Apuntes, temas 1-10 PDF

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Presentación El texto que se presenta en esta edición tiene por objeto proporcionar al alumno de carreras técnicas una herramienta que le permita abordar los conceptos físicos que intervienen en el proceso de edificación, de forma sencilla y aplicada.

Su contenido surge por la implantación de la asignatura “Fundamentos Físicos en la Arquitectura” en el nuevo Plan de Estudios para la titulación de Arquitecto en esta Universidad, y responde a las necesidades planteadas por las asignaturas posteriores de Cálculo de Estructuras y de Construcción.

En él se recogen los conceptos mínimos necesarios para la comprensión de los temas desarrollados, los cuales pueden ser ampliados por el lector, si lo requiere, con textos básicos de Mecánica. Además, en cada capítulo se incluyen problemas ejemplo resueltos, para un mejor entendimiento de la teoría.

Por último, cualquier sugerencia del lector sobre este texto será bienvenida, con el fin de mejorarlo en sucesivas ediciones.

Los autores

40

Capítulo 1: Estática vectorial plana

1.7.1.- Fuerza de rozamiento estático

En el apartado anterior se han visto los distintos tipos de enlaces entre los cuerpos y las acciones originadas en los mismos. En el caso de contacto entre sólidos de superficies lisas, la única fuerza acción-reacción presente es la normal N a la superficie de contacto (normal al plano tangente a ambos sólidos en el punto de contacto). En el caso de superficies rugosas puede aparecer una componente tangencial de la reacción, además de la normal. Esta fuerza tangencial es la fuerza de rozamiento. Hay que destacar que dicha fuerza tiene un valor límite y actúa siempre en sentido opuesto al movimiento relativo que se produciría entre las superficies en contacto si no hubiera rozamiento.

El concepto de fuerza de rozamiento estático se introduce a continuación a través de un ejemplo intuitivo. Considérese un bloque homogéneo, de base rectangular y peso P, que se encuentra en equilibrio apoyado sobre una superficie plana y horizontal, tal y como se muestra en la Figura 1.7.11a. La superficie de apoyo ejerce sobre el bloque un sistema de fuerzas distribuidas que, dada la simetría de cargas, tiene la forma que se muestra en la Figura 1.7.11b. Dado que el bloque está en equilibrio, la resultante N de este sistema de fuerzas contrarresta exactamente al peso P del bloque (véase Ejemplo 1.3.1). En esta situación, como la fuerza peso no presenta componente tangencial, tampoco la reacción del suelo la tendrá, por lo que no aparecen fuerzas horizontales. Así, el peso y la reacción normal forman un sistema de fuerzas nulo. a

a

P

a

P

P

N (a)

(b)

(c)

Figura 1.7.11

Supóngase ahora que se aplica una fuerza horizontal F sobre el bloque a una altura h respecto a la superficie de apoyo, tal y como se muestra en la Figura 1.7.12a. Si las superficies en contacto fuesen perfectamente lisas, es claro que el bloque comenzaría a moverse hacia la derecha. Sin embargo, las superficies siempre presentan ciertas rugosidades en mayor o menor medida, que hacen que aparezca una distribución de fuerzas horizontal (Figura 1.7.12b), que se opone al posible

Capítulo 1: Estática vectorial plana

41

movimiento relativo entre las superficies. A la resultante FR (Figura 1.7.12c) de estas fuerzas distribuidas se le conoce como fuerza de rozamiento. En el caso de la situación mostrada en la Figura 1.7.12, en el que el bloque no se mueve, se trata de una fuerza de rozamiento estática, en contraposición al caso en que existiera movimiento relativo entre las superficies en contacto, en que se hablaría de una fuerza de rozamiento dinámica. Así, mientras no se produzca deslizamiento entre el bloque y la superficie horizontal, se cumple F

0

FR

N

P

0

F ,

FR

(1.7.6) (1.7.7)

P,

N

es decir, la fuerza de rozamiento compensa exactamente a la fuerza horizontal ejercida sobre el bloque, y la reacción normal al peso del mismo. a

a

F

a

F P

h

F P

h

P h A FR

N x

(a)

(b)

(c)

Figura 1.7.12

La Figura 1.7.12 muestra también otro fenómeno interesante. Al ejercer la fuerza F, se produce una ruptura de la simetría de la fuerza distribuida vertical que ejerce la superficie de apoyo sobre el bloque, de modo que las fuerzas que actúan sobre la parte derecha de la base del bloque son más intensas que las que lo hacen por la parte izquierda (Figura 1.7.12b). Esto hace que la resultante N de estas fuerzas se desplace hacia la derecha del eje de simetría del bloque, de forma que pueda compensar el momento que ejerce la fuerza F respecto al punto A (Figura 1.7.12c). Así, aplicando la condición de equilibrio de momentos respecto al punto A se llega a

42

N x

Capítulo 1: Estática vectorial plana

F h

0

x

F h N

F h , P

(1.7.8)

ecuación que permite calcular la coordenada x del punto de aplicación de la normal respecto al punto A.

Si se va aumentando paulatinamente la fuerza F, la experiencia pone de manifiesto que llega un momento en el que el bloque sale de la posición de equilibrio. Esto puede suceder de dos maneras: o bien el bloque desliza hacia la derecha, o bien el bloque vuelca alrededor de la arista inferior derecha (tambien puede darse el caso especial de que el bloque deslice y vuelque a la vez).

En el primer supuesto, al aumentar la fuerza F también aumentará la fuerza de rozamiento FR, pero no indefinidamente, sino hasta un valor máximo a partir del cual no puede equilibrar F y el bloque desliza hacia la derecha. Experimentalmente se demuestra que este valor máximo de FR es proporcional a la componente normal N de la reacción de la superficie, es decir SN,

FR, max

(1.7.9)

donde S es el coeficiente de rozamiento estático que es constante, adimensional, y no depende de las dimensiones de las superficies en contacto, sino sólo de su naturaleza y rugosidad. En la Tabla 1.7.2 se presentan algunos valores para distintas superficies secas del coeficiente de rozamiento estático. material

S

metal-metal

0.50

madera-metal

0.50

piedra-metal madera-madera

0.30-0.70 0.40

piedra-piedra

0.40-0.70

goma-hormigón

0.60-0.90

goma-madera

0.50

Tabla 1.7.2: Coeficientes de rozamiento estático para superficies comunes

En el caso del bloque de la Figura 1.7.12, la fuerza de rozamiento máxima resulta FR, max

SN

SP.

(1.7.10)

Capítulo 1: Estática vectorial plana

43

Así, la condición de no deslizamiento queda de la forma FR

FR, max

F

SP ,

(1.7.11)

de modo que, para cualquier valor de F menor o igual que el límite fijado por la ecuación (1.7.11), el bloque no deslizará. El caso correspondiente al signo igual se conoce como deslizamiento inminente, y cualquier valor de F superior a este límite haría que el bloque deslizara. La otra manera posible de que el bloque salga de la posición de equilibrio es que éste vuelque alrededor de la arista inferior derecha. Mientras el bloque está en equilibrio, al ir aumentando la fuerza F la posición del punto de aplicación de la normal se va desplazando hacia la derecha, de acuerdo con la ecuación (1.7.8). Para que el bloque no salga del equilibrio, la normal no debe salirse de la base del bloque, y se debe cumplir

x

F h P

a 2

F

Pa , 2h

(1.7.12)

lo que indica que para cualquier valor inferior al dado en la ecuación (1.7.12) el bloque no volcará. En el caso correspondiente al signo igual, la normal estará aplicada justo en la arista inferior derecha, y cualquier valor de F que sobrepase ese límite hará que el bloque vuelque. Por eso, a este caso se le conoce como de vuelco inminente. Por tanto, para que un cuerpo no vuelque, la resultante de las fuerzas aplicadas en el mismo y su propio peso deben quedar dentro de su base de sustentación, es decir, la reacción normal del plano de apoyo debe quedar dentro de dicha base. En la Figura 1.7.13 se muestra cómo dependiendo de la geometría de un cuerpo pueden darse situaciones de no vuelco (Figura 1.7.13a), vuelco inminente (Figura 1.7.13b) y vuelco (Figura 1.7.13c).

no hay vuelco

P

P

N

vuelco inminente

P

N (a)

(b) Figura 1.7.13

N (c)

vuelca

44

Capítulo 1: Estática vectorial plana

Ejemplo 1.7.4: Un bloque de peso 450 N, base cuadrada de 1 m

1 m y altura 2 m se encuentra

sobre un plano horizontal rugoso con un coeficiente de rozamiento estático

S = 0.5, tal y como se

muestra en la Figura 1.7.14. Se empuja al bloque con una fuerza horizontal F contenida en el plano vertical que pasa por su centro de gravedad, aplicada a una altura h = 1.5 m respecto a su base. 1. Calcúlese el valor máximo de F compatible con el equilibrio. 2. Si F = 100 N, calcúlese el valor de la fuerza de rozamiento estático y la posición de la reacción normal del suelo sobre el bloque. 1m

F

2m

1’5 m 450 N

Figura 1.7.14

1. En la Figura 1.7.15 se muestran las fuerzas que actúan sobre el bloque cuando éste se encuentra en equilibrio (diagrama de sólido libre). 1m

F 0’5 m

2m

1’5 m 450 N A FR N x Figura 1.7.15

Capítulo 1: Estática vectorial plana

45

Las ecuaciones de equilibrio son en este caso F

FR

0

FR

N

450

0

N

F ,

(1.7.13)

450 N ,

(1.7.14)

450 0' 5 F 1' 5 N x

0

x

225 1' 5F , 450

(1.7.15)

donde los momentos de las fuerzas se han tomado respecto al punto A. La fuerza máxima que puede aplicarse para que el bloque no deslice se calcula aplicando la condición de deslizamiento inminente FR

FRmax

SN

0' 5 450

225 N .

(1.7.16)

Sustituyendo la ecuación (1.7.16) en la ecuación (1.7.13) se obtiene F

225 N ,

(1.7.17)

es decir, cualquier valor de F mayor que 225 N hará que el bloque deslice hacia la derecha.

La fuerza máxima que puede aplicarse para que el bloque no vuelque se calcula imponiendo la condición de vuelco inminente que, en este caso, corresponde a la normal N aplicada sobre el punto A, es decir, x = 0 en la ecuación (1.7.15), con lo que se obtiene 225 1' 5 F 450

0

F

225 1' 5

150 N ,

(1.7.18)

de lo que se deduce que cualquier valor de F mayor que 150 N hará que el bloque vuelque alrededor del punto A.

Comparando los valores obtenidos en las ecuaciones (1.7.17-18), se concluye que el máximo valor de F compatible con el equilibrio es de 150 N.

2. Para F = 100 N, el bloque está en equilibrio. La fuerza de rozamiento viene dada por la ecuación (1.7.13) FR

F

100 N ,

(1.7.19)

46

Capítulo 1: Estática vectorial plana

y la posición de la reacción normal por la ecuación (1.7.8)

x

225 1' 5 100 450

0 '17 m .

(1.7.20)

Ejemplo 1.7.5: En la Figura 1.7.16 se muestra la sección de un bloque rectangular de 50 Kp de peso, apoyado en un plano inclinado rugoso ( S = 0’5), y sometido a la acción de una fuerza horizontal F. Calcúlese:

1. El máximo valor de F que mantiene el bloque en equilibrio. 2. El mínimo valor de F que mantiene el bloque en equilibrio. 3. El punto del lado derecho del bloque sobre el que debería aplicarse una fuerza F = 100 Kp horizontal para que el deslizamiento y el vuelco se produjeran simultáneamente. 30 cm

F

60 cm

30 cm

50 kp sen = 0’6 cos = 0’8

Figura 1.7.16

1. En la Figura 1.7.17 se muestran las fuerzas que actúan sobre el bloque cuando el valor de F es relativamente grande. En este caso, el cuerpo tendería a moverse hacia arriba (y la fuerza de rozamiento tendería a oponerse a ese hipotético movimiento) y a volcar alrededor del punto B. Por simplicidad en los cálculos, se ha escogido un sistema de referencia con el eje x paralelo al plano inclinado y el eje y perpendicular al mismo. También se han descompuesto el peso y la fuerza F en sus componentes x e y respecto a ese sistema de referencia.

Aplicando las condiciones de equilibrio al bloque se obtiene

∑F x

0

0'8F

30 F R

0

FR

0'8F

30 ,

(1.7.21)

Capítulo 1: Estática vectorial plana

0

∑ Fy ∑ MB

40 0 ' 6F

N

47

0

40 0 ' 6F ,

N

30 30 40 15 N x 0.8F 30

0

0

(1.7.22)

x

1500 24F . 40 0' 6F

(1.7.23)

30 cm

0’8F 30 cm

y 30 kp

40 kp

0’6F

x

B 60 cm FR

N x

Figura 1.7.17

Cuando el bloque está a punto de deslizar FR

FR max

SN

0' 5 (40 0' 6F )

20 0' 3F .

(1.7.24)

Sustituyendo el resultado de la ecuación (1.7.24) en la ecuación (1.7.21) se llega a 0' 8F

30

20 0' 3F ,

(1.7.25)

y el valor máximo de F para que el bloque no deslice hacia arriba resulta F

100 Kp .

(1.7.26)

Cuando el bloque está a punto de volcar, la normal estará aplicada en el punto B (x = 0 en la ecuación (1.7.23)), con lo que se obtiene

x

1500 24F 40 0' 6F

0,

y el valor máximo de F para que el bloque no vuelque alrededor del punto B queda de la forma

(1.7.27)

48

F

Capítulo 1: Estática vectorial plana

1500 24

62' 5 Kp .

(1.7.28)

Por tanto, el valor máximo de F compatible con el equilibrio es de 62’5 Kp, ya que a partir de este valor volcaría.

2. Cuando el valor de F es relativamente pequeño, el cuerpo tendería a moverse hacia abajo y a volcar alrededor del punto A (Figura 1.7.18). 30 cm

0’8F 30 cm

y 30 kp

40 kp

0’6F

x

60 cm FR A

N x

Figura 1.7.18

Las ecuaciones de equilibrio quedan ahora de la forma

∑F x

0

0 ' 8F

∑F y

0

N

∑M A

30 F R

40 0 ' 6F

N x

0

0 0

FR N

30 0 ' 8F ,

(1.7.29)

40 0 ' 6F ,

30 30 40 15 0 ' 8F 30 0 ' 6F 30

(1.7.30)

0

x

300 42F . 40 0' 6F

(1.7.31)

Cuando el bloque está a punto de deslizar hacia abajo FR

FR max

SN

0' 5 (40 0' 6F )

20 0' 3F .

(1.7.32)

Sustituyendo la fuerza de rozamiento de la ecuación (1.7.32) en la ecuación (1.7.29) se llega a 30 0 ' 8F

20 0' 3F ,

(1.7.33)

Capítulo 1: Estática vectorial plana

49

y el valor mínimo de F para que el bloque no deslice hacia abajo resulta F

9' 09 Kp .

(1.7.34)

Cuando el bloque está a punto de volcar, la normal estará aplicada en el punto A (x = 0 en la ecuación (1.7.33)), con lo que se obtiene

x

300 42F 40 0' 6 F

0,

(1.7.35)

y el valor máximo de F para que el bloque no vuelque alrededor del punto B resulta

F

300 42

7'14 Kp .

(1.7.36)

Por tanto, el valor mínimo de F compatible con el equilibrio es de 7’14 Kp, ya que, si no se llega a ese valor, el bloque deslizaría hacia abajo.

3. La Figura 1.7.19 ilustra la situación descrita en el enunciado. El valor de la fuerza F = 100 Kp corresponde al caso de que el bloque en deslizamiento inminente hacia arriba (nótese que ese resultado es independiente del punto de la cara del bloque en que se aplique). 30 cm 80 kp h 60 kp

y 30 kp

x

40 kp B

60 cm

N FR

Figura 1.7.19

Planteando el equilibrio de momentos en el punto B se llega a

∑ MB

0

30 30 40 15 80 h

0

h

75 4

18 ' 75 cm .

(1.7.37)

50

Capítulo 1: Estática vectorial plana

1.8.- Problemas ejemplo Problema ejemplo 1 Para la estructura mostrada en la Figura P1.1, sometida a las acciones exteriores que se indican, obténganse

1. Las reacciones en las articulaciones A y C 2. Las fuerzas interiores que actúan en la articulación B.

2’5 m B 10 T 2m 1T 6 mT

2T

6m

A

3m sen = 0’6 cos = 0’8

C

4m

Figura P1.1

RESOLUCIÓN

1. La Figura P1.2 ilustra el proceso del cálculo de las reacciones. Aplicando las condiciones de equilibrio para las fuerzas que actúan en dirección horizontal (x) y en dirección vertical (y) sobre la estructura completa se obtiene

∑F x

0

10 0'6 1 A x

2 Cx

0

Ax C x

5,

(P1.1)

Capítulo 1: Estática vectorial plana

∑ Fy

0

51

10 0' 8 C y

Ay

0

Ay

8,

Cy

(P1.2)

Separando las dos barras por la articulación B y planteando el equilibrio de momentos de las fuerzas que actúan sobre la barra AB respecto a la articulación B se llega a

∑ MB (barra AB)

0

Ay 4

Ax 3 1 2 10 2' 5

0

3 Ax

4 Ay

27 .

(P1.3)

Repitiendo este proceso para la barra BC se obtiene

∑ MB (barra BC)

Cx 6 2 3 6

0

Cx

0

(P1.4)

0T.

2’5 m B 10 T 2m 1T 6 mT A

2T

6m

Ax Ay 3m sen = 0.6 cos = 0.8

C

Cx Cy

4m Figura P1.2

Sustituyendo el resultado de la ecuación (P1.4) en la ecuación (P1.1), la componente horizontal de la reacción en A resulta Ax

5T.

(P1.5)

Sustituyendo ahora el resultado de la ecuación (P1.5) en la ecuación (P1.3) se obtiene 15

4Ay

27

Ay

3 T.

(P1.6)

52

Capítulo 1: Estática vectorial plana

Por último, sustituyendo de la ecuación (P1.5) en ...