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Apuntes de comercio...

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INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. BLOQUE 5. PROBLEMAS 1º) Se seleccionan al azar seis personas de la lista de votantes registrados en un centro universitario de la Universidad de Valladolid donde el porcentaje de votos del candidato XYZ, a rector ha sido del 40%. Sea la variable X, el número de personas a favor del candidato XYZ en la muestra a) ¿Cuál es la probabilidad de que las seis personas hayan votado a favor del candidato XYZ? b) ¿Probabilidad de que el candidato XYZ haya tenido al menos un voto? c) Sabiendo que de las seis personas al menos la mitad ha votado al candidato XYZ, calcular la probabilidad de que el número de votos en las seis personas hay sido menor que 5. 2º) Sea una v. a. X con ley de probabilidad dada por el siguiente gráfico:

a) Calcular la ley de probabilidad. b) Probabilidad de que el valor de la v. a. X sea menor o igual que 3 c) Esperanza y desviación típica de X 3º) Un estudiante presenta un examen de selección múltiple que contiene 8 preguntas cada una con 3 respuestas opcionales. Suponiendo que contesta completamente al azar: a) Explicar el tipo de experimento que estamos observando. b) Definir a qué llamamos éxito c) ¿Qué distribución sigue la variable X, número de aciertos en el examen? d) Obtener la tabla de probabilidades. e) Calcular la probabilidad de aprobar el examen f) Calcular la probabilidad de acertar todas las preguntas. 4º) Sea X una variable aleatoria de una distribución binomial con E(X)=4 y Var(X)= 3,2 a) Calcular los parámetros n y p de la distribución b) Calcular P(X 3), p(X ≤ 4) usando la función de distribución. 10ª) Hallar a, b y c, en la siguiente ley de probabilidad de una variable aleatoria X X 0 1 2 3 4 5 P(X=x) 0,01 a b c 0,1 0,09 Sabiendo que su media es 2,45 y que la probabilidad p(2 ≤ X ≤ 3) = 0,6 11º) Se sabe que el 4% de los disquetes que fabrica una empresa son defectuosos. Los disquetes se distribuyen en cajas de 10 unidades. Hallar la probabilidad de que una caja tenga como mínimo 9 discos aceptables ¿cuál es el valor esperado de los discos aceptables que tiene la caja? 12º) La probabilidad de que un cierto producto se rompa cuando es transportado es del 2%. Si se transportan 20 de estos productos, calcula la probabilidad de que: a) Se rompan más de dos. b) No se rompa ninguno. 13º) En una explotación ganadera 100 ovejas deben de ser vacunadas. Es conocido que la probabilidad de que una oveja enferme después de administrarle la vacuna es del 2 por mil. Sea X el número de ovejas enfermas después de ponerle la vacuna. a) Indicar la ley de probabilidad de X b) Calcular p(X=1) y p(X > 1) c) Calcular el número medio de ovejas enfermas. 14º) Se conoce que en una ciudad castellana el 30% son mayores de 60 años. Si elegimos al azar 10 personas, calcular:

a) Probabilidad de que a lo sumo 2 sean mayores de 60 años b) Probabilidad de que alguno sea mayor de 60 años. 15º) Suponiendo que una ciudad hay doble número de mujeres que de hombres, a) ¿cuál es la probabilidad de que al salir a la calle, vea pasar tres mujeres antes del primer hombre? b) Si observo que sucede al salir de casa durante 5 días, ¿cuál es la probabilidad de que al menos en 4 de ellos suceda lo dicho en la pregunta anterior? 16º) En una distribución binomial B (9; 0,2) calcula: a) P[X < 3]; b) P[X ≥ 7]; c) P[X ǂ 0] d) P[X ≤ 9] ≅ 1 17º) Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con cuatro respuestas, de las cuales sólo una es correcta. Si un alumno contesta al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste bien 4 preguntas? b) ¿Y la de que conteste correctamente más de 2 preguntas? c) Calcula la probabilidad de que conteste mal a todas las preguntas. 18º) Indica si las siguientes variables responden a una distribución binomial y si es así obtén los valores de n, p, y la media. a) Un examen tipo test consta de 50 preguntas, cada una con tres respuestas, de las que sólo una es correcta. Se responde al azar. ¿Cuál es el número de preguntas acertadas? b) En el examen descrito en el apartado anterior, un alumno conoce las respuestas de 20 preguntas y responde las restantes al azar. Nos preguntamos cuántas de ellas acertará. c) Una moneda se lanza 400 veces. Número de caras. d) El 11% de los billetes de lotería reciben algún tipo de premio, aunque sea el reintegro. En una familia juegan a 46 números. e) El 1% de ciertas soldaduras son defectuosas y revisamos mil de ellas. Número de soldaduras defectuosas que habrá. 19º) La probabilidad de que un aparato de televisión, antes de revisarlo, sea defectuoso, es 0,2. Al revisar cinco aparatos: a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea defectuoso? b) ¿Y la de que haya alguno defectuoso? 20º) En un proceso de fabricación de tornillos se sabe que el 2% son defectuosos, si los empaquetamos en cajas de 50 tornillos, calcular la probabilidad de que en una caja el número de tornillos defectuosos sea: a) Ninguno. b) Uno. c) Más de dos. d) ¿Cuántos tornillos defectuosos habrá, por término medio, en cada caja? 21º) En una distribución B (4; 0,25) comprueba que: P[X = 0] + P[X = 1] + P[X = 2] + P[X = 3] + P[X = 4] = 1 22º) Un método de control de calidad en una empresa consiste en elegir al azar 20 artículos producidos, cada día, y determinar cuántos son defectuosos. Si este número es mayor o igual que 2 hay que revisar la máquina. Por experiencia se sabe que el 3% de los artículos son defectuosos. Encontrar la probabilidad de que al aplicar esta forma de control, un día cualquiera, haya que detener las máquinas.

23º) La probabilidad de que un disco compacto dure al menos un año sin fallar es de 0,98. Calcular la probabilidad de que si elegimos al azar 20 discos: a) Los 20 duren más de un año b) Al menos 15 duren más de un año c) El número medio y la desviación típica del número de discos que no fallan en un año de los 20 considerados. 24º) El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa? 25º) Supóngase que la producción de un día (1000 piezas) contiene 50 piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se seleccionan del lote dos piezas al azar. Sea la variable aleatoria X igual al número de piezas de la muestra que no cumplen. ¿Cuál es la función de distribución acumulada de X? 26º) La probabilidad de que el Banco XYZ reciba un cheque sin fondos es del 1%. a) Si en una hora reciben 20 cheques, ¿cuál es la probabilidad de que se tenga algún cheque sin fondos? b) El banco dispone de 12 sucursales en la ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 4 de las sucursales reciban algún cheque sin fondos? c) Si la media del valor de los cheques sin fondos es de 580 € y el banco trabaja 6 horas diarias, ¿qué cantidad total de euros no se espera pagar? d) Si se computaran los primeros 500 cheques, ¿cuál es la probabilidad de recibir entre 3 y 6 (inclusive) cheques sin fondos? 27º) La cantidad media de consultas a una asociación de consumidores a la hora es de cinco. Calcular las siguientes probabilidades: a) Que en una hora sólo se produzca una consulta b) Que en una hora se produzcan al menos 3 consultas c) Que en tres horas se produzcan más de 2 consultas. 28º) Sea X v.a. discreta con ley de probabilidad: X 0 1 2 3 4 5 P(X=x) 0,2 0,1 a 0,05 0,1 0,4 a) Calcular el valor de a b) Calcular p(2 ≤ X ≤ 4) c) Sea Y = 3X-2. Calcular la probabilidad p(-1 ≤ Y ≤ 7) 29º) Sea X v.a. con función de distribución:

x 4,2) c) Calcular la ley de probabilidad de X 30º) Sea X con ley de probabilidad X -1 0 1 2 P(X=x) 0,2 0,3 0,3 0,2 Calcular la ley de probabilidad de Y = X2 y la probabilidad p(Y > 0) 31º) La tela para tapicerías que fabrica cierta empresa, tiene de media dos defectos por m2. Si se supone que la variable número de defectos por m2 sigue una distribución de Poisson: a) Calcular la probabilidad de que una pieza de 5 m2 no tenga defectos b) Calcular la probabilidad de que una pieza de 5 m2 tenga al menos 2 defectos c) Calcular la probabilidad de que una pieza de 25 m2 tenga exactamente 50 defectos. 32º) Un bar prepara un batido especial que tiene al día en promedio 4 frutas diferentes. Calcular la probabilidad de que el batido contenga más de 4 frutas: a) En un día determinado b) En tres de los siguientes 5 días. 33º) En un proceso de control de calidad se procede a la rotura sucesiva de piezas para comprobar su resistencia. La probabilidad de que una pieza sea defectuosa es 0,1 y cada pieza cuesta 50 €. Sabiendo que paramos cuando se encuentra la primera pieza defectuosa a) Calcular la ley de probabilidad de X, número de piezas no defectuosas que se rompen en el proceso b) Probabilidad de que el coste del proceso sea superior a 200€. 34º) Sea un ensayo de Bernoulli, con probabilidad de éxito 0,8. ¿Cuál es el número mínimo de veces que debe repetirse el experimento para que la probabilidad de obtener al menos un éxito sea superior a 0,99? 35º) El número medio de coches que llegan a una gasolinera cada hora es 180. Si sus operarios sólo pueden atender a 5 coches por minuto, calcular la probabilidad de que en un minuto lleguen más coches de los que se puede atender. 36º) Para un año de 365 días, calcular la probabilidad de que como máximo 2 personas de 500 cumplan años el día de Navidad.

SOLUCIONES 1) X es B(6,0,4) a) 0,004096

(

)

X 15) = 0.04874 7) a) X Número de accidentes al mes. Poisson de parámetro 0,5. 0,6065; b) 6 8) a) 0,9817; 9) a) 0,45;

e)

b) 0,0003355;

c) 0,999

b) No toma valores de 0 a n

c) 0,2; 0,8; 0,8 d) E(X) = 3,25; σ(X) = 1,4448

x 0) = 0,7 Y 0 1 2 P(Y=y) 0,3 0,5 0,2 31) a) 0,000045

b) 0,9995

32) a) Poisson 0,371163 33) a) G(0,1)

b)

c) 0,05 b) Binomial 0,2022

p 50( X + 1) > 200 = 0, 6561

34) n= 3 35) 0,0839 36) Binomial (500, 1/365)

0,8409...