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Ondas electromagnéticas Problema 8.1 La amplitud del campo eléctrico de la onda que se muestra en la fi-

ν = 60 MHz . G G B0 , ω , κ , y λ . b) Las expresiones para los campos E y B .

gura, es E0 = 180 N / C y su frecuencia es

Calcular: a)

Campo eléctrico

y

Dirección de propagación

z Campo magnético

Solución: La relación entre los valores máximos de los campos eléctrico y magnético en una onda electromagnética, viene dado por :

E 0 = cB 0 −1

en donde c = 3 ⋅10 ms es la velocidad de la luz. Teniendo en cuenta los valores numéricos del problema:: 8

Problemas electricidad y magnetismo © M. A. Arnedo

178 Ondas electromagnéticas

E0 180 = = 6 ⋅ 10−7 T 8 c 3 ⋅10 ω = 2πν = 120π = 3, 77 ⋅ 108 rads−1 , B0 =

c=

λ T

; ⇒ λ = cT =

κ =

2π

λ

c

ν

3 ⋅10 = 5m 6 ⋅ 107 8

=

=1, 26 radm −1

Según los resultados obtenidos en el apartado anterior:

G G E = 180sen (1, 26x − 3, 77 ⋅ 10 8t ) j

G G 7 8 B = 6 ⋅10 − sen (1, 26 x − 3, 77 ⋅10 t ) k

Problema 8.2 El campo eléctrico de una onda electromagnética en el vacío es:

G G E = 30 cos(1,8 y + 5, 4 ⋅ 10 8t )i , unidades en el S.I.

a)Cuál es la dirección de propagación. b)¿Cuál es su longitud de onda.? c)¿Cuál es su frecuencia.? Escribir la expresión del campo magnético de la onda. Solución: La onda se está propagando en la dirección del eje y, sentido negativo. De la ecuación de la onda, directamente se deduce que:

κ = 1,8 radm −1 ; ω = 5, 4 ⋅108 rads −1 luego

1,8 =

ω = 2πν ; ⇒ν =

2π

λ

;⇒λ =

2π = 3,49 m 1,8

ω 5, 4⋅ 10 8 = = 8, 6 ⋅10 7 Hz = 86 MHz 2π 2π

b) Como se cumple que B0 =

G G E0 30 = = 10−7 T , además como E y B 8 c 3 ⋅10

son perpendiculares y su producto vectorial tiene que llevar la dirección de

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Ondas electromagnéticas 179

G G G propagación ( − j ) , la dirección del vector B tiene que ser k . Por consiguiente:

G G B = 10−7 cos (1,8 y + 5, 4⋅ 108 t ) k

Problema 8.3 Una onda electromagnética, se propaga en el vacío según la dirección del eje z y tiene su plano de polarización paralelo al plano xy si la amplitud del campo magnético de la onda es B0 = 360 nT y la frecuencia

G

ν = 9,8 GHz , determinar las expresiones de de los campos E

G

y B.

Solución: De los datos del problema, es inmediato deducir que:

E0 = cB0 = 3 ⋅ 10 × 360 ⋅ 10− = 108 NC − , 8

9

1

ω = 2 πν = 2 π ⋅9,8 ⋅10 9 = 6,16 ⋅10 10rads −1 3 ⋅108 2π 2π = 0,03 m ; κ = = = 209, 4 radm−1 9 0, 03 ν 9,8 ⋅10 λ G G G dado que E × B tiene que llevar dirección k , las expresiones de los camy,

λ = cT =

c

=

pos eléctrico y magnético son:

G G E = 108 sen(209, 4 z − 6,16 ⋅1010 t) i

G G B = 3, 6 ⋅10 −7 sen(209, 4 z −6,16 ⋅10 10 t) j

Problema 8.4 Un foco luminoso, emite ondas electromagnéticas uniformemente distribuidas en todas las direcciones. Suponiendo que se convierten 100 W en radiación electromagnética. Calcular: a) Intensidad, b) presión de radiación, y c) valor máximo de los campos eléctrico y magnético, a una distancia de 2 m del foco. Solución: La intensidad viene dada por:

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180 Ondas electromagnéticas

P 100 100 = = = 1,99 Wm − 2 y la presión de radiación 2 2 S 4π r 4π 2 I 1,99 = 6,63⋅ 10−9 Pa . Como puede observarse, es muy pequePr = = c 3 ⋅108 5 ña comparada con la presión atmosférica, la cual es del orden de 10 Pa . I =

De la relación entre la intensidad y los valores máximos de los campos eléctrico y magnético se obtiene:

I =

E02 B2 c 8 −7 = 0 ; ⇒ E 0 = 2 µ0cI = 2 × 4π ⋅ 10 × 3 ⋅ 10 × 1,99 = 2 µ0 c 2 µ 0 − = 38, 7 NC 1

B0 =

E0 38, 7 = = 1, 29⋅ 10−7 T c 3 ⋅10 8

Problema 8.5 Un haz de luz láser tiene un diámetro de 1 mm y una potencia media de 1,5 mW. Calcular: a) Intensidad del haz, b) Eef , Bef , c) la presión de radiación. Solución:

I=

P 1,5 ⋅ 10− 3 = = 1,91⋅ 103 Wm −2 −3 2 S ⎛ 10 ⎞ π⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

Al igual que en el ejercicio anterior:

I =

E02 B 2c = o ; ⇒ E0 = 2µ0 cI = 2 µ 0c 2 µ 0

= 2 × 4π ⋅ 10− 7 × 3⋅ 108 × 1,91⋅ 10 3 = 1200 NC −1 B0 =

E 0 1200 = = 4 ⋅10 −6 T c 3 ⋅108

por consiguiente:

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Ondas electromagnéticas 181

E ef =

E0

=

2

6 B 1200 4⋅ 10− = 848,5 NC −1 ; B ef = 0 = = 2,83 ⋅ 10−6 T 2 2 2

La presión de radiación es:

I 1,91 ⋅10 − = = 6,37 ⋅10 6 Pa 8 c 3⋅ 10 3

Pr =

Problema 8.6 En lugar de enviar energía eléctrica mediante una línea de 750 kV, 1000 A. Se pretende utilizar un haz de ondas electromagnéticas apropiado. El haz es de una intensidad uniforme dentro de una sección recta de 50 m2. Calcular los valores eficaces de los campos eléctrico y magnético. Solución: La potencia a enviar es P = VI

= 7,5 ⋅ 105 × 1000 = 7,5 ⋅ 108 W , por

consiguiente, la intensidad del haz es:

I=

8 P 7,5⋅ 10 − = = 1,5⋅ 107 Wm 2 . S 50

Para calcular los valores eficaces de los campos, procedemos, al igual que los ejercicios anteriores, relacionando la intensidad con el valor máximo de

G E,

2

E0 ; ⇒ E0 = 2µ 0 cI = 2 µ0c

I=

7 8 7 5 1 2× 4π ⋅ 10− × 3⋅ 10 × 1,5⋅ 10 = 1,06⋅ 10 NC −

=

B0 = Eef =

E0 1,06 ⋅10 5 − = = 3,53⋅ 10 4 T c 3⋅ 108

E0

Bef =

=

1,06 ⋅105

2

2

B0 2

=

= 7, 49 ⋅ 104 NC −1

3,53 ⋅ 10− 4 2

−4 = 2, 49⋅ 10 T

Problema 8.7 El campo eléctrico de una onda electromagnética vibra en la dirección del eje Y, además el vector de Poynting viene dado por: Problemas electricidad y magnetismo © M. A. Arnedo

182 Ondas electromagnéticas

G G S ( x, t ) = 100 cos 2 (10 x − 3⋅ 10 9t )i , unidades en el S.I. Calcular: a) Dirección de propagación de la onda. b) Longitud de onda y frecuencia de la misma. c)Expresiones de los campos eléctrico y magnético.

Solución: Recordando que la dirección de propagación de una onda electro-

G G G E× B , está claro que la onda magnética es la del vector de Poynting S =

µ0

se propaga en la dirección del eje X.

G

De la simple observación de la ecuación del vector S , se obtiene que:

κ = 10 radm−1 ; ω = 3 ⋅10 9 rads− 1 y teniendo en cuenta las relaciones,

2π = 0,628 m λ κ 10 ω 3⋅ 10 9 ω = 2πν ; ⇒ ν = = = 4,77 ⋅10 8 Hz π π 2 2

κ=

2π

;⇒ λ =

2π

=

Calculamos ahora los valores máximos de los campos eléctrico y magnético, como:

G EB G E2 S = 0 0 = 0 ; ⇒ E02 = S µ0 c = 100 × 4π ⋅10 −7 × 3 ⋅ 10 8 = 3, 77 ⋅ 10 4 µ0 µ 0c E0 = 3, 77 ⋅ 104 = 194 NC B0 =

−1

E 0 194 = = 6, 47 ⋅10 −7 T 8 c 3 ⋅10

Nos dicen que el campo eléctrico vibra en la dirección del eje Y, luego:

G G E = 194 cos (10 x − 3 ⋅ 109 t ) j G G G G al ser B perpendicular a E y como E × B está en la dirección x, el vector G B tiene que vibrar en la dirección del eje Z, entonces: G G B = 6, 47 ⋅ 10−7 cos (10 x − 3⋅ 109 t ) k Problemas electricidad y magnetismo © M. A. Arnedo

Ondas electromagnéticas 183

Problema 8.8 Para detectar ondas electromagnéticas en las que E0

= 0,8 NC −1 ,

se utiliza una antena que consta de una espira circular de 20 cm de radio. Si la frecuencia de la onda es de 600 kHz, determinar la máxima f.e.m inducida en la espira. Solución: Mediante la ley de Faraday:

ε =

dΦ d dB π r 2 B )= π r 2 = ( dt dt dt

suponiendo un campo magnético de la forma :

dB = ω B 0sen ( κ x − ωt ) dt ⎛ dB ⎞ ε max = π r 2 ⎜ ⎟ = π r 2ω B0 ⎝ dt ⎠ max

B = B 0 cos ( κ x − ωt ) ;

como en una onda electromagnética B0

ε max = π r2 ω B0 = =

=

π r 2ωE0 c

E0 c

=

π × 0, 2 2 × 2π 6 ⋅10 5 × 0,8 3 ⋅108

se tiene que:

π r 2 2πν E0 c

=

= 1, 26 mV

Problema 8.9 Una onda electromagnética tiene una frecuencia de 100 MHz, se propaga en el vacío. Si el campo magnético viene dado por

G G B = 10−8 cos(κ z − ωt )i unidades en el S.I.

Calcular: a)Longitud de onda y dirección de propagación de la onda. b)La expresión del campo eléctrico. c) El vector de Poynting y la intensidad de esta onda. Solución: a) La longitud de onda está relacionada con la velocidad y la frecuencia mediante la siguiente ecuación: Problemas electricidad y magnetismo © M. A. Arnedo

184 Ondas electromagnéticas

1

3⋅ 108

= 3m λ = cT = c = ν 108 La dirección de propagación es la del eje Z. b) Se tiene que cumplir E0

G G = cB0 y E × B tiene que llevar dirección

G k , de la primera relación E 0 = 3⋅ 108 × 10−8 = 3 NC −1 , y de la segunda se G G deduce que el vector E tiene que llevar dirección ( − j ), por consiguiente: G G ⎛ 2π ⎞G E = − 3cos(κ z − ω t ) j = − 3cos ⎜ z − 2πν t ⎟ j = ⎝λ ⎠ G = − 3cos ( 2, 09z − 6, 28⋅ 108 t ) j c) El vector de Poynting viene dado por:

G G G E × B −3× 10− 8 cos 2 (2, 09 z − 6, 28 ⋅ 10 8 t )( Gj × i ) S= = = µ0 4π10 −7 G 2 2 8 2,39⋅ 10− cos (2,09 z − 6, 28⋅ 10 t )k

El valor efectivo del módulo del vector de Poynting es la intensidad de la onda, por tanto:

G I= S

ef

=

2,39 ⋅10 −2 2

= 1, 69 ⋅ 10 − Wm − = 16,9 mWm− 2

2

2

Problema 8.10 Se dispone de una radio, capaz de detectar señales de intensidad − 14

I = 10 Wm− 2 . La radio posee una antena formada por una bobina de 2000 vueltas, de 1 cm de radio, con un núcleo de hierro en su interior que incrementa el campo magnético en un factor 200 ( κ m

=200 ). Si la frecuen-

cia que se sintoniza es de 140 kHz. Calcular: a) Amplitud del campo magnético de esta onda. b) f.e.m máxima inducida en la antena. c) f.e.m. máxima inducida en un hilo de 2 m orientado en la dirección del campo eléctrico.

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Ondas electromagnéticas 185 Solución: a) De la relación entre la intensidad y los valores máximos de los campos eléctrico y magnético: 2

I=

E0 ; ⇒ E 0 = 2 µ 0cI = 2µ 0c

2× 4π ⋅ 10 −7 × 3⋅ 10 8 × 10 −14 =

= 2,75 ⋅10 − NC − 6

B0 =

1

E0 2,75 ⋅10 − 6 = = 9,16 ⋅10 − 15T c 3 ⋅108

b) En el ejercicio anterior,

se obtuvo que para una espira

ε max = S ωB0 , para este ejemplo:

ε max = Nπ r 2ω km B0 = 2000π 0, 0122π 1, 4 ⋅10 5 × 200 ×9,16 ⋅10 −15 = = 1, 01 ⋅10 − V 6

c) Suponiendo un campo eléctrico uniforme,

εmax = E0 d , en donde

d es la longitud de la antena, por consiguiente:

ε max = E0 d = 2, 75⋅ 10−6 × 2 = 5,5⋅ 10 −6 V

Problema 8.11 Un haz láser de 20 kW incide perpendicularmente sobre una superficie que refleja la mitad de la radiación. ¿Qué fuerza actúa sobre esta superficie.?

Solución: Cuando una onda electromagnética incide perpendicularmente sobre una superficie, ejerce una presión superficie y

2 Pr =

Pr =

I si la onda es absorbida por la c

2I cuando la onda es reflejada. c

En el ejercicio se absorben 10 kW y se reflejan otros 10 kW, por consiguiente la presión ejercida será:

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186 Ondas electromagnéticas

104 104 3⋅ 10 4 3⋅ 10 4 10− 4 Pr = S + 2 S = = = c c Sc S × 3 ⋅108 S y la fuerza ejercida

F = Pr S =

10−4 S = 10− 4N S

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