Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt PDF

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En álgebra lineal, el proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto interno, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial....

Description

Departamento de Matemáticas Algebra Lineal Enero-Mayo de 2020 Séptima Competencia NOMBRE: _______________________

ID: ______________

Fecha: 14 de mayo

de 2020 Actividad 2 c



Ortogonalidad

Se dice que dos vectores u y v son ortogonales si el producto interno de ellos es igual a cero. Es decir (u, v) = 0. Ortogonal significa que el angulo entre los vectores es de 90°. Ejemplo: determine si los vectores u= (2, -3) v = (3,2) son ortogonales. El producto interno de ellos es (u, v)= (2)(3)+(-3)(2)=6-6 = 0, por lo tanto los vectores son ortogonales ya que su producto interno es igual a cero.



Ortonormalidad

Un conjunto de vectores es ortonormal si cualquier par de ellos es ortogonal y cada uno tiene longitud 1.

Zahora se verá como cualquier base en Rn se puede convertir en una base ortonormal. El método para ello se denomina Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt. Explicaremos los pasos con el ejemplo siguiente:

Construya una base ortonormal en R3, (u1,u2,u3) a partir de la base (v1,v2,v3) =

{( ) ( ) ( )} 1 0 1 1 , 1 , 0 0 1 1

Primer paso: Calcular u1

u1=

v1

‖v 1‖

;

()

1 √2 v 1 1 1 ‖v1‖= √ 12+ 12+ 02=√ 1+1+ 0= √ 2 , entonces u1= 1 = v1 = 1 = 1 √2 √ 2 √2 0 √2 0

()

()

1 √2 lo tanto u1= 1 √2 0

Segundo paso: calculemos el valor

' ' v 2 con la fórmula v 2 =v 2−(v 2 ∙u1 )u 1

por

1 0 √2 1 1 1 1 v 2 ∙u 1= 1 ∙ 1 = ( 0 ) +( 1) +( 1 ) ( 0 )=0+ +0= √2 √2 √2 √2 1 √2 0

()

v 2 ∙u 1 es :

El producto interno

( ) ( )

() ( ) ( ) ()( )

1 1 −1 2 0 2 0 2 1 √ ' Por lo tanto v 2=v 2− ( v 2 ∙ u1) u1= 1 − 1 = 1−1 = 1 √2 1 2 √2 1 2 1 0 0

()

Tercer paso: Calculamos ahora u2

() ()

−1 −1 2 v v √2 2 = 1 1 1 3 2 ' 2 1 ' 2 ' −1 +1 = + +1= , entonces u 2= + = v 2= v2 = u2 = ;‖ v 2‖= 1 = 1 2 4 4 3 2 2 3 3 √ 3 3 ‖v ‖ 2 2 2 2 1 1 ' 2 ' 2

√(

) () 2

2

√

√

' 2

√ √

√2 √2

Se puede racionalizar el resultado multiplicando el vector por

para simplificar el resultado

( ) ( )( )( ) ()

−√ 2 − √ 2∗√ 2 −2 −1 2√ 3 2 √2 √ 3 2 √6 √6 √ 2 √ 2 = √ 2∗√2 = 2 = 1 2 √6 √6 2 √2 √3 √ 2 2√ 3 2 2 2∗ √2 √ √2 √6 √6 √3 √2 √ 3 −1 √6 1 Por lo tanto u2= √6 2 √6

Cuarto paso: Calculemos el valor

v 3' con la fórmula v 3 =v 3 − (v 3 ∙ u1 ) u1 −( v 3 ∙ u2 ) u2 '

√ √

El producto interno

v 3 ∙u 1 es :

El producto interno

v 3 ∙u 2 es

1 1 √2 1 1 1 1 v 3 ∙u 1= 0 ∙ 1 = ( 1) +( 0) +( 1 ) ( 0 )= + 0+0= √2 √2 √2 √2 1 √2 0

()

()

( ) ( )

−1 √6 1 1 −1 1 2 2 1 −1 v 3 ∙u 2= 0 ∙ = (1 ) + ( 0) + ( 1) = +0+ = 6 √ √6 √6 √6 √ 6 √6 √6 1 2 √6

()

()

( ) ( ) ( )

Por lo tanto

()

1 1 1 √2 1 v 3' =v 3− (v 3 ∙ u1 ) u1− ( v 3 ∙ u2 ) u2= 0 − 1 − 1 √ 2 √2 √ 6 0

()

Quinto paso Ahora calculamos por último a u3.

( )()()( )( ) −1 2 −1 1 6 √ 3 6 1 2 1 2 1 =0− 1 − =− 3 6 6 √ 1 2 2 2 2 0 3 6 √6

u3 =

v'3

‖v 3' ‖

‖v3' ‖=

;

√( )

√

√ √

v' 2 2 −2 2 2 2 4 4 4 12 3 ' 3 ' 3 4∗3 2 = √ 3 , entonces u2= 2 = v 3= v 3= = + + = + + = 3 3 9 9 9 2 3 3 9 9 2√ 3 2 √3 √ 3 2 √3 3

( )()

()

1 √3 −1 por lo tanto u3 = √3 1 √3 Solución

3

Por lo tanto la base ortonormal en R , (u1,u2,u3) a partir de la base (v1,v2,v3) =

Es

(u1,u2,u3) =

{ }

{( ) ( ) ( )} −1 1 1 √ 6 √3 √ 2 1 −1 , 1 , √ 6 √3 √2 2 1 0 √ 6 √3

Tarea Construya una base ortonormal en R2,

Solución.

(u1,u2)=

{( ) ( )} 1 −1 √ 2 , √2 1 1 √ 2 √2

a partir de la base (v1,v2) =

{( ) ( )} 1 −1 , 1 1

1 0 1 1 , 1, 0 0 1 1

(

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