Przypomnienie el PDF

Preview

Summary

Download Przypomnienie el PDF

Description

Co należy pamiętać przed kolejnym wykładem: 1. Prawo Gaussa:

Strumień pola elektrycznego przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy całkowitemu ładunkowi zgromadzonemu wewnątrz tej powierzchni podzielonemu przez przenikalność dielektryczną ośrodka.

∯ E d A= Qε S

 E to wektor natężenia pola elektrycznego, dA to jest element powierzchni S, a ε to przenikalność dielektryczną ośrodka, Q całkowity ładunek wewnątrz (na zewnątrz może również być ładunek, ale on nie wchodzi do prawa Gaussa).

hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/gaulaw.html

Trzeba przy tym pamiętać jak wygląda definicja strumienia ϕE: N

N

N

 i =∯  E d A Φ E =lim ∑ Ei Δ A i cos θ=lim ∑ Ei ni Δ A i =lim ∑ Ei Δ A N →∞

i

N →∞

i

N→∞

i

S

gdzie ni to wektor normalny do elementu powierzchni Δ A i . O prawie Gaussa można myśleć, że jest to alternatywne sformułowanie w stosunku do prawa Coulomba. Równoważność tą można zobaczyć na następującym przykładzie: rozważmy sferę o promieniu r otaczającą ładunek q>0 umieszczony w jej środku. Przyjmijmy, że przenikalność dielektryczna ośrodka w którym to wszystko rozpatrujemy wynosi ε . Z uwagi na symetrię pole elektryczne może być skierowane tylko i wyłącznie prostopadle do tej

sfery, a ponieważ rozpatrujemy pole elektryczne na powierzchni sfery, czyli w odległości r od ładunku to wektor  E będzie wszędzie miał tę samą długość.

Zatem: N

N

Φ E =lim ∑ Ei Δ A i= E lim ∑ Δ Ai =E 4 π r 2 N →∞

i

N →∞

i

a na mocy prawa Gaussa dostajemy, że E=

1 q 4 π ε r2

a zwrot wektora  E będzie taki sam jak zwrot wektora normalnego do sfery (dla ładunku ujemnego byłby to zwrot przeciwny). Dostaliśmy w wyniku dokładnie to samo co mówi prawo Coulomba. Zastosujmy jeszcze prawo Gaussa do nieskończonej płaszczyzny naładowanej gęstością ładunku σ >0.

cnx.org/content/col25244/1.2

W tym przypadku również należy odpowiednio wykorzystać symetrię układu. Przede wszystkim wynika z niej, iż wektor natężenia pola elektrycznego może być skierowany jedynie w kierunku prostopadłym do płaszczyzny (w kierunku E będzie przeciwny nad i pod płaszczyzną, osi z). Oczywiście zwrot wektora  bowiem zawsze jest on skierowany od ładunku dodatniego, a płaszczyzna jest naładowana dodatnią gęstością ładunku. Należy teraz wybrać odpowiednią powierzchnię, którą użyjemy do prawa Gaussa. Powierzchnia ta musi w sobie zamykać jakiś ładunek, a więc musi być tak wybrana, aby wewnątrz niej znalazła się część płaszczyzny. Optymalnym wyborem może być dowolna powierzchnia zamknięta, której części będą równoległe albo prostopadłe do naładowanej płaszczyzny. Wybierzmy więc prostopadłościan tak jak na rysunku. Jego podstawy są w tej samej odległości od naładowanej płaszczyzny, a więc długość wektora  E również będzie tam taka sama. Pole elektryczne jest prostopadłe do obu podstaw (ścianka I i ścianka II) oraz równoległe do pozostałych ścinek bocznych. Ponieważ w definicji strumienia pojawia się E i wektora normalnego do powierzchni to strumień przez iloczyn skalarny  wszystkie boczne ścianki będzie znikał. N

 iboki Δ Siboki=2 E S Φ E =E S I + E S II + lim ∑ E N →∞

i

Iloczyny skalarne wektora natężenia pola elektrycznego i wektora normalnego do powierzchni bocznych znikają jako, że są do siebie prostopadłe. Musimy jeszcze obliczyć ile ładunku zostało zamknięte wewnątrz prostopadłościanu. Q= σ S Tak więc na mocy prawa Gaussa dostajemy: E=

σS σ = 2 εS 2 ε

Proszę zauważyć, że wynik nie zależy od odległości w jakiej są umiejscowione podstawy w stosunku do naładowanej płaszczyzny, choć tego wcale nie zakładaliśmy. Można to zrozumieć w ten sposób, że będąc nad nieskończoną płaszczyzną, nie mamy żadnej skali która by mówiła czy jesteśmy blisko niej, czy daleko, a zatem wszystkie odległości są sobie równoważne. Takie zjawisko (w przybliżeniu) może zaobserwować pilot helikoptera wiszący nad spokojnym morzem, z dala od brzegu. Z powodu braku jakichkolwiek obiektów nie jest on w stanie określić czy jest blisko, czy daleko od wody. Zauważmy również, że w powyższym przykładzie równie dobrze sprawdziłby się walec zamiast prostopadłościanu.

2. Potencjał i energia pola elektrycznego. Przyjrzyjmy się najpierw pracy w polu elektrycznym (uwaga: to jest praca wykonana przez siłę elektryczną, gdybyśmy rozważali pracę wykonaną przez siły zewnętrzne działające na ładunek punktowy q to wówczas znak byłby przeciwny): B

B

 d r W A →B =∫A Fel d r =q∫ A E gdzie skorzystaliśmy z tego, że Fel=q E . Gdy przypomnimy sobie jak praca wiąże się z energią: A

B

W A →B=E p − E p

to możemy zdefiniować ile wynosi energia pola elektrycznego w punkcie A: E Ap =W A → B+ E Bp Definicja ta jest zależna od wartości energii potencjalnej w punkcie B. Jest tak bowiem, w przypadku energii potencjalnej możemy jednoznacznie mówić tylko o jej różnicy, a to znaczy, że sama energia potencjalna jest zdefiniowana B z dokładnością do stałej, w tym przypadku E p . Aby definicja była jak najbardziej naturalna, należy wybrać punkt B w taki sposób, by definicja nie prowadziła do niepotrzebnych komplikacji. Nie ma ogólnego przepisu jak to zrobić. W przypadku pojedynczego ładunku (jak również i ograniczonego przestrzennie układu ładunków) wyborem takim jest przyjęcie, że punkt B leży w nieskończoności, a więc dla ładunku punktowego q będącego w polu ładunku Q: ∞

A

E p =W A →∞ + E p =

()

1 ∞ qQ 1 qQ ∞ dr + E p = (−1 ) ∫ 2 r 4 πε 4πε r r A

∞

∞

+Ep= rA

qQ ∞ + Ep 4 πε r A

Widać, że pierwszy człon zanika wraz z rA, a zatem w tym przypadku będzie B dobrym pomysłem przyjąć E p =0 . Ostatecznie: E p (r)=

qQ 4π ε r

Gdy rozpatrujemy układ ładunków, wówczas: E p=∑ E p ,i = i

Qi q ∑ 4 π ε i ri

Ponieważ to ładunki Qi wytwarzają pole w którym przebywa ładunek q to dobrze jest zdefiniować potencjał pola elektrycznego:

φ (r )= Q 4 π εr oraz dla układu ładunków:

φ =∑ φ i = i

Qi 1 ∑ 4 πε i r i

Wówczas, w punkcie A: E Ap =q φ A oraz Δ Ep =q Δ φ

Różnica potencjałów, U =Δ φ to oczywiście napięcie. Zauważmy, że definicja potencjału prowadzi do następującego związku pomiędzy napięciem i natężeniem pola elektrycznego w przypadku gdy jest ono stałe: U =E d gdzie d to odległość.

3. Pojemność i kondensatory. Ponieważ w przewodnikach istnieją ładunki swobodne (w metalach są to elektrony), więc istnieje możliwość do zgromadzenia na danym przewodniku nadmiaru, bądź niedoboru ładunków. Jedną z najprostszych metod by to osiągnąć jest zbudowanie układu dwóch rozłącznych przewodników podłączonych do wspólnego źródła napięcia. Wówczas na jednym z nich uzyskamy nadmiar, powiedzmy +Q, a na drugim niedobór ładunków, –Q. Taki układ nazywamy kondensatorem. Pojemność elektryczna, C, jest zdefiniowana jako: C=

Q U

gdzie Q to właśnie wartość bezwzględna tego nadmiarowego ładunku, a U to różnica potencjałów pomiędzy oboma przewodnikami. Jednostką pojemności jest 1F (farad) = 1C/1V. Jest to bardzo duża jednostka, więc kondensatory występujące w domowych zastosowaniach mają przeważnie pojemności rzędu od 1μF (mikro farad) 10-6 F do nawet pF (piko farad) 10^-12 F. Jedną z najprostszych możliwych realizacji kondensatora jest kondensator płaski. Składa się on z dwóch równoległych okładek przedzielonych warstwą dielektryka. Obliczymy pojemność takiego kondensatora. W tym celu skorzystamy z otrzymanego wyniku na pole elektryczne od nieskończonej metalowej płyty naładowanej gęstością ładunkową σ . Oczywiście przybliżenie kondensatora, który ma skończone rozmiary poprzez układ dwóch nieskończonych płyt jest obarczone błędem. Jednak okazuje się, że błąd ten nie jest duży o ile odległość między okładkami kondensatora, d, jest dużo mniejsza w porównaniu z rozmiarem jego okładek, S – powierzchnia okładek, który to warunek można zapisać następująco: d≪ √ S Na poniższym rysunku mamy właśnie układ dwóch takich przewodników.

Przewodnik naładowany dodatnio jest niżej i wytwarza pole elektryczne E1 – jest ono skierowane od płyty, ten naładowany ujemnie jest wyżej i wytwarza pole E2 – to pole jest skierowane do płyty. Wiemy, że pole elektryczne nieskończonej naładowanej płyty jest stałe. Oznacza to, że w przypadku układu dwóch takich płyt pole elektryczne na zewnątrz kondensatora będzie się wzajemnie znosiło. Jedynie pomiędzy okładkami kondensatora będzie niezerowe pole elektryczne.  E zew . góra = E1 + E2= σ ^e z− σ ^e z=0 2ε 2ε   1+E2=− σ e^z + σ ^e z= 0 E zew . dół= E 2ε 2ε

 E wew .=E1 + E2 =2 σ e^ z = σε ^ez 2ε Zatem:

σS εS C= σ = dε d A więc pojemność kondensatora płaskiego będzie tym większa im większa jest powierzchnia jego okładek, przenikalność dielektryczna materiału wypełniającego przestrzeń między okładkami i im okładki te będą jak najbliżej siebie....