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Laborpraktikum Physikalische Grundlagen

Anleitung zum Laborversuch Dichte Stand 01.2020

1. Aufgabenstellung 1. Kalibrierung der Mohrschen Waage mit destilliertem Wasser 2. Bestimmung der Dichte einer Versuchsflüssigkeit mit der Mohrschen Waage und dem Aräometer 3. Bestimmung der Dichte eines Feststoffes mit dem Pyknometer

2. Grundlagen 2.1. Dichte Die Dichte  (sprich rho) ist definiert als Quotient aus der Masse m und dem dazugehörigen Volumen V : m = V

(1)

Die Größe  wird gelegentlich auch Massendichte genannt, um sie von Größen wie beispielsweise der Ladungsdichte oder der Energiedichte abzugrenzen. Die SI-Grundeinheit der Dichte ist kg/m3 . Häufig wird Dichte aber auch in den Einheiten g/cm3 oder kg/dm3 angegeben, wobei der Umrechnungsfaktor zwischen diesen Einheiten 1 bzw. 1 000 ist: g kg kg = 1 000 3 = (2) 3 3 cm m dm Die Dichte kann für Feststoffe, Flüssigkeiten und Gase angegeben werden. Die Größe der Dichte wird durch das Material/den Stoff bestimmt. Der Wert hängt aber auch von der Temperatur und bei Gasen zusätzlich auch vom Druck ab. Die Dichte ist unabhängig von der Form und von der Menge des Materials. Zur Orientierung sind in Tabelle 1 einige Werte gegeben. Man beachte den erheblichen Größenunterschied der Zahlenwerte für Gase: der Wert für Gase ist etwa 1000 mal kleiner als die Werte für Flüssigkeiten und Feststoffe.

Die messtechnische Ermittlung der Dichte erfordert im Allgemeinen zwei Messungen: Messung der Masse und des Volumens. Dabei kann zur Vereinfachung mit definiertem Messvolumen oder definierter Masse gearbeitet werden. Bei der Untersuchung von unregelmäßig geformten Festkörpern kann die direkte Bestimmung des Volumens schwierig sein. Stattdessen kann das Volumen des Festkörpers indirekt durch das Messen von verdrängten Flüssigkeitsvolumina bestimmt werden. Diese Methode wird beispielsweise beim Pyknometer genutzt, das in Abschnitt 3.3 näher erläutert wird. Alternativ kann die Dichte auch über die Auftriebskraft bestimmt werden, deren theoretische Grundlagen im nächsten Abschnitt kurz erläutert werden. Für die Bestimmung der Dichte von Flüssigkeiten mit Hilfe des Auftriebsprinzips gibt es spezielle Messapparaturen, die das Ergebnis in einem Arbeitsgang liefern. Beispiele dafür sind das Aräometer oder die Mohrsche Waage, deren Funktionsweise in den Abschnitten 3.1 und 3.2 beschrieben werden.

Labor Physikalische Grundlagen, Dichte

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Tab. 1: Dichte für einige Festkörper, Flüssigkeiten und Gase [1] Festkörper

Gase bei Normaldruck und 0◦ C

Flüssigkeiten bei 20◦ C kg m3

Plexiglas

1,2

Wasser

0,9982

Wasserstoff

kg m3 0,08989

PVC

1,38

Alkohol

0,789

Helium

0,1785

Glas

2,2 – 2,6

Glycerin

1,261

Luft

1,2923

Kohlendioxid

1,9769

Dichte in 103

Stoff

Aluminium

2,702

Zinn

Dichte in 103

Stoff

Maschinenöl

kg m3

0,85 – 0,93

Stoff

Dichte in

7,2

Stahl

7,3 – 8,1

Messing

8,1 – 8,6

Kupfer

8,933

Silber

10,5

Blei

11,34

2.2. Der Auftrieb (archimedisches Prinzip) Beim Eintauchen in eine Flüssigkeit erfährt jeder Körper eine nach oben gerichtete Auftriebskraft, die betragsmäßig gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit ist. Verursacht wird diese Auftriebskraft durch F1

h hk

FK

die Zunahme des Drucks mit zunehmender Flüssigkeitstiefe.

h  hk



Der Druck p in einer (nicht-kompressiblen) Flüssigkeit1 nimmt durch die Gewichtskraft der darüberliegenden Flüssigkeit entsprechend der Formel p(h) =  · g · h

FP

(3)

nach unten hin zu [2]. Hierbei ist h die Höhe der darüberliegenden FlüsAbb. 1: Kräfte

auf

einen

zy-

linderförmigen Körper in einer Flüssigkeit

sigkeitsschicht, d.h. die Flüssigkeitstiefe (bis zur Flüssigkeitsoberfläche),  die Dichte der Flüssigkeit und g die Erdbeschleunigung. Wird beispielsweise ein zylinderförmiger Körper mit der Höhe hK der Grundfläche A und der Dichte K wie in Abbildung 1 dargestellt in eine

Flüssigkeit mit der Dichte F eingetaucht, dann wirken von allen Seiten Kräfte entsprechend der Formel F =p·A auf diesen Körper, wobei F die Normalkraft senkrecht zur Oberfläche des Körpers ist, p der Druck und A die Fläche. Alle seitlich auf den Körper wirkenden Kräfte haben jeweils eine entsprechende entgegengerichtete gleich große Kraft auf der gegenüberliegenden Seite, so dass sich alle seitlich auf den Körper wirkenden Kräfte gegenseitig wieder aufheben. Die Kräfte auf die Ober- und Unterseite dagegen sind aufgrund des sich ändernden Flüssigkeitsdrucks unterschiedlich. Wenn sich die obere Fläche des Körpers in der Tiefe h befindet, sitzt die untere Fläche in der Höhe h + hK . Von oben wirkt demnach die Kraft F (h) = p(h) · A = F · g · h · A und von unten die Kraft F (h + hK ) = p(h + hK ) · A = F · g · (h + hK ) · A 1 Die

meisten Flüssigkeiten sind nahezu inkompressibel, d.h. sie lassen sich nicht komprimieren. Das wiederum bedeutet, dass sie ihr Volumen unter Druckeinwirkung nicht ändern und dass damit auch ihre Dichte nahezu unabhängig vom Druck ist.

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Die Auftriebskraft FA errechnet sich betragsmäßig als die Differenz dieser beiden Kräfte (bzw. als die vektorielle Summe): FA = F (h + hK ) − F (h) = F · g · (h − (h − hK )) · A = F · g · hK · A = F · g · VK

(4)

Dies entspricht (wie zu Beginn des Abschnitte geschrieben) einer nach oben gerichteten Auftriebskraft, die betragsmäßig gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit ist. Je nach Größe der Auftriebskraft FA im Verhältnis zur Gewichtskraft Fg des Körpers bzw. je nach Verhältnis der Dichten der umgebenden Flüssigkeit F und des Körpers K können drei Möglichkeiten unterschieden werden: 1.

FA > Fg ⇐⇒ K < F

Der Körper schwimmt an der Oberfläche der Flüssigkeit, d.h. er taucht nur soweit in die Flüssigkeit ein, bis die Masse des vom eingetauchte Teil des Körpers verdrängten Wassers der Masse des gesamten Körpers entspricht. Wenn der Körper untergetaucht wurde, steigt er wieder zur Oberfläche auf.

2.

FA = Fg ⇐⇒ K = F

Der Körper schwebt in der Flüssigkeit.

3.

FA < Fg ⇐⇒  K >  F

Der Körper sinkt in der Flüssigkeit nach unten.

2.2.1. Der Auftrieb in Luft Jeder Körper erfährt nicht nur in Flüssigkeiten sondern auch in Gasen eine Auftriebskraft. Dabei sind die Erklärungen und auch die Formeln für den Auftrieb in Gasen dieselben wie für den Auftrieb in Flüssigkeiten. In vielen Büchern wird daher von Fluiden gesprochen, ein Begriff der Flüssigkeiten und Gase umfasst. Da die Dichte von Gasen etwa um den Faktor 1000 kleiner ist als die Dichte von Flüssigkeiten, ist der Auftrieb in Gasen um diesen Faktor kleiner als der Auftrieb in Flüssigkeiten. Daher fällt der Auftrieb in Luft im Alltag nicht ins Gewicht - es sei denn bei Körpern mit einer Dichte in der gleichen Größenordnung wie Luft, wie beispielsweise bei Heliumballons. Allerdings verfälscht der Auftrieb die Messung von Massen, wenn die Masse indirekt über die Gewichtskraft gemessen wird. Die Massenbestimmung erfolgt in den meisten Fällen durch Wägung. Dabei ist der zu wägende Stoff immer von Luft umgeben. Somit wirkt auch immer der Auftrieb der umgebenden Luft, der bewirkt, dass die tatsächliche Masse m∗K eines Körpers etwas größer als das angezeigte Messergebnis mK ist: ∗ ·g − ·V ·g Fg = mK · g = mK L K

Dabei ist Fg die gemessene Gewichtskraft, g die Erdbeschleunigung, L die Dichte der Luft und VK das Volumen des Körpers. Kürzen durch g und Umstellen liefert für die tatsächliche Masse: m∗K = mK + L · VK

(5)

Die Dichte der Luft ist wie bereits erwähnt in der Regel einige tausendmal geringer als die Dichte des zu untersuchenden Stoffes, daher wird der Einfluss des Luftauftriebs oft vernachlässigt. Für Präzisionsmessungen muss der Auftrieb in der Luft jedoch berücksichtigt werden.

2.3. Die Temperaturabhängigkeit der Dichte Die Dichte hängt in erster Linie vom Stoff und dessen Aggregatzustand ab. Zusätzlich zeigt die Dichte auch eine leichte Temperaturabhängigkeit. Im Allgemeinen dehnen sich Stoffe mit steigender Temperatur aus, wodurch ihre Dichte sinkt. Die Dichte von Wasser zeigt jedoch bei Temperaturen um 4◦ C eine sogenannte Dichteanomalie, was jedoch nicht wesentlich für die Durchführung dieses Versuches ist und daher hier nicht weiter thematisiert wird [2]. In den Tabellen 2 und 3 sind Werte für die Dichte von Wasser bzw. Luft als Funktion der Temperatur im Temperaturbereich von 15◦ C bis 35◦ C angegeben.

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Tab. 2: Dichte  W von destilliertem Wasser

Tab. 3: Dichte  L von trockener Luft bei Normal-

in Abhängigkeit der Temperatur T [1]

druck in Abhängigkeit der Temperatur T [1]

T in ◦ C

 W in kg/m3

T in ◦ C

 L in kg/m3

15

999.101

16

1.221

16

998.944

18

1.212

17

998.776

20

1.204

18

998.597

22

1.196

19

998.407

24

1.188

20

998.206

26

1.180

21

997.994

28

1.172

22

997.772

30

1.164

23

997.540

32

1.157

24

997.299

34

1.151

25 26

997.047 996.786

27

996.516

28

996.236

29

995.948

30

995.650

31

995.344

32

995.030

33

994.705

34

994.373

Destilliertes Wasser wird häufig als Vergleichsflüssigkeit für Dichtemessungen genutzt. Bei hohen Forderungen an die Genauigkeit muss die Temperaturabhängigkeit mitberücksichtigt werden. Daher ist es notwendig, die Temperatur zu registrieren, bei der die Messung erfolgt. Oft soll die Dichte auch um den Luftauftrieb korrigiert werden. Für sehr große Genauigkeitsforderungen muss dabei auch die Temperaturabhängigkeit der Luftdichte berücksichtigt werden. Bei so hohen Genauigkeitsansprüchen muss dann aber darüberhinaus auch die Luftfeuchtigkeit beachtet werden, die die Dichte ebenfalls verändert. Bei der in unserem Labor erreichbaren Messgenauigkeit reicht es jedoch aus, die Luftdichte mit zwei signifikanten Stellen zu berücksichtigen, also L = 1, 2 kg/m3 .

3. Die Messprinzipien und Messgeräte Im Folgenden werden drei Messprinzipien und die dazugehörigen Messgeräte vorgestellt, die Mohrsche Waage und das Aräometer zur Messung der Dichte von Flüssigkeiten und das Pyknometer zur Bestimmung der Dichte von Festkörpern.

3.1. Die Mohrsche Waage Die Mohrsche Waage ist ein Messgerät zur Bestimmung der Dichte von Flüssigkeiten. Sie ist nach ihrem Erfinder benannt, Karl Friedrich Mohr, einem deutschen Naturwissenschaftler aus dem 19. Jahrhundert. Eine Mohrsche Waage ist eine ungleicharmige Hebelwaage (s. Abb. 2), an der die Dichte der Flüssigkeit direkt abgelesen werden kann. An einem der Hebelarme hängt ein Probekörper (P), am anderen Hebelarm ein Gegengewicht (G). Auf der Seite des Probekörpers befindet sich eine Skala mit Kerben, die vom Zahlenwert 1 bis 9 geht (s. Abb. 3).

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Abb. 2: Aufbau einer Mohrschen Waage

Abb. 3: Skala der Mohrschen Waage

Ohne Flüssigkeit befindet sich die Waage im Gleichgewicht. Wird der Probekörper in eine Flüssigkeit getaucht, so erfährt er eine Auftriebskraft und die Waage kippt auf die Seite des Gegengewichts. Um die Auftriebskraft zu kompensieren, werden auf der Seite mit dem Probekörper Massestücke (Reiter) in die Kerben eingehängt, bis die Waage wieder ins Gleichgewicht kommt. Die verwendeten Reiter haben eine dekadische Abstufung, d.h. die Massen der Reiter verhalten sich wie 1:10:100. Die Dichte wird abgelesen, indem man vom schwersten zum leichtesten Reiter die Ziffer der jeweiligen Kerbe abliest und an die 3., 2. und 1. Vorkommastelle setzt. Die Einheit ist dann kg/m3 . Setzt man alternativ die drei Ziffern an die 1., 2. und 3. Nachkommastelle, so ist die Einheit kg/dm3 oder g/cm3 . In dem in Abb. 3 gezeigten Beispiel beträgt die Dichte also:  = 725 kg/m3 = 0, 725 kg/dm3 = 0, 725 g/cm3 .

3.2. Das Aräometer Das Aräometer, auch Senkspindel genannt, ist ein Messgerät zur Bestimmung der Dichte von Flüssigkeiten. Das Messprinzip des Aräometers beruht ebenfalls auf dem Archimedischen Auftriebsprinzip. Ein Aräometer besteht aus einem länglichen Glashohlkörper, der an seinem unteren Ende mit Bleischrot beschwert ist. Der obere Teil hat die Form eines Hohlzylinders mit konstantem Querschnitt (s. Abb. 4). An diesem Hohlzylinder ist eine Skala angebracht, auf der die Dichte direkt abgelesen werden kann. Wird das Aräometer in eine Flüssigkeit getaucht, so wird es Abb. 4: Aräometer in verschiedenen Flüssig-

so tief einsinken, bis die Masse der verdrängten Flüssigkeit

keiten

die Masse der Senkspindel kompensiert. Die Eintauchtiefe ist daher ein direktes Maß für die Dichte der Flüssigkeit. Je

tiefer die Senkspindel einsinkt, um so geringer ist die Dichte der Flüssigkeit. Die Oberflächenspannung von Flüssigkeiten führt dazu, dass die Flüssigkeitsoberfläche am Rand etwas gebogen ist. Dieser Effekt beschränkt die Messgenauigkeit von Aräometern. Durch Variation der Bleibeschwerung können die Aräometer an verschiedene Messbereiche angepasst werden. Handelsüblich sind Geräte für Dichten im Bereich von 0,5 bis 2,9 kg/dm3 .

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3.3. Das Pyknometer Ein Pyknometer ist ein Messgerät zur Bestimmung der Dichte durch Wägungen. Wie zu Beginn beschrieben, kann die Dichte eines Körper bestimmt werden, indem sein Volumen und seine Masse gemessen werden. Die Messung der Masse stellt in der Regel kein Problem dar, bei unregelmäßig geformten Körpern kann aber die Bestimmung des Volumens sehr schwierig sein. Bei einem Pyknometer wird im Prinzip die Messung des Volumens eines Feststoffes auf die Messung der Masse des vom Feststoff verdrängten Wassers zurückgeführt. Dazu dient ein meist birnenförmiges Glasgefäß, dessen Füllvolumen VP äußerst genau

Abb. 5: Pyknometer

reproduziert werden kann (s. Abb. 5). Die Bestimmung der Dichte FS eines Feststoffs mit einem Pyknometer erfolgt im Allgemeinen mit destilliertem Wasser und besteht aus drei Wägungen: 1.

Masse m1 einer gewisse Menge des Feststoffes (trocken)

2.

Masse m2 des randvoll mit destilliertem Wasser gefüllten Pyknometers

3.

Masse m3 des mit Wasser und Feststoff gefüllten Pyknometers, wobei beim Einfüllen des Feststoffes das verdrängte Wasser überläuft.

Zieht man von der Summe der ersten beiden Massen m1 und m2 die Masse des mit Wasser und Feststoff gefüllten Pyknometers m3 ab, so erhält man genau die Masse des verdrängten Wassers: mW = m1 + m2 − m3 Die Masse des verdrängten Wassers ist wiederum gleich der Dichte des Wassers mal das Volumen das verdrängten Wassers. Und dieses Volumen ist gleich dem gesuchten Volumen das Feststoffs. Also gilt für das Volumen des Feststoffs: VFS = VW =

mW m1 + m2 − m3 = W W

(6)

Die Dichte des Feststoffs berechnet sich als Quotient von Masse m1 des Feststoffs und dem dazugehörigen und Volumen VFS : FS =

m1 VFS

⇒

FS = W ·

m1 m1 + m2 − m3

(7)

Mit dieser Formel lässt sich aus der Dichte des destillierten Wassers und den drei Massen sofort die Dichte des Feststoffes berechnen. Bei dieser Herleitung der Dichte FS wurde der von der Luft verursachte Auftrieb nicht mit berücksichtigt. Da der Einfluss des Luftauftriebs auf den Wert der Dichte klein ist, kann die Berücksichtigung des Luftauftriebs mit Hilfe eines Korrekturglieds ∆FS erfolgen (Herleitung s. Anhang A.2): ∗ = FS + ∆FS FS

(8)

mit ∆FS = −L ·

m3 − m2 m1 + m2 − m3

(9)

Dabei ist ∗FS die Dichte unter Berücksichtigung des Luftauftriebs. Das negative Vorzeichen des Korrekturglieds ∆FS bedeutet, dass die wahre Dichte ∗FS etwas kleiner ist als die Dichte FS , die ohne Berücksichtigung des Luftauftriebs bestimmt wurde.

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4. Versuchsdurchführung Allgemeine Anmerkungen zur Versuchsdurchführung: • Allgemeine Hinweise: Einige Flüssigkeiten enthalten ungenießbare Chemikalien; vermeiden Sie den Kontakt

zum Mundbereich und zu den Augen! Bitte waschen Sie sich nach dem Versuch die Hände! Die für den Versuch bereitstehenden Flüssigkeiten dürfen nicht verunreinigt werden, auch anhaftende Reste an den Geräten (Standzylinder, Thermometer, Proben usw.) führen zu Verunreinigungen. Beachten Sie unbedingt die folgenden Arbeitsvorschriften und melden Sie versehentlich begangene Fehler! • Für das destillierte Wasser steht ein gekennzeichneter Standzylinder zur Verfügung, der nur für Messungen

mit destilliertem Wasser verwendet wird. Für Umfüllvorgänge des destillierten Wassers ist der Glastrichter zu verwenden. Beide Geräte nach Gebrauch nicht ausspülen! (sauberer kann es nicht werden) • Für die Probenflüssigkeit stehen zwei ebenfalls gekennzeichnete Standzylinder mit unterschiedlichen Höhen

zur Verfügung. Die Probenflüssigkeiten sind unterschiedlich eingefärbt. Bitte achten Sie darauf, dass sie sortenrein in die Vorratsflaschen zurück gefüllt werden. Für Umfüllvorgänge der Probeflüssigkeit ist der Plastiktrichter zu verwenden. Die verwendeten Gefäße und der Trichter werden nach Gebrauch nicht abgespült. • Nur die folgenden Geräte werden unter fließendem Wasser gespült und mit Zellstoff trocken gerieben: Pro-

benkörper der Mohrschen Waage und das Aräometer. • Der Feststoff für die Messung mit dem Pyknometer wird vom Laborpersonal in einer Vorratsbüchse aus-

gehändigt. Die Dichtemessung erfolgt mit destilliertem Wasser, welches nach Gebrauch fortgeschüttet wird. Für die Rückgewinnung des Feststoffes ist ein Sieb vorhanden. Der Feststoff verbleibt zum Abtropfen im Sieb, dieses wird von unten mit Zellstoff abgetupft. Der Feststoff mit Restfeuchte wird in die Vorratsbüchse zurückgefüllt und dem Laborpersonal zum Trocknen übergeben. • Notieren Sie sich die Nummer, die auf der Vorratsbüchse der Feststoffprobe steht! • Sämtliche Messergebnisse, Ablesefehler, usw. sollen natürlich nicht nur abgelesen sondern auch notiert werden.

Hinweise zur Benutzung der Mohrschen Waage: • Stellen Sie die Mohrsche Waage so auf den Arbeitstisch, dass sie bequem bedient und abgelesen werden kann.

An dieser Stelle sollte die Waage während aller Messungen möglichst verbleiben (der Tisch kann Unebenheiten aufweisen). • Überzeugen Sie sich, dass der zugehörige Probekörper völlig trocken ist, und...