Protokoll - Drehbewegungen PDF

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Summary

Erklärung von Drehbewegungen mit Begriffen des Drehimpulses, des Drehmoments, des Trägheitsmoments und so weiter....

Description

Inhaltsverzeichnis

Teil 1: Drehimpuls

2

Teil 2: Zentripetalkraft

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Teil 3: Winkelbeschleunigung

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Vorbereitungsaufgaben

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Abbildungsverzeichnis

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Literaturverzeichnis

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1

Teil 1: Drehimpuls Versuchsaufbau und –durchführung Zur Themeneinheit Drehimpuls wird ein Versuch mithilfe eines Drehstuhls und zwei gleich schweren Massestücken durchgeführt. Eine Person setzt sich auf den Drehstuhl und hält in ihren Händen die Massestücke. Sie versetzt sich in Drehung und lässt die Arme ausgestreckt. Anschließend zieht sie die Arme an ihren Körper heran. Die Änderung des Zustandes der Drehgeschwindigkeit soll beobachtet werden und welche Auswirkung die Arme auf die Drehachse, die hier durch den menschlichen Körper dargestellt wird, haben. Anschließend sollen zwei weitere Beispiele aus dem Sportbereich genannt werden, wo sich der Drehimpuls auf ähnliche Art ändert. Bei diesem Versuch wurden ein Drehstuhl und zwei Massestücke von je 2kg genutzt. Die Person setzte sich auf den Stuhl und hielt die Massestücke in den Händen. Nachdem sie und der Drehstuhl von ihrem Praktikumspartner in Drehung versetzt wurden, zog sie die Arme an ihren Körper. Die Drehgeschwindigkeit erhöhte sich merklich. Dieser Versuch wurde mehrmals wiederholt und man erkannte schnell, dass sich die Geschwindigkeit in Abhängigkeit des Abstandes der Arme zur Drehachse änderte. Um dies zu verstehen muss man sich den Drehimpuls, der hier vorliegt, genau anschauen. In Abbildung 1 ist der Versuchsaufbau und teilweise auch die Versuchsdurchführung in einem Standbild festgehalten.

Abbildung 1 Auswertung Die Drehimpuls ist definiert als

L=J∗ω . Da der Versuch mit dem Drehstuhl ein

abgeschlossenes physikalisches System darstellt bleibt der Drehimpuls erhalten. Auch wenn sich im System die Parameter ändern, bleibt der Drehimpuls erhalten. Dies ist der Drehimpulserhaltungssatz. Auch wenn sich die Parameter ändern bleibt der Drehimpuls konstant. Aus einem kleineren Trägheitsmoment folgt demnach eine größere Winkelgeschwindigkeit. Diesen Drehimpulserhaltungssatz macht man sich hier zu Nutze. Er kann nur von außen wirkenden Kräften beeinflusst werden. Daraus ergibt sich folgender Zusammenhang1: 1

Vgl.: Höfling, Oskar: Physik. Formeln und Einheiten: Sekundarstufe II, 19. Erweiterte Auflage, Aulis Verlag: Hallbergmoos, 2014., S. 12.

2

2

L=J∗ω=m∗r ∗ω=m∗r∗v

Da im Versuch die Arme an den Körper herangezogen wurden, kommt dies einer Verkleinerung des Radius gleich. Somit wird jedoch das Trägheitsmoment J der beiden Massestücke kleiner. Da aber der Drehimpuls immer gleich bleibt, solange keine äußeren Kräfte wirken, muss nun ein anderer Faktor größer werden. In der Realität kommt oftmals die Reibungskraft von außen hinzu. Da die Masse sich nicht ändert, kann sich nur noch die Winkelgeschwindigkeit ω ändern. Diese ist definiert als

2π . Da der Zähler hierbei ein T

konstanter Wert ist, kann sich nur die Periodendauer T ändern. Die Winkelgeschwindigkeit muss sich vergrößern, um die Verkleinerung des Trägheitsmomentes zu kompensieren. Dies geschieht nur über eine Verkleinerung der Periodendauer, was wiederum die Winkelgeschwindigkeit anwachsen lässt. Somit ist die Erhaltung des Drehimpulses gegeben. Verringert sich das Trägheitsmoment, so erhöht sich die Periodendauer T. Diese beschreibt die Dauer eines Umlaufes im Kreis. Ist der Radius kleiner, so ist auch der zu umlaufende Umfang kleiner und somit wird auch die Periodendauer T kleiner. Für die Drehung im energetischen System sieht die Sache da etwas anders aus. Die Energieerhaltung gilt hier nicht ganz bei der Versuchsdurchführung. Da man die ausgestreckten Arme, welche mit Gewichten belastet ist, nach innen zieht, verrichtet man Arbeit. Man führt also die Kraft über einen gewissen Weg. In diesem Zusammenhang wäre die Kraft die Haltekraft für die Gewichte, welche von den Armen verrrichtet wird, und der Weg stellt den Abstand zum Mittelpunkt der Person dar, weil die Gewichte diesen Weg gezogen werden. Durch Verrichtung von Arbeit ändert sich die Gesamtenergie.

Die Nutzung des Drehimpulses im Sport Diesen Effekt nutzen vor allem die Eiskunstläufer beim Drehen während einer Pirouette. Durch das Heranziehen der Arme und der Beine wird das Trägheitsmoment geringer und die Winkelgeschwindigkeit nimmt zu. Das Prinzip der Erhaltung des Drehimpulses nutzten wir schon als kleine Kinder, wenn man auf einer Schaukel sitzt und sich um eine Drehachse dreht wird dasselbe Prinzip angewandt. Zwar wird man abgebremst und wieder in eine andere Richtung beschleunigt, aber dies hat mit der Gravitationskraft zu tun. Durch das Heranziehen der Beine wird der Impuls, der gegeben wird, in seinen Parametern verändert und die Geschwindigkeit nimmt zu. 3

Vertiefend möchte ich nun auf die Hangsprungtechnik beim Weitsprung eingehen. Wenn man sich mit dem Drehimpuls beschäftigt fällt einem oft zuerst die Pirouette beim Eiskunstlaufen ein. Diese habe ich bereits erwähnt und möchte dahingehend eine andere sportliche Anwendung untersuchen.

Abbildung 2 Bei diesem Sprung legen der Absprungswinkel und die Absprungsgeschwindigkeit den Bahnverlauf fest. Auf den Körperschwerpunkt hat der Springer keinen Einfluss mehr, wohl aber auf die einzelnen Körperteile und deren Schwerpunkte. Durch eine bestimmte Abfolge von Arm- und Beinbewegungen kann man größere Sprungweiten erreichen. Die Arme werden seitlich parallel nach oben gebracht, wo hingegen die Beine waagrecht nach hinten gestreckt werden. Die Drehmomente, die erzeugt werden, sind gegensätzlich und heben sich auf, somit ist das Drehmomentsystem des Springers im Gleichgewicht. Schaut man sich diese Bewegung an, so erkennt man, dass diese genau gegensätzlich sind und sie Ausgleichsbewegung zur anderen Bewegung sind. Durch das Anheben der Beine wird deren Schwerpunkt angehoben. Durch das Senken der Arme in der Sprungphase, das durch die Rotation der Arme bedingt ist, wird der Schwerpunkt der Arme nach unten gesenkt. Dieses Zusammenspiel von Heben und Senken der Arme und Beine hat zur Folge, dass sich die Flugbahn verlängert, da der Schwerpunkt der Beine um einige Zentimeter angehoben wird. Wichtig ist, dass der Gesamtkörperschwerpunkt nach dem Absprung nicht mehr beeinflussbar ist und bleibt. Zum Drehimpuls bleibt zu sagen, dass er eine vektorielle Größe ist. In Abbildung 3 wird das verdeutlicht. Er ist somit abhängig von der Richtung der aktuellen Geschwindigkeit (vektoriell blau dargestellt in Abbildung 3) und dem Radius der Kreisbahn. Der Vektor Drehimpuls steht immer senkrecht auf diesen Vektoren und bildet demnach das Kreuzprodukt der beiden Vektoren.

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Abbildung 3

Teil 2: Zentripetalkraft Versuchsaufbau und Durchführung Mithilfe einer rotierenden Scheibe sollen die Periodendauer in Abhängigkeit von der Masse gemessen werden. Die Periodendauer hängt von der Zentripetalkraft ab. Ist diese gleich der Reibungskraft, so bewegt sich eine Rotationsmasse entlang eines Stabes in Richtung der Außenkante des Gerätes. Dieser Moment ist dann der Zeitpunkt, ab dem die Zeitdauer von 20 Umdrehungen gemessen werden kann und somit als Periodendauer für 20 Umläufe notiert werden. Es werden sechs verschiedene Massen genutzt und jeweils der Versuch dann jeweils dreimal durchgeführt. Für den Versuch muss zuerst die Luftzufuhr an das Gebläse befestigt werden. Anschließend kann der Antrieb eingeschaltet werden. Hierbei ist zu beachten, dass nicht über die Spannung von 6 Volt hinaus gegangen wird, da sonst das Gerät dauerhafte Schäden davontragen könnte. Die Geschwindigkeit der Rotation kann über die Spannung geregelt werden. Das Gebläse ist immer als erstes einzuschalten, damit das Gerät nicht zerstört wird. Andersrum ist erst das Gerät auszuschalten und die rotierende Scheibe anzuhalten, bevor das Gebläse ausgeschaltet wird. Der Schwerpunkt der Rotationsmasse soll einen Abstand von 20 cm vom Drehmittelpunkt haben. Diese wird anhand der oberen Schiene mithilfe eines Lineals gemessen und eingestellt. Durch eine Umlenkrolle, dessen Ende genau über der Drehachse hängt, wird eine Masse angehängt, dessen Größe in den Versuchen variiert. Wenn dies alles eingestellt worden ist, wird die Spannung und somit die Rotation ganz langsam erhöht. Zuvor muss aber das Gebläse eingeschaltet sein. In dem Moment, indem sich die Rotationsmasse bewegt, sind Zentralkraft und die Zentripetalkraft gleich groß. In diesem Moment ist die Spannung des Gerätes konstant zu halten, was bedeutet, dass die Rotation gleich bleibt. Dann 5

wird die Zeit gemessen, die gebraucht wird, um 20 Umdrehungen zu absolvieren. Dieser Versuch soll mit anderen an der Drehachse befestigten Massen durchgeführt werden. Die Rotationsmasse bleibt in den Versuchen stets gleich. Anschließend werden die Messergebnisse in einem Diagramm festgehalten. Dazu sollen die X-Werte die Werte für T enthalten. Dabei ist zu beachten, dass T sich auf eine Umdrehung bezieht. Somit muss das Ergebnis durch 20 geteilt werden. Die X-Achse soll weiterhin 1/T² als Größe haben. Somit erstellt man eine Tabelle, die durch die gemessenen Werten dem entsprechen. Auf der Y-Achse sollen die Belastungsmassen aufgetragen werden. Die daraus hervorgehende Gerade soll diskutiert werden. Aus der Steigung der Geraden soll die Rotationsmasse ermittelt werden und mit der realen Masse verglichen werden. Desweiteren soll die Beziehung zwischen der Rotationsmasse und 1/T² erstellt und ausführlich erklärt werden. Falls die Ausgleichsgerade nicht durch den Ursprung gehen sollte, soll dieser Sachverhalt erklärt werden. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 4 dargestellt.

Abbildung 4 Bei unserem Versuch wurde alles wie beschrieben durchgeführt. Als Belastungsmassen nahmen wir die in der Versuchsanleitung vorgegebenen Massen von 10g, 20g, 30g, 40g, 60g und 80g. Für jede Belastungsmasse haben wir den Versuch dreimal wiederholt und somit verschiedene Werte erhalten, deren Mittelwert und Standardabweichung wir bestimmt haben. Desweiteren haben wir eine graphische Auswertung vorgenommen. Belastungsmasse in Gramm T1 10 20 30 40 60 80

Zeit für 20 Umläufe T2 31,16 27,1 23,83 21,41 18,21 16,38

in Sekunden T3 31,34 27,57 24,31 21,62 17,81 16,64

31,41 26,75 23,59 21,93 18,34 15,71

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Für die Versuchsreihen haben wir folgende Werte erhalten: Zu diesen Werten wurde jeweils die Periodendauer für einen Umlauf errechnet: T gemmessen 31,16 s =1,56 s = 20 20

Daraus ergaben sich folgende Messwerte: Der Mittelwert ergibt sich jeweils aus der Aufsummierung der einzelnen Messergebnisse geteilt durch die Anzahl der Ergebnisse. Als Beispiel dafür dient der Mittelwert des ersten Versuches mit T für 20 Umdrehungen: Xarith =

31,16 s+31,34 s+31,41 s =31,3 s 3

Die Mittelwerte wurden für beide Periodendauern ausgerechnet Für die Periodendauer T für 20 Umdrehungen ergeben sich nach der Tabelle folgende Mittelwerte: Mittelwerte für die Zeit pro 20 Umläufe BelastungsT gemittelt in Sekunden masse 31,3 10g 27,14 20g 23,91 30g 21,65 40g 18,12 60g 16,24 80g

Für die Periodendauer T für eine Umdrehung liegen die Mittelwerte wie in der folgenden Tabelle angegeben. Mittelwerte für die Zeit pro 1 Umlauf BelastungsT gemittelt in Sekunden masse 1,57 10g 1,36 20g 1,2 30g 1,08 40g 0,91 60g 0,81 80g

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Die Standardabweichungen lassen sich in der folgenden Tabelle herauslesen. Standardabweichung in Sek. 20T gemittelt in Sekunden 0,11 31,3 0,34 27,14 0,3 23,91 0,21 21,65 0,23 18,12 0,39 16,24

Daraus ergibt sich die Standardabweichung pro Periodendauer im Mittel. Standardabweichung in Sek. T gemittelt in Sekunden 0,01 1,57 0,02 1,36 0,01 1,2 0,01 1,08 0,01 0,91 0,02 0,81

Um eine graphische Auswertung vornehmen zu können, werden die gemittelten Periodendauern für einen Umlauf genutzt. Diese werden dem entsprechen umgeformt, sodass 1/T² herauskommt. Diese werden den dazugehörigen Gewichten der Messreihe gegenüber gestellt. Dies ergibt dann die folgenden Werte. 1 1 ∈ 2 T2 s 0,41 0,54 0,7 0,85 1,22 1,52

m in Gramm 10 20 30 40 60 80

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Daraus lässt sich eine Gerade erstellen.

Graphische Auswertung 90

f(x) = 61,82x - 13,98 R² = 1

80

Belas tungsm as s e in Gram m

70 60 50 40 30 20 10 0 -0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

-10 -20

1/T² in1/ s ²

Nun sollen noch einige Worte zu den Fehlern gesagt werden bei diesem Versuch. Die Abweichung zum realen Wert ist bedingt durch die Messungenauigkeit der Laboranten. Trotz genauen Hinsehens wird es beim Stoppen der Uhr zu Verzögerungen gekommen sein, bzw. zu verfrühten Stoppen der Uhr. Die Werte sind alle mit einem Standardfehler behaftet und werden nie genau das ergeben, was rechnerisch eigentlich der Fall sein sollte. Die Stoppuhr hat eine Genauigkeit von einer Zehntel Sekunde, doch liegt die Reaktionszeit des Menschen, je nach Verfassung bei 0,5 bis 1 Sekunde. Das bedeutet, dass das Auslösen der Stoppuhr um diese Zeit verzögert sein kann. Zudem kann falsches Beobachten einen weiteren Fehler verursachen (Parallaxe). Diese Fehler addieren sich dann zu einem Gesamtfehler, was die Ergebnisse um ein bestimmtes Maß verfälscht.

Teil 3: Winkelbeschleunigung 9

Versuchsaufbau und –durchführung Bei diesem Versuch soll mithilfe von einem großen Kreisel, einer Stoppuhr, eines Stück Papiers und einem Stativ die Winkelbeschleunigung α ermittelt werden. Hierzu wird ein Stück Papier, was mehrfach gefaltet ist, an ein Stativ befestigt. Dieses Papier soll mit geringem Druck auf den Kreisel wirken. Der Kreisel soll aber vorher in eine moderate Drehung versetzt werden und die Dauer von zehn vollen Umläufen soll gemessen werden. Daraus soll die Anfangswinkelgeschwindigkeit ermittelt werden. Anschließend soll der Druck des Papiers auf den Kreisel eine Verzögerung bewirken. Ab dem Zeitpunkt, wo das Papier den Kreisel berührt, soll die Zeit und die Anzahl der Umläufe gemessen werden die zum stoppen des Kreisels benötigt werden. Aus den zurückgelegten Umläufen und dem Teilumlauf soll der überstrichende Winkel φ ermittelt werden. Das Gerät und die Versuchsanordnung sind in Abbildung 5 zu sehen.

Abbildung 5 Anzumerken bleibt jedoch die Schwierigkeiten beim Drehen des Kreisels. Es existieren sehr viele Fehlerquellen bei dem Versuch. Man darf nicht zu wenig Schwung nehmen. Der Kreisel dreht sich nicht nur sehr langsam. Er stoppt auch nach nur wenigen Umdrehungen, wenn man das Abbremspapier dranhält. Um noch ein Gegenbeispiel zu bringen, wenn man den Kreisel zu schnell dreht, kommt man nicht mit dem Zählen hinterher und es dauert eine Ewigkeit bis er trotz Abbremspapier zum Stehen kommt und wenn man noch mehr Kraft gebraucht, kann es passieren, dass der Kreisel umkippt.

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Versuchsergebnisse Zuerst sollen die technischen Daten zum Kreisel angegeben werden. In der folgenden Aufzählung kann man sie genau ablesen. Technische Daten zum großen Kreisel2: - Trägheitsmoment: ca. 0,111 kgm ² - Durchmesser: 50 cm - Länge der Lagerstäbe: je 25 cm - Länge des größeren Stabes: 50 cm - Stabdurchmesser: 12 mm

In unserem Versuch erbrachte die Zeit für 10 Umläufe t = 10,32 s. Die Zeit für einen Umlauf liegt bei t = 1,032s. Die Dauer des Abbremsvorganges lag bei 26,1s. Die Anzahl der Umläufe lag bei n = 17,5. Errechnung der Winkelgeschwindigkeit: Die Winkelbeschleunigung für die zehn Runden errechnet man mit ω =

2π T

= 6,1

1 s

Hierbei hat man die Gleichung bereits gekürzt. Eigentlich hätte man die gesamte Periodendauer nehmen müssen (t = 10,32s) und den überstrichenen Winkel von

20 π , da

dies gemäß der Definition genauer wäre (Man teilt den überstrichenen Winkel in der dafür benötigten Zeit). Da man aber so oder so auf dasselbe Ergebnis kommt, kann man dies auch herunterkürzen auf die oben angegebene Rechnung. Nun soll die Winkelbeschleunigung errechnet werden. Bei den translatorischen Bewegungen ist die Beschleunigung der Quotient von

∆v . ∆t

Genau genommen ist die Beschleunigung der Wert, der die Veränderung der Geschwindigkeit in der dafür benötigten Zeit angibt. Dabei kann das Vorzeichen der Veränderung der Geschwindigkeit negativ oder positiv sein. Ist das Vorzeichen negativ, so gibt es auch eine negative Beschleunigung. Diese steht dann für einen Abbremsvorgang. Diesen haben wir hier auch. Bei den Rotationsbewegungen ist die Winkelbeschleunigung ähnlich definiert. Hier ist sie der Quotient aus der Veränderung der Winkelgeschwindgkeit in der dafür benötigten Zeit. Die 2

http://www.leybold-didactic.de/phk/a.asp?a=34818&L=1, zuletzt eingesehen am 28.06.2015.

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Winkelgeschwindigkeit betrug nach zehn Umläufen genau ω = 6,1

1 . Nun soll das Blatt s

Papier so lange abbremsen bis der Kreisel sich nicht mehr bewegt. Das entspricht einer Winkelgeschwindgkeit von ω = 0

Winkelgeschwindkeit

1 . Damit wäre die Veränderung der s

∆ ω = - 6,1

1 . Die dafür benötigte Zeit ist bereits angegeben. Sie s

betrug 26,1s.

Somit ergibt sich eine Winkelbeschleunigung von α =

1 s 26,1 s

−6,1

= - 0,24

1 . 2 s

Kraftwirkung am Kreisel: Das Papier wirkt mit einer bestimmten Kraft F auf den Kreisel. Um diese zu berechnen zu können, benötigt man einige Angaben zum Kreisel. Diese haben wir bereits oben erwähnt. Da bekannt ist, dass sich das Drehmoment aus dem Trägheitsmoment und der Winkelbeschleunigung bilden lässt, erhält man das Drehmoment, was aber auch durch eine Kraft F *r gebildet werden kann. Es gelten folgende Formeln: M=J*α M=F*r Daraus folgt, dass die Kraft auch durch das Drehmoment dargestellt werden kann. F=

M r

Für das Drehmoment ergibt sich: M = 0,111kgm2 * 0,24

1 s2

= 0,027 Nm

Daraus kann man die Kraft berechnen mit der oben angegebenen Formel: F=

0,027 Nm = 0,11N. 0,25 m

Als Anmerkung sollte vermerkt werden, dass die Winkelbeschleunigung in dem Fall als Betrag benutzt wurde. Kreisbewegung Umlaufzeit T

Translatorische Bewegung Zeit t 12

Winkelgeschwindigkeit ω Winkelbeschleunigung α Drehmoment M Drehimpuls L

Geschwindigkeit v Beschleunigung a Kraft F Impuls p

Vorbereitungsaufgaben Zur Vorbereitung des Versuches sollten vorab die physikalischen Größen dargestellt werden. Dies erfolgte in den Grundlagen. Als kurze Zusammenfassung werden noch einmal die Formeln dargestellt:

Winkelgeschwindigkeit:

ω=

2π T

Winkelbeschleunigung:

α=

∆ω t

Drehimpuls:

L=m*r*v

Drehmoment

M=F*r

Trägheitsmoment:

J=

Zentripetalkraft:

FZentri = m * r * ω2

M α

Es solle bei einer Aufgabe die Winkelgeschwindigkeit, der Drehimpuls und das Trägheitsmoment errechnet werden. Geg.: m= 2kg; T=4s; r=4m Winkelgeschwindigkeit: ω=

2π T

= 1,57

1 s

Drehimpuls: L = J * ω = m * r2 * ω = 50,24

kgm2 s 13

Trägheitsmoment: J = m * r2 = 32 kgm2 Zentripetalkraft: FZentri = m * r * ω2 = 19,72

kgm s2

Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: privat Abbildung 2: http://www.borg-eisenerz.asn-graz.ac.at/sportkunde/weitser6a.gif, zuletzt eingesehen am 28.06.2015. Abbildung 3: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Angular_momentum_as_pseud o-vector.png/380px-Angular_momentum_as_pseudo-vector.png, zuletzt eingesehen am 28.06.2015. Abb...