Apuntes Física Temas 1-9 PDF

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2017/2018 Física Apuntes Grado de Ingeniería en Tecnologías de la Telecomunicación Tema 1: Fundamentos matemáticos 1 Exponenciales y logaritmos x=a y ↔ y=log a x 1.1 Propiedades de los logaritmos 1. log a ( x·y )=log a x + log a y 2. log a ( x ÷ y )=log a x−log a y 3. 4. 5. 6. log a( x y )= y log a ...

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Física 2017/2018

Apuntes

Grado de Ingeniería en Tecnologías de la Telecomunicación

Tema 1: Fundamentos matemáticos 1.1 Exponenciales y logaritmos y

x=a ↔ y =log a x

1.1.1 Propiedades de los logaritmos log a ( x·y )=log a x + log a y 1. log a ( x ÷ y ) =log a x−log a y 2. log a (x y )= y log a x ln e=1 ln e a=a ln ( 1÷ a ) =−ln a

3. 4. 5. 6.

1.2 Trigonometría

1.2.1 Identidades trigonométricas sen 2 α +cos 2 α =1 sec2 α−tg 2 α=1 cosec2 α−co tg 2 α =1 1. Suma de dos ángulos:  sen ( α + β ) =senα·cosβ + cosα·senβ

 

cos ( α +β ) =cosα·cosβ−senα·senβ tgα−tgβ tg ( α+ β ) = 1−tgα·tgβ

2. Diferencia de dos ángulos: 1

  

sen ( α−β )=senα·cosβ−cosα·senβ cos ( α −β )= cosα·cosβ + senα·senβ tgα −tgβ tg ( α−β )= 1+tgα·tgβ

3. Ángulo doble:  sen 2 α =2 senα·cosα 2 2  cos 2 α =cos α −sen α



tg2 α=

2 tgα 2 1−tg α

4. Ángulo mitad:

  

√ √ √

1 sen =± α 1 cos =± α 1 tg =± α

1−cosα 2 1+ cosα 2 1−cosα 1+cosα

5. Teorema del coseno:



a = b +c −2 bc·cosA



b2= a2 +c 2−2 ac·cosB



c =a + b −2 ab·cosC

2

2

2

2

2

2

6. Teorema del seno:



c b a = = senA senB senC

7. Sumas y diferencias de senos y cosenos:



senα +senβ=2 sen

α−β α +β ·cos 2 2



senα − senβ =2cos

α−β α +β · sen 2 2



cosα +cosβ=2cos

α−β α +β · cos 2 2



cosα +cosβ=−2 sen

α−β α+β · sen 2 2

1.2.2 Relaciones entre los ángulos 1. Ángulos complementarios:  sen ( 90°−α )=cosα 

cos ( 90 °−α )=senα 2



tg ( 90 °−α )=

1 tgα

2. Ángulos que difieren en 90º:  sen ( 90°+ α )=cosα  cos ( 90 °−α )=−senα 

tg ( 90 °−α )=

−1 tgα

3. Ángulos suplementarios:  sen ( 180 °−α )=senα  cos ( 180 °−α )=−cosα  tg ( 180 °−α)=−tgα 4. Ángulos que difieren en 180º:  sen ( 180 ° +α )=−senα  cos ( 180 °+α )=−cosα  tg ( 180 ° +α) =tgα 5. Ángulos opuestos:  sen ( −α )=−senα  cos (−α) =cosα  tg (−α ) =−tgα

1.3 Áreas y volúmenes

3

1.4 Derivadas

1.5 Integrales

5

1.6 Vectores 1.6.1 Sistemas de coordenadas La localización de un punto en el espacio se realiza mediante la definición de un sistema de coordenadas. Para especificar la posición de un punto en el plano es común utilizar el sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (x, y); aunque a veces es más conveniente usar las coordenadas polares (r, θ).

Las relaciones entre coordenadas cartesianas y polares son:

En general, los sistemas de coordenadas se definen en: 1. El plano:  Cartesianas (x, y): dos puntos en el plano.



Polares (r, θ): una longitud (r) y un ángulo (θ).

2. El espacio:  Cartesianas (x, y, z): tres puntos en el espacio.

6



Cilíndricas (r, θ, z): dos longitudes (r, z) y un ángulo (θ).



Esféricas (p, θ, ϕ): una longitud (p) y dos ángulos (θ, ϕ).

1.6.2 Concepto Se denota como a o a. Se define como un segmento orientado caracterizado por: 1. Un origen o un punto de aplicación. Punto A. 2. Un escalar o módulo, ¿a ∨¿ ó a, dado por la longitud del segmento AA’. El módulo es siempre positivo e independiente de la dirección del vector. 3. Una dirección, recta que contiene al segmento AA’. 4. Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha.

Hay tres tipos de vectores: 1. Libres: origen indeterminado. Ejemplo: aceleración de la gravedad. 2. Deslizantes: se fija su dirección, cualquier punto sobre la recta que la determina puede tomarse como origen. Ejemplo: fuerza sobre un objeto desde distintos puntos de aplicación. 3. Ligados: se fija el punto de aplicación. Ejemplo: fuerza sobre un objeto desde el mismo punto de aplicación.

7

1.6.3 Suma de vectores

1.6.4 Diferencia de vectores Vectores opuestos ( a y−a ) son vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos opuestos.

1.6.5 Producto de un escalar por un vector

1.6.6 Propiedades de la suma de vectores y del producto de un escalar por un vector

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1.6.7 Componentes de un vector Un vector en el plano (espacio) puede representarse como la suma de dos (tres) vectores sobre a x+  ay los ejes de coordenadas: a = Los componentes de un vector son las proyecciones de dicho vector sobre los ejes. Las componentes son escalares y pueden ser negativas o positivas, dependiendo del cuadrante en que se encuentre el vector.

1.6.8 Vectores unitarios Un vector unitario es un vector (sin dimensiones) de módulo igual a 1. Es común definir vectores unitarios apuntando en el sentido positivo de los ejes cartesianos (podría hacerse algo similar cuando se trabaja con otros sistemas de coordenadas).

Para realizar operaciones vectoriales es conveniente expresar un vector en función de sus componentes y los vectores unitarios. La representación de un vector en términos de componentes cartesianas y vectores unitarios puede extenderse fácilmente al caso tridimensional:

Suma de vectores en función de las componentes cartesianas:

Dado un vector

a , un vector unitario en su misma dirección y sentido viene dado por:

La proyección vector sobre un eje cualquiera:

de

10

un

1.6.9 Producto escalar El resultado del producto escalar es un escalar. Viene dado por:

Producto escalar en función de las componentes cartesianas:

Ángulo que forman dos vectores:

Propiedades del producto escalar:

Algunas identidades útiles:

Demostración de que el producto escalar vale 0 si los vectores son perpendiculares:

a ·b=0↔ a ⊥ b a ·b=a·b·cos α=0

11

Si a · b

es distinto de 0, entonces

cos α=0 , y para que esto ocurra tanto a ⊥ b .

α=90 º , por

1.6.10 Producto vectorial El producto vectorial ( c =a x b ), por definición es un vector perpendicular al plano determinado por a y b , cuyo sentido es el que da la regla de la mano derecha al hacer girar a sobre b . El módulo viene dado por El resultado del producto vectorial es un vector. El producto vectorial en función de las componentes cartesianas es:

Propiedades del producto vectorial:

1.6.11 Cálculo vectorial En general, cualquier vector se va a poder escribir como el producto ua , y esto es del módulo del vector por su vector unitario: a =a·  aplicable a las funciones vectoriales. Dada una función vectorial, su derivada con respecto a un escalar: La derivada de una función nos indica la tasa de variación de esa función. Como observamos en la imagen, la derivada de una función vectorial es un vector tangente a la curva descrita por los extremos de dicha función vectorial. Propiedades de la derivada de una función vectorial respecto a un escalar:

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Algunos resultados útiles:

Dada una función vectorial, su integral con respecto a un escalar:

La constante de integración de una integral vectorial es un vector. Propiedades de la integral vectorial:

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Tema 2: Física. Magnitudes y medidas. 2.1 Física La palabra Física proviene del vocablo griego Physike, que significa naturaleza. La Física es la ciencia que estudia los componentes básicos de la materia, así como las interacciones mutuas. En función de estas interacciones es posible explicar de la materia en conjunto, así como los otros fenómenos que estudiamos en la naturaleza. La Física estudia los principios básicos del universo y es la más fundamental de las ciencias. Es la base sobre la que se apoyan otras ciencias (astronomía, biología, química, biología, …) y también la ingeniería. La Física tiene distintas áreas de estudio: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Mecánica clásica: en esta asignatura nos centraremos en esta área. Relatividad Termodinámica Electromagnetismo Óptica Mecánica cuántica

La Física el método científico:

14

2.2 Magnitudes, medidas y unidades Vamos a definir algunos conceptos importantes:    

Magnitud: todo aquello susceptible de ser medido. Ejemplo: la longitud, la masa, el tiempo, etc. son magnitudes ya que pueden medirse. Medir: comparar dos magnitudes de la misma especie, dónde una de las cuales se toma como unidad. Cantidad de una magnitud: número de unidades a que es equivalente dicha magnitud. Ejemplo: el tiempo es una magnitud; siete años es una cantidad. Unidad: cantidad arbitraria que se adopta para comparar con ella cantidades de su misma especie.

La expresión de una medida es un número concreto, es decir un número (veces que la cantidad contiene a la unidad) seguido del nombre o expresión de la unidad empleada en la medida.

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Una vez definida la unidad, aparecen los conceptos de múltiplo y submúltiplo de la unidad. Para establecer los múltiplos y submúltiplos de una unidad se recomiendan los siguientes prefijos, símbolos y valores:

La de magnitud es el redondeo de una medida hasta la potencia de diez más cercana:

orden

Continuemos con más definiciones: 





Magnitud fundamental: aquellas cuyas unidades se eligen arbitrariamente, tomándose como base de los sistemas de unidades. No tienen una ecuación que las defina. Ejemplo: la longitud, la masa, el tiempo, la temperatura. Magnitud derivada: aquella que queda perfectamente definida a partir de magnitudes simples. Ejemplo: el volumen, la velocidad, la densidad, la fuerza, etc. Sistema de unidades: conjunto de unidades que resulta de escoger determinadas unidades simples. Ejemplos: SI, CGS, Técnico, Absoluto Inglés, etc. 16

 

Magnitud escalar: aquellas cuya medida queda completamente especificada por un número real y su unidad. Ejemplos: la masa, la temperatura, la presión. Magnitud vectorial: aquellas en las que para su completa determinación se necesita, además de su medida (módulo), una dirección y un sentido. Vienen representadas por un vector. Ejemplo: el desplazamiento, la velocidad, la fuerza, el campo eléctrico.

2.3 Ecuaciones de dimensiones Toda unidad de una magnitud derivada se puede expresar mediante un producto de las unidades simples, que expresa la manera de intervenir de estas en la formación de la unidad derivada. Este producto recibe el nombre de ecuación de dimensiones. Ejemplos:

Para que la ecuación representativa de una ley que relaciona diversas magnitudes físicas sea correcta, las ecuaciones de dimensiones de sus dos miembros deben ser idénticas. Ejemplos:

El resultado de una función trascendente (exponenciales, logarítmicas, trigonométricas) siempre va a ser adimensional, es decir, su ecuación es de dimensión es 1. También es adimensional el argumento de dicha función. Ejemplo: radián (longitud del área de la circunferencia dividido por el radio.

2.4 Teoría de la medida y propagación de errores 2.4.1 Introducción Los valores de magnitudes obtenidos en medidas y observaciones nunca son exactos por: 1. Imperfecciones de los aparatos de medida. 2. Limitaciones de nuestros sentidos. 3. Número irracionales implicados en medidas indirectas. Es imposible conocer el valor exacto de una magnitud (aunque este existe).

2.4.2 Clasificación de los errores 1. Error de una magnitud:  Diferencia entre el valor verdadero y el experimental.  Inherente a todo proceso de medida. 2. Clasificación:  Sistemáticos: son detectables y corregibles, como los errores de calibración.  Accidentales: son de carácter aleatorio, y por ello hay que tratarlos por un tratamiento estadístico.

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2.4.3 Conceptos relacionados con la teoría de medidas 1. Exactitud: concordancia entre el valor verdadero y el experimental. 2. Precisión: concordancia entre medidas sucesivas. 3. Sensibilidad: valor mínimo que el instrumento de medida puede apreciar. Ejemplo: Experiencia para hallar la temperatura en la que hierve el agua (Como valor real y absoluto -> MIT: TMIT = 100,000ºC): Nosotros hacemos el experimento con dos instrumentos: 1. Termómetro: T1 = 99ºC; T2 = 100ºC; T3 = 101ºC -> Es más exacto 2. Sonda: T1 = 97,42ºC; T2 = 97,21ºC; T3 = 97,04ºC -> Es más preciso La sensibilidad del termómetro es de ∆TT = 1ºC La sensibilidad de la sonda es de ∆TS = 0,01ºC La sensibilidad del instrumento usado en el MIT es de ∆TMIT = 0,001ºC

2.4.4 Error absoluto y error relativo 1. Error absoluto: diferencia entre el valor medido y el verdadero 2. Error relativo: es el cociente entre el error absoluto y el valor medido

3. Expresión de Por convenio: ∆ x

las medidas: con una sola cifra significativa. Ejemplos:

2.4.5 Determinación de errores en medidas directas Una medida directa es la que se obtiene directamente del instrumento de medida, sin tener que hacer operaciones. Ejemplo: el largo de una mesa (longitud). Se pueden tomar una sola medida:

x ± ∆ x , dónde ∆ x :la sensibilidad del aparato O varias medidas, como medir el tiempo que tarda en caer un objeto. Para este caso tenemos que tener varias cosas en cuenta: 1. El número de medidas que hacemos:

2. El valor medio:

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3. El error: en este caso va a ser el máximo entre la sensibilidad del apartado, s, y una nueva magnitud, σ, desviación típica o desviación cuadrática media (parámetro estadístico que mide la dispersión de los valores de las medidas con respecto al valor promedio, es decir, tenemos un 66.6% de probabilidad de encontrar el valor de cada una de esas medidas individuales dentro del intervalo x ± σ ):

∆ x=máx (s , σ ) Cómo se calcula σ:

2.4.6 Determinación de magnitudes medidas indirectamente Una medida indirecta es la que se obtiene haciendo uso de operaciones matemáticas, tras haber tomado otras medidas directas relacionadas previamente. Ejemplo: La medida de una superficie no la da un instrumento de medida, sino que hay que realizar cálculos para hallarla. Ejemplo: superficie de una mesa. a = 80.4 b = 147.8

± 0.1 m ± 0.1 cm

Por tanto, el área será: A = a · b = 11883.12 cm2, pasado a medidas del S.I.: 1.188312 m2 Una magnitud indirecta puede representarse como una función F de varias variables: F (x, y, z…). El error se calcularía con las derivadas parciales, ya que las funciones son de varias variables:

∂F =¿ ∂x

mide el cambio de F cuando varía x, manteniendo constantes las variables y, z.

∂F =¿ ∂y

mide el cambio de F cuando varía y, manteniendo constantes las variables x, z.

∂F =¿ mide el cambio de F cuando varía z, manteniendo constantes las variables x, y. ∂z *Nota* Cómo calcularlas: se utilizan las derivadas convencionales respecto a la variable indicada, tratando al resto de variables como constantes. Ejemplo:

F ( x , y , z ) =x 2 · y+3· z· sin y +

x z

∂F 1 =2· x·y + z ∂x ∂F =x 2+3 · z· cos y ∂y 19

x ∂F =3 ·sin y − 2 ∂z z

Ejemplo: siguiendo con el ejemplo de la superficie

∆ S=

∂S ∂S ·∆b · ∆ a+ ∂b ∂a

∆ S=b· ∆ a+a· ∆ b=147,8 · 0,1+ 80,4 · 0,1 2

∆ S=22,82cm → ∆ S=0,002282 m La expresión final es de la forma F m S = 1,188

2

± ∆F. Ejemplo:

± 0,002 m2

2.4.7 Representaciones gráficas 1. Ventajas:  Mejor visualización del fenómeno.  Conocimiento de datos que no se han medido.  Se ponen en manifiesto medidas incorrectas. 2. Normas:  Título.  Variable independiente → eje de abscisas.  Variable dependiente → eje de ordenadas.  Escalas adecuadas a datos medidos.  Divisiones equiespaciadas en los ejes, nunca en datos experimentales.  Representación de valores: punto + rectángulo de error.

2.4.8 Ajuste por mínimos cuadrados Se usan en fenómenos físicos de carácter lineal: y = ax + b. El objetivo es encontrar la ecuación de la recta que mejor ajusta los datos de las N medidas, minimizando la distancia cuadrática de los puntos de la recta. Ecuación de la

recta y errores asociados:

1. Pendiente:

2. Ordenada en el origen:

20

3. Incertidumbre pendiente:

en

la

4. Incertidumbre en la ordenada:

Para saber si hay proximidad a la recta o dispersión, se usa el coeficiente de correlación (r), que varía entre 1 y -1, siendo 1 (en valores absolutos) un ajuste perfecto y 0 dispersión:

Ejemplo: Gráfica 1 Vemos que en la gráfica hay proximidad a la recta, pues los valores están bastante alineados y hay correlación entre sí, como indica el coeficiente de correlación, muy cercano a 1.

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Ejemplo: Gráfica 2 Vemos que en esta gráfica, por el contrario, hay más dispersión, siendo el coeficiente de correlación 0,7.

Tema 3: Cinemática de la partícula 3.1 Introducción Comencemos el tema con algunas definiciones: 1. Cinemática: parte de la Física encargada de estudiar el movimiento de un cuerpo sin atender a las causas que lo originan. 2. Aproximación de punto material o partícula: todo cuerpo es considerado como un punto geométrico al que se le asocia cierta masa. Esto es valido cuando las dimensiones del cuerpo son despreciables frente a la trayectoria que describe. *Nota* En aproximación de partícula no se puede apreciar el movimiento de rotación de un objeto. 3. Movimiento: un cuerpo A se mueve respecto a otro punto B cuando su posición respecto al segundo está cambiando con el tiempo, por tanto:  Todo movimiento es relativo.  Hay que especificar un sistema de referencia.

3.2 Trayectoria. posición

Vector

de

La trayectoria es la curva descrita por la partícula en su movimiento. El vector posición es una función de tiempo, vectorial, que señala cada punto del movimiento de la partícula.

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*Nota* El vector posición no describe la trayectoria de la partícula, pero su extremo sí.

 2 j+3 k (m ) Ejemplo: r ( t )=t i−t El objetivo de la cinemática es hallar la trayectoria y su ecuación: 1. Ecuaciones paramétricas: describen el vector posición por separado, extrayendo sus componentes, y poniéndolas en función del parámetro (que en este caso es el tiempo). Ejemplo:

{

x =t 2 y=t z=3

2. Ecuación de la trayectoria: dos funciones distintas, f y g, de las coordenadas cartesianas (x, y, z), ambas igualadas a 0. Las tenemos que buscar y nos las tenemos que arreglar para quitar el parámetro (tiempo) e igualarlas a 0. Cada una de las ecuaciones representan una superficie en el espacio tridimensional. La intersección entre esas dos superficies será la trayectoria de la partícula. A partir de las ecuaciones paramétricas y el vector posición, simplemente se sustituye la variable t por uno de los valores. Ejemplo: Siguiendo con el ejemplo del vector posición anterior, en este caso como x = t:

= x → y− x =0 { yz=3 → z−3=0 2

2

*Nota* Ecuación general de un plano: Ax + By + Cz + D = 0, dónde A, B y C son las componentes de un vector perpendicular al plano. Como observamos, la ecuación z – 3 = 0, da lugar a un plano horizontal en el punto z = 3, cuyo vector director es (0, 0, 1) o r =k , ya que valga lo que valga x e y, z valdrá 3. Sin embargo, la ecuación y – x2 = 0 no es un plano, sino una p...