para “n” dobleces C1 = 2  (- 1) P1 = 1 C2 = 4  (- 1) P2 = 3 C3 = 8  (- 1) P3 = 7

Como podemos observar el número de pliegues es una unidad menos que el número de capas, por lo que: Pn = 2n – 1 Por tanto, si repetimos la operación 10 veces: P10 = 210 – 1 = 1023 pliegues. 4ª FASE: Revisión del plan El ejercicio no se puede comprobar manipulativamente debido a que es prácticamente imposible doblar 10 veces un papel con las manos. El resultado obtenido es una progresión geométrica y no aritmética.

PROBLEMA NÚMERO 18: Demuestra que: 1+2+3+............+n = (

n(n+1) ), “n perteneciente a los números naturales” 2

1ª FASE: Comprensión del enunciado 

Datos: Tenemos la fórmula para sumar los primeros N números naturales.



Incógnita: Demostrar que es cierta la fórmula.

2ª FASE: Diseño del plan Inducción matemática (realizar particularizaciones de los otros primeros casos, búsqueda de regularidades que nos permitan obtener una conjetura), inducción completa para probar que la conjetura es cierta para todos los números naturales. 3ª FASE: Ejecución del plan (Que está en la siguiente página, pesado)

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