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Zusammenfassung des Labors zur Dichte von Stoffen...

Description

DICHTE Protokoll vom 18.12.2020 Exposee Im Folgenden werden anhand experimenteller Methoden die Dichten von Flüssigkeiten und Feststoffen untersucht, beziehungsweise rechnerisch analysiert.

Fachbereich 1 Ingenieurswissenschaften – Energie und Information Labor Physik Betreuer: Herr Prof. Dr. Bert Stegemann, Herr Paul Schwarz Laborgruppe: 12 Zug: 1 / Gruppe: 1

Konstantin Leonard Simon, 577422 Maximilian Becker, 578024

DICHTE Inhaltsverzeichnis 1

Zielstellung......................................................................................................................................2

2

Messung..........................................................................................................................................2

3

Auswertung.....................................................................................................................................4

4

Formelverzeichnis............................................................................................................................9

5

Ergebniszusammenfassung............................................................................................................11

6

Bewertung.....................................................................................................................................12

7

Quellenverzeichnis.........................................................................................................................13

Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Dichte von Flüssigkeiten

[Seite 5]

Abbildung 2: Dichte von Feststoffen

[Seite 9]

Tabellenverzeichnis Tabelle 1: Messwerte für Dichte und Temperatur von destilliertem Wasser

[Seite 2]

Tabelle 2: Messwert für die Dichte eine unbekannten Versuchsflüssigkeit

[Seite 2]

Tabelle 3: Messwerte der verschiedenen Massen

[Seite 3]

Tabelle 4: Temperatur Wasser/Feststoffprobe

[Seite 3]

Tabelle 5: Messwertzusammenfassung zur Dichtebestimmung der Flüssigkeiten [Seite 11] Tabelle 6: Messwertzusammenfassung zur Dichtebestimmung des Festkörpers

06.01.2021

[Seite 11]

1

DICHTE 1. Zielstellung In diesem Versuch sollen in zwei geteilten Experimenten zum einen die Dichten von Flüssigkeiten und zum anderen die Dichte eines Feststoffes analysiert und bewertet werden. Zur Durchführung der Dichtebestimmung wird für die Flüssigkeiten eine Mohr’sche Waage und für den Festkörper ein Pyknometer verwendet, wobei durch folgende Errechnungen die Genauigkeit der Messmedien überprüft werden. 2. Messung 2.1 Dichtebestimmung von Flüssigkeiten In dem Versuch wurde mit Hilfe einer Mohr’schen Waage die Dichte einer unbekannten Versuchsflüssigkeit festgestellt. Hierzu wurde ein Probekörper an den längeren Arm der Waage angehängt und anschließend in die Flüssigkeit eingetaucht. Der kürzere Arm war mit einem Gewicht versehen, welches die Hebelkraft des Probekörpers ausglich. Als der Probekörper in die Flüssigkeit getaucht wurde, entstand ein auf den Probekörper wirkender Auftrieb. Dieser wurde durch das Anbringen verschiedener Reiter mit unterschiedlicher Größe ausgeglichen, bis das Das Ende mit dem Gewicht wieder im Lot stand. Die Position und Größe der Reiter bestimmen den Wert der Dichte ρ (rho) in

kg m

3

, wobei die Größe der Reiter mit einem Verhältnis von 1:10:100 (Größe

absteigend) für die Vorkommastellen, und die Nummer der Kerbe auf dem Hebelarm für den Wert der jeweiligen Stelle steht. Die Kalibrierung der Mohr’schen Waage (MW) erfolgte mit destilliertem Wasser (W). Da sich die Dichte von Wasser durch dessen Temperatur T sehr genau bestimmen lässt, wurde diese ebenfalls gemessen, um einen Richtwert für die Kalibrierung zu schaffen.

Argument

Wert

Fehler

Einheit

ρW (MohrscheWaage )

995

±1

kg m3

TW

26,7

±1,1

°C

Tabelle 1: Messwerte für Dichte und Temperatur von destilliertem Wasser

Nach der Kalibrierung der Mohr’schen Waage mit dem destillierten Wasser wurde die gleiche Messung für eine unbekannte Versuchsflüssigkeit (VF) wiederholt.

Argument

ρVF (Mohrsche Waage)

Wert

786

Fehler

Einheit

±1

kg m3

Tabelle 2: Messwert für die Dichte eine unbekannten Versuchsflüssigkeit 06.01.2021

2

DICHTE 2.2 Dichtebestimmung eines Festkörpers Die Dichte von Festoffen wurde mit Hilfe eines Pyknometers festgestellt. Ursprünglich wurde ein Pyknometer mit dem Namen „Dichtefläschchen“ bezeichnet. Es ist ein Waagegefäß mit einem sehr genau und reproduzierbar bestimmbaren Innenvolumen. Bei der pyknometrischen Dichtebestimmung wird vorerst das leere und dann das mit Flüssigkeit befüllte Pyknometer gewogen. m 1 , des Somit wurde zunächst das Gewicht des unbekannten Feststoffes Pyknometers gefüllt mit destilliertem Wasser m 2 , und des Pyknometers gefüllt mit dem Feststoff und destilliertem Wasser m 3 , mit einer Feinwaage ermittelt. Für jede Messung wurde ein Ablesefehler von 0,001 g angenommen und ein systematischer Fehler von 0,001 g gegeben.

Argument

Wert

Fehler

Einheit

m1

66,316

± 0,002

g

m2

44,968

± 0,002

g

m3

105,294

± 0,002

g

Tabelle 3: Messwerte der verschiedenen Massen

Auch bei diesem Versuch wurde die Temperatur T des Wassers gemessen. Dabei wird erwartet, dass das destillierte Wasser und die Feststoffprobe dieselbe Temperatur aufweisen.

Argument

TW

Wert

22,6

Fehler

±1,1

Einheit

°C

Tabelle 4: Temperatur Wasser/Feststoffprobe

3. Auswertung 06.01.2021

3

DICHTE

3.1 Dichtebestimmung von destilliertem Wasser mit der Mohrschen Waage Mit Hilfe der Mohrschen Waage (MW), unter Verwendung der Reiter, konnte die Dichte ρ eines destillierten Wassers (W) bestimmt werden. Anschließend wurde mittels eines Thermometers die Temperatur T des Wassers gemessen, um mit dieser folgend den tabellarischen Wasserdichtewert mit Hilfe der Interpolation zu definieren.

ρW (MW) =( 995 ± 1 )

kg m3

→ Dichte nach Mohr’scher Waage

T =( 26,7 ± 1,1 ) ° C

→ Temperatur des Wassers

Da die Temperatur zwischen zwei ganzzahligen Zahlenwerten liegt, muss die Interpolation zur exakten Dichtebestimmung angewendet werden.

kg m3 kg ρ ( 27 °C )=996,516 3 m ρ ( 26 °C )=996,786

ρ ( 26,7 °C )=ρ ( 26 °C ) +

ρ ( 27 ° C ) −ρ ( 26 °C ) ∗( 26,7 °C−26° C ) 27° C−26 °C

(1)

ρ ( 26,7 °C )=996,786 kg3 + m

(996,516− 996,786) 1,0° C

kg m

3

∗0,7 °C=996,597

kg m3

Nun wird die Rechnung zur Bestimmung des absoluten Fehlers der Tabellarischen Wasserdichte veranschaulicht.

ur =usystematisch +u zufällig =1,0 °C +0,1° C =1,1° C u ρ(26,7 ° C)=

→ Fehler Thermometer

│ ρ( 27 ° C ) −ρ(26 ° C)│ ∗u r 27 °C−26 ° C

(2)

│ ( 996,516− 996,786 ) u ρ(26,7 ° C)=

06.01.2021

1.0 ° C

kg │ m3

∗1,1° C=−0,297

kg kg =0,297 3 3 m m

4

DICHTE

Tabellarische Wasserdichte mit Berücksichtigung der Temperatur:

ρW (Tab −T) ( 26,7 °C )= (996,597 ±0,297 )

kg kg =( 996,60 ±0,30 ) 3 3 m m

3.2 Dichtebestimmung einer unbekannten Flüssigkeit mit der Mohrschen Waage Mit Hilfe der Mohrschen Waage wurde die Dichte einer unbekannten Versuchsflüssigkeit (VF) bestimmt. Unter Berücksichtigung der Kalibrierung mit dem destillierten Wasser kann nun die Dichte der Versuchsflüssigkeit wie folgt errechnet werden:

ρVF (MW , Kalibrierung )=

ρVF ( MW )∗ρW (Tab)

(3)

ρW (MW)

ρVF (MW )= (786 ± 1 ) kg3 m ρW (MW) =( 995 ± 1 )

kg m3

ρW ( Tab ) = ( 996,6 ± 0,3 )

kg m3 Abbildung 1: Dichte von Flüssigkeiten

kg kg ∗996,597 3 3 m m kg ρVF (MW , Kalibrierung )=786 =787,2615497 3 kg m 995 3 m Somit ist klar festzustellen, dass es sich mit Vergleich zu Abb.1 bei dieser Versuchsflüssigkeit um Alkohol handeln muss, da:

787,3

kg kg ≈ 789,0 3 3 m m

Im Folgenden wird die Fehlerrechnung des ermittelten Dichtewertes dargestellt. Dieser wird unter Anwendung der Fehlerfortpflanzung mit erwähnter Gleichung errechnet. Ableitung von (3):

06.01.2021

5

DICHTE

uVF (MW , Kal .)=

ρ ( MW) ρ (MW )∗ρW ( MW) ρW (MW ) ∗uW (MW ) │− VF 2 ∗uVF ( MW )+ VF │∗u ρW ( Tab) ρW (Tab ) ρW (Tab ) ρW (Tab )

kg kg kg (786∗995 ) 3 786 3 3 m m m uVF (MW , Kal .)= ∗1│− │∗0,297=2,020945197 ∗1+ kg kg 2 kg 996,597 3 996,597 3 996,597 3 m m m 995

Wasserdichte:

ρVF (MW , Kal .)=( 787,2615497 ± 2,020945197 )

kg kg =( 787,3 ± 2,0 ) 3 3 m m

3.3 Dichtebestimmung eines unbekannten Festkörpers Unter Handhabung eines Pyknometers wird nun die Dichte eine unbekannten Feststoffes bestimmt. Zur rechnerischen Verwertung mussten verschiedene Massen notiert werden. Die Masse m 1 entspricht der Probe des unbekanntes Feststoffs, welche mit einer elektronischen Feinwaage ermittelt wurde. Die Masse m 2 ist dem mit Wasser randvoll befülltem Pyknometer einzuordnen und die Masse m 3 das Gesamtgewicht aus Feststoff und dem befüllten Pyknometer. Die dazu angegebenen Fehler setzen sich aus den systematischen und Ablesefehlern zusammen. Auch bei diesem Versuch wurde mittels eines Thermometers die Temperatur des Wassers gemessen. Nun soll erneut die Tabellarische Wasserdichte mit Hilfe der Interpolation und zudem die Dichte des vorerst unbekanntes Feststoffes bestimmt werden.

m 1=( 66,316 ± 0,002) g m 2=( 44,968 ± 0,002) g m 3=( 105,294 ± 0,002) g T =( 22,6 ±1,1 ) ° C Da die Temperatur zwischen zwei ganzzahligen Zahlenwerten liegt, muss die Interpolation zur exakten Dichtebestimmung angewendet werden.

kg m3 kg ρ ( 23° C )=997,540 3 m ρ ( 22° C ) =997,772

06.01.2021

6

DICHTE

ρ ( 22,6 °C )=ρ ( 22° C )+

ρ ( 23 °C )− ρ ( 22 °C ) ∗( 22,6 °C−22° C ) 23 °C−22 ° C

(1)

ρ ( 22,6 °C )=997,772

kg + m3

( 997,540−997,772) 1,0 °C

kg m3

∗0,6 °C=997,6328

kg 3 m

Anschließend wird der absolute Fehler der Tabellarischen Wasserdichte definiert.

ur =usystematisch +u zufällig=1,0 °C +0,1° C =1,1 ° C

u ρ(22,6 ° C)=

│ ρ( 23 ° C ) −ρ(22 °C)│ ∗ur 23 °C−22 °C

(2)

│ ( 997,540−997,772) u ρ(22,6 ° C)=

1.0 °C

kg │ m3

∗1,1 °C=−0,2552

kg kg =0,2552 3 3 m m

So ergibt sich unter Beachtung der Temperatur folgende Tabellarische Wasserdichte:

ρW (Tab −T) ( 22,6 °C )= (997,6328 ± 0,2552 )

kg kg =( 997,63 ± 0,26) 3 3 m m

Nun kann die Dichte des noch unbekanntes Volumenbestimmung des Wassers, errechnet werden.

V FS =V W =

V FS =

ρFS =

mW ρW

=

Feststoffes,

mit

m1+m 2−m3 ρW

vorheriger

(4)

( 0,066316 + 0,044968−0,105294 ) kg =6,004213173∗10−6 m 3 kg 997,6328 3 m

m1 V FS

(5)

ρFS =

06.01.2021

0,066316 kg kg =11044,91098 3 6 3 m 6,004213173∗10 m 7

DICHTE

Der Fehler der Dichte des Feststoffs errechnet sich aus den Regeln der Fehlerfortpflanzung. Zuerst wird der Fehler der Volumenrechnung betrachtet.

uV ( FS) =│

−mW 1 ∗um +m + m │+│( 2 ∗u ρ ( W ) )│ ρW ρW 1

2

1

uV( FS ) =│

997,6328

kg m3

3

∗0,000006 kg │+│

0,00599 kg kg ∗0,2552 3 │ kg m 997,63282 3 m

¿ 7,550147912∗10−9 m 3 Nun kann der Fehler der Dichte des Feststoff analysiert werden.

u ρ(FS )=│

u ρ( FS) =│

1 V FS

∗u m │+│( 1

−m 1 ∗u ( FS ) )│ V 2FS V

1 0,066316 kg −9 ∗7,550147912∗10 m ∗0,000002kg │+│ −6 3 −6 3 2 6,004213173∗10 m ( 6,004213173∗10 m )

¿ 14,22179878

kg m3

Somit kann die Dichte des Feststoffs, ohne Berücksichtigung des Luftauftriebs, notiert werden.

ρFS =( 11044,91098 ±14,22179878 )

kg kg =( 11044 ± 14 ) 3 3 m m

Anschließend wird der Luftauftrieb berücksichtigt, wobei der Korrekturwert des Feststoffs ∆ ρ (FS) erschlossen wird. Die Temperaturabhängigkeit der Dichte wird jedoch vernachlässigt, sodass auf eine Fehlerrechnung verzichtet wird. Mit Hilfe des Korrekturwerts kann die Dichte des Feststoffs, unter Beachtung des Luftauftriebs, errechnet werden.

ρ L=1,2

06.01.2021

kg 3 m

→ Luftdichte

8

DICHTE

∆ ρ (FS)=

−ρ L∗m 3−m 2 m 1+ m 2− m 3

(6)

kg ∗ (0,105294− 0,044968 ) kg kg m3 ∆ ρ (FS)=−1,2 =−12,08534224 3 ( 0,066316 + 0,044968− 0,105294 ) kg m ¿

Dichte ρFS

mit Berücksichtigung des Luftauftriebs:

¿ ρFS =ρ FS+ ∆ ρ(FS )

(7)

ρ¿FS =11044,91098

(

)

kg kg kg + −12,08534224 3 =11032,82564 3 3 m m m

Somit: ¿ ρFS = ( 11032,82564 ± 14,22179878)

kg kg =( 11032 ± 14 ) 3 3 m m

Der Fehler ändert sich mit Berücksichtigung des Luftauftriebt nicht.

Mit Hilfe der errechneten Dichte des Festkörpers kann nun ausgesagt werden, dass es sich bei diesem um Blei handeln muss. Der errechnete Wert gleicht sich nahezu mit dem in Abb.1 dargestellten Wert.

Ohne Berücksichtigung des Luftauftriebs:

ρFS =( 11044 ± 14 )

kg kg ≈ 11340 3 3 m m

Mit Berücksichtigung des Luftauftriebs: ¿ ρFS = ( 11032 ± 14 )

06.01.2021

kg m

3

≈ 11340

kg m3 9

DICHTE

Abbildung 2: Dichte von Feststoffen

4. Formelverzeichnis Lineare Interpolation:

i x− x¿ y −y y ( x ) = y i+ i+ 1 i ∗¿ x i+ 1−xi

(1)

Fehlerbestimmung durch lineare Interpolation:

ur =usystematisch +u zufällig u y ( x)=

│ yi +1− y i │ ∗u r x i+1 − x i

(2) Aufstellung einer Bruchgleichung zur Analyse der Versuchsflüssigkeitsdichte unter Beachtung der Kalibrierung:

ρWasser ( Tabelle) ρVersuchsflüssigkeit(MohrscheWaage , Kal.) = ρVersuchsflüssigkeit ( MohrscheWaage ) ρWasser ( MohrscheWaage) ρVF (MW , Kalibrierung )=

Derivate von

a∗b c

ρVF ( MW )∗ρ W( Tab) ρW ( MW )

(3)

(Fehlerfortpflanzung):

( ) ∂ a∗b a = ∗u ∂b ( c ) c ∂ a∗b −a∗b = ∗u ∂c ( c ) c ∂ a∗b b = ∗u a ∂a c c b

2

c

Allgemeine Formel zur Volumenberechnung unter Berücksichtigung von Dichte und Masse:

06.01.2021

10

DICHTE

Volumen (V )=

Masse(m) Dichte(ρ)

a b

Derivate von

() ∂ a −a = ∗u ∂b ( b ) b

(4)

(Fehlerfortpflanzung):

∂ a 1 = ∗u ∂a b b a 2

b

Umstellen der Volumenformel nach der gesuchten Dichte:

Dichte ( ρ) =

Masse( m) Volumen(V )

a b

Derivate von

() ∂ a −a = ∗u ∂b ( b ) b

(5)

(Fehlerfortpflanzung):

∂ a 1 = ∗u ∂a b b a 2

b

Bruchgleichung zur Errechnung des Korrekturwertes ∆ ρ des Feststoffes unter Beachtung der Luftdichte ρ L und der verschiedenen Massenmessungen:

Masse ( m 1) =Eine gewisse Mengedes Feststoffs Masse ( m 2 )=randvoll mit destilliertemWasser gefülltes Pyknometer

Masse ( m 3 )=mit Wasser und Feststoff gefülltes Pyknometer , wobei beim Einfüllen des Feststoffes das verdrängteWasser überläuft

∆ ρ (FS)=

Dichte

−ρ L∗m 3−m 2 m 1 + m 2− m 3

ρ¿FS

unter Berücksichtigung des Luftauftriebs (Summenbildung aus Korrekturwert

∆ ρ (FS) und Dichte

06.01.2021

(6)

ρFS

ohne Beachtung des Luftauftriebs):

11

DICHTE ¿ ρFS =ρ FS+ ∆ ρ(FS )

(7)

5. Ergebniszusammenfassung 5.1 Dichtebestimmung von Flüssigkeiten

Argument

Wert

Fehler

Einheit

kg 3 m °C kg 3 m kg m3 kg 3 m

ρW (MohrscheWaage )

995

±1

TW ρW (Tabelle −T)

26,7 996,60

±1,1 ± 0,30

ρVF (Mohrsche Waage)

786

±1

ρVF (MW , Kalibrierung )

787,3

± 2,0

Tabelle 5: Messwertzusammenfassung zur Dichtebestimmung der Flüssigkeiten

ρW (MW) −Dichte destilliertesWasser nach Mohrscher Waage T W −Temperatur destilliertes Wasser ρW (Tab −T) −Dichte destilliertesWasser mit Abhängigkeit der Temperatur ρVF (MW )−DichteVersuchsflüssigkeit nach Mohrscher Waage ρVF (MW , Kal .)−Dichte Versuchsflüssigkeit unter Berücksichtigung der Kalibrierungmit destilliertemWasser 5.2 Dichtebestimmung eines Festkörpers

Argument

Wert

Fehler

T W −FS ρW (Tabelle −T)

22,6 997,63

±1,1 ± 0,26

ρFS

11044

±14

∆ ρ (FS)

−12,0853

¿

¿ ρFS

11032

±14

Einheit

°C kg m3 kg m3 kg m3 kg m3

Tabelle 6: Messwertzusammenfassung zur Dichtebestimmung des Festkörpers

T W −FS −Temperatur destilliertesWasser gleich Feststoffprobe ρW −Dichtedestilliertes Wasser mit Abhängigkeit der Temperatur 06.01.2021

12

DICHTE

ρFS −Dichte Feststoffprobe ohne Luftauftrieb ∆ ρ (FS)−Korrekturwert der Feststoffprobe ¿ ρFS −Dichte Feststoffprobe mit Luftauftrieb 6. Bewertung 6.1 Dichtebestimmung der Flüssigkeiten 6.1.1

Destilliertes Wasser Mit Hilfe der Temperaturmessung konnte ein exakter Dichtewert, unter Anwendung der linearen Interpolation, bestimmt werden. Dieser errechnete Wert hat eine absolute Abweichung von

1,597

kg m3

und eine relative

Abweichung von ca. 16% gegenüber dem ermittelten Dichtewert der Mohr’schen Waage. Somit ist festzustellen, dass die Mohr’sche Waage für flüchtige Abmessungen ein geeignetes Messmedium darstellt, obwohl der errechnete Wert außerhalb des angegeben Fehlerbereichs von

±1

kg m3

liegt. Gründe für

diese Abweichung sind vielfältig behaftet, wie zum Beispiel eine ungerade Messebene, fehlerhafte Nullsetzung (Kalibrierung), eine hastige und unpräzise Durchführung, unvollständiges Eintauchen der Probe, Über- oder Unterlastung der Waage, falsches Ablesen und vieles mehr. Bereits das verwendete Thermometer könnte fehlerbehaftet sein und zu falschen Ergebnissen bei ...