Proporciones - Ejercicios del primer bloque de la asignatura PDF

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Ejercicios del primer bloque de la asignatura...

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´ FUNDAMENTOS MATEM ATICOS PARA LA ARQUITECTURA PROPORCIONES Curso 2017/2018 √ 1. Demostrar que 2 no puede ser un n´ umero √ racional y que es constructible con regla y comp´as. Construir un rect´angulo en proporci´ on 5 con regla y comp´as. 2. Dado un rect´angulo R, se construyen rect´angulos asociados a ´el, (rect´ angulos rec´ıprocos), a partir del trazado de perpendiculares a una diagonal desde los v´ertices del rect´angulo que no est´an en ella. Los rect´angulos rec´ıprocos pueden ser internos o externos.

rec´ıprocos internos

rec´ıprocos externos Demostrar que la proporci´on de un rect´ angulo coincide con la de sus rect´ angulos rec´ıprocos. 3. Probar que los rect´angulos en proporci´ on racional se caracterizan por ser la reuni´on de cuadrados iguales no solapantes. √ 4. Demostrar que un rect´angulo en proporci´ on n puede dividirse en n subrect´ angulos de la misma proporci´ on. √ 5. Demostrar que los rect´angulos en proporci´ on n se caracterizan por ser aquellos formados por la reuni´on (mediante desplazamiento) de n subrect´ angulos rec´ıprocos internos no solapantes. √ 6. Un ejemplo del uso de la proporci´on n lo encontramos en la serie DIN (’Deutche Industrienorm’) para la normalizaci´on de los tama˜ nos del papel. La serie se forma a partir de un tama˜ no inicial, llamado A0, por divisi´ on en dos mitades iguales, cada una de las cuales es llamada A1. Repitiendo iteradamente este proceso se construyen los tama˜ nos A2, A3, A4,

Proporciones

2

etc. Se desea que todos los t´erminos de la serie un el √est´en en la misma proporci´on, luego, seg´ ejercicio anterior, esta debe ser precisamente 2. Para fijar definitivamente la norma debemos especificar el primer tama˜ no, A0, a partir del cual se inicia el proceso. Para unificar esta norma con el sistema m´etrico decimal, este primer tama˜ no se fija de manera que su ´area sea de 1 m2 . Demostrar que sus medidas deben ser (con un peque˜ no margen de error) de 1189 mm×841 mm. ¿Cu´ales son las medidas de los tama˜ nos A1, A2, A3, A4, A5 y A6?

7. Demostrar que los rect´angulos en proporci´ on ´aurea se caracterizan por ser aquellos que al sustraerles un rect´angulo rec´ıproco interno se obtiene un cuadrado. 8. Demostrar que los rect´angulos en proporci´ on ´aurea son los u ´nicos para los cuales la prolongaci´on de una diagonal pasa por el v´ertice del rect´ angulo adyacente, copia del primero, colocado verticalmente al lado. 2 9. Se llama n´ umero de plata a la ra´ız positiva del umero se denota √polinomio x − 2x − 1. Este n´ por la letra griega θ y su valor es θ = 1 + 2. Construir un rect´angulo R de proporci´ on θ y uno de sus rect´angulos rec´ıprocos internos. Comprobar que el rect´angulo R se puede descomponer en dos cuadrados y un rect´angulo de proporci´on θ .

10. Probar que toda progresi´on geom´etrica de raz´on el n´ umero de oro es una sucesi´ on de Fibonacci (presentando as´ı la ventaja de ser, a la vez, multiplicativa y aditiva). 11. A cada pol´ıgono regular podemos asignarle un rect´angulo cuyos lados son el radio de la circunferencia circunscrita al pol´ıgono y el lado del mismo. Calcular las proporciones de estos rect´angulos asignados a los siguientes pol´ıgonos: cuadrado, pent´ agono, hex´agono y oct´ ogono, 1 (para este pol´ıgono el valor obtenido es q on cordobesa). √ , y se conoce como proporci´ 2− 2...