Pytania egz AMI 2006 PDF

Preview

Summary

Download Pytania egz AMI 2006 PDF

Description

Egzamin z Analizy Matematycznej I – przyk÷ady pyta´ n otwartych.

1. Sformu÷owa´ c de…nicje¾ ciagu ¾ monotonicznego, ograniczonego i zbieznego. ·

Poda´ c znane zwiazki ¾

miedzy tymi w÷asno´ sciami. (1)n

n!1 n2 +2n :

2. Sformu÷owa´ c twierdzenie o trzech ciagach. ¾ Obliczy´ c lim

3. Poda´c de…nicje¾ asymptoty uko´ snej/pionowej wykresu funkcji. ( R ! R takiej, ze · xlim !1

f (x )

+ x) = 0; lim

x!1

f (x )

=

f (1)

Naszkicowa´ c wykres funkcji

= 0 i lim

x!1+

f (x )

4. Poda´c de…nicje¾ funkcji ciag÷ej ¾ w punkcie. Naszkicowa´ c wykres funkcji

f

C

=

f nf g 2

D

= f

1

: [0; +

i lim f (x) = 1.

x!2

5. Sformu÷owa´ c twierdzenie Weierstrassa dla funkcji ciag÷ych. ¾

f

:

:

1 !R )

takiej, ze ·

Uzasadni´ c, z · e twierdzenie odwrotne

jest fa÷szywe. 6. Poda´c przyk÷ad funkcji, która (a) jest ciag÷a ¾ i nie osiaga ¾ na jwiekszej ¾ warto´ sci, za´ s min

x2Df

f (x )

= 0;

(b) jest ciag÷a, ¾ ograniczona i nie osiaga ¾ na jwiekszej ¾ ani najmniejszej warto´ sci; (c) jest okre´slona na przedziale [0; 3] i nie osiaga ¾ najwiekszej ¾ ani najmniejszej warto´ sci. Wyja´sni´ c dlaczego dla tych funkcji nie dzia÷a tw. Weierstrassa. 3 7. Wykaza´ c, ze · równanie 3x



x



+ 1 = 0 ma co najmniej jeden pierwiastek w przedziale [ 1; 1]:

Sformu÷owa´ c twierdzenie, z którego ten fakt wynika. 8. Sformu÷owa´ c warunek konieczny zbiez· no´ sci szeregów liczbowych.

Czy jest to równiez· warunek

wystarczajacy? ¾ Uzasadni´ c odpowied´ z. 9. Poda´c de…nicje¾ bezwzglednej ¾ i warunkowej zbiezno´ c przyk÷ad sz· sci szeregów liczbowych. Poda´ eregu, który jest (a) zbiezny warunkowo; ·

(b) zbiezny bezwzglednie. ¾ ·

10. Sformu÷owa´ c kryterium d’Alemberta dla szeregów liczbowych. Zbada´ c zbiezno´ · s´c szeregu

X nn n

!( +2) . ( +1)!

11. Sformu÷owa´ c i udowodni´ c kryterium Cauchy’ego zbiezno´ · sci szeregów liczbowych. 12. Sformu÷owa´ c i udowodni´ c kryterium porównawcze zbiezno´ · sci szeregów. 13. Je´ sli szeregi liczbowe o wyrazach ogólnych

X X

szeregów: (a) (b)

n

to co mozna powiedzie´ c o zbie z sci · · · no´ n i bn sa¾ zbiezne,

a

n

(a + b );

(c)

(3a

(d)

n  4bn );

Xa X nn 1

n

;

gdy

n 6= 0 dla n 2 N;

a

a b :

Uzasadni´ c odpowiedzi. 14. Sformu÷owa´ c kryterium Leibniza dla szeregów liczbowych. Uzasadni´ c, ze · jest to wniosek z kryterium Dirichleta.

1

15. Poda´ c de…nicje¾ szeregu naprzemiennego. Jakie kryteria mozemy stosowa´ c do badania tego typu · szeregów. Zbada´ c zbie z no´ s c szeregów: ´ · (a)

X (

n n n1 ) ;

1)n (

(b)

X

cos(n ) p n1 :

c szeregu 16. Sformu÷owa´ c ca÷kowe kryterium zbiezno´ c zbiezno´ · sci szeregów liczbowych. Zbada´ · s´

X

przy pomocy tego kryterium.

p1

n

17. Poda´ c de…nicje¾ zbiezno´ · sci jednostajnej szeregu funkcyjnego.

X

18. Sformu÷owa´ c kryterium Weierstrassa jednostajnej zbiezno´ c zbiezno´ · sci szeregów funkcyjnych. Zbada´ · s´c szeregu

ln(nx)

19. Je´ sli funkcje na zbiorze

xn

f

X,

na zbiorze [2; +

n:X

!R

, gdzie

n

1 2N

X

):

, sa¾ ciag÷e ¾ i szereg funkcyjny

f

jednostajnie · n jest zbiezny

to jego suma jest na tym zbiorze funkcja¾

(a) ograniczona; ¾

(c) ró z· niczkowalna; ¾

(b) ciag÷ ¾ a; ¾

(d) ca÷kowalna? ¾

20. Przy jakich za÷ozeniach szereg funkcyjny mozna rózniczkowa´ c/ca÷kowa´c wyraz po wyrazie? · · · 21. Poda´ c de…nicje¾ promienia zbiezno´ ¾ Co mozna powiedzie´ c o zbiezno´ · sci szeregu potegowego. · · sci szeregu potegowego ¾ w punktach x3 = 2; x4 = 1; x5 = 4; je´ sli



(a) jest on zbiez· ny w

x1



= 2 i rozbiezny w ·

(b) jego promie´ n zbie z sci · no´

R

= 2;

(c) jego promie´ n zbie z sci · no´

R

=+

1

x2

=



3;

:

22. Poda´ c de…nicje¾ pochodnej funkcji w punkcie i jej interpretacje¾ geometryczna. ¾ 23. Sformu÷owa´ c i udowodni´c warunek konieczny rózniczkowalno´ sci funkcji w punkcie. Czy twierdzenie · odwrotne jest prawdziwe? Uzsadni´ c odpowied´ z. 24. Wyprowadzi´ c wzór na pochodna¾ funkcji: (a)

f (x )

= arcsin x;

(c)

f (x )

= ln x;

(b)

f (x )

= arctg x;

(d) iloczynu dwóch funkcji:

25. Poda´ c twierdzenie Rolle’a z dowodem i interpretacja¾ geometryczna. ¾ 26. Sformu÷owa´ c i udowodni´ c twierdzenie Lagrange’a. 27. Sformu÷owa´ c i udowodni´ c warunek wystarczajacy ¾ monotoniczno´ sci funkcji. 28. Sformu÷owa´ c f

:

warunek

R ! R takiej, ze ·

f

wystarczajacy ¾

00(x)

>

0 dla

x <

wypuk÷o´ sci

0;

f

00(x)

<

funkcji.

0 dla

x

2

[0; 3];

Naszkicowa´c f

00(x) = 0 dla

wykres x >

funkcji

3:

29. Poda´ c de…nicje¾ maksimum lokalnego w÷a´ sciwego. Poda´ c przyk÷ad funkcji, która posiada w

x0

ekstremum lokalne w÷a´ sciwe i (a) jest ciag÷a ¾ tylko prawostronnie w (b) nie posiada pochodnej w

00(x ) > 0; 0 (d) f 0 (x) 0 dla

x0 ;

(c)

x0 ;

f



x > x0 :

30. Poda j twierdzenie Fermata (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego) z dowodem. 31. Poda´ c przyk÷ad ilustrujacy, ¾ ze · twierdzenie odwrotne do tw. Fermata jest fa÷szywe. 2

=1

32. Poda´ c de…nicje¾ maksimum globalnego w÷a´ sciwego. Wyznaczy´ c ekstrema globalne funkcji (a)

f (x )

=

e

3

x

 (b) f (x) = x2



na zbiorze [ 1; 1];



 2x na zbiorze [0; 3]:

33. Niech

 (x ) =

f

Sprawdzi´ c, czy funkcja

f

x

2

+ 1;

x

2x ; e

x

2 f g [  2 1 4 (3; +

[ 2; 3] ; ):

jest

(a) ciag÷a; ¾

(c) ograniczona;

(b) rózniczkowalna; ·

(d) ca÷kowalna.

34. Poda´ c de…nicje¾ punktu przegiecia ¾ funkcji i sformu÷owa´ c warunek konieczny istnienia punktu przegie¾ cia.

Z

35. Poda´ c de…nicje¾ funkcji pierwotnej i ca÷ki nieoznaczonej na przedziale.

Z

(

x1 0 ( sin ) dx i x

Obliczy´ c

x1 0 sin x dx) :

36. Niech

b edzie ¾ funkcja¾ pierwotna¾ funkcji

F

Z (a)

Z

(b)

37. Niech

f (x)dx

=

F (x )

f (x)dx

=

F (x);

C

2R

Z3 f (x)dx

=

F (0)

na przedziale [a; b]: Sprawdzi´ c, czy (c)

;

(d)

b edzie ¾ funkcja¾ pierwotna¾ funkcji

F

(a)

+ C; gdzie

f



f

c

0 (x)dx =

0 (x ) =

f (x );

gdy

f

2

C

1 [a; b];

F (x ):

Zx (c) funkcja

F (3);

G (x )

f (t)dt

=

dla

x

2

[0; 4] jest

0

ciag÷a; ¾

Zx

Z4

_

1 f (c ) = 4

2[0;4]

38. Niech

f

f

na przedziale [0; 3]: Sprawdzi´ c, czy

0

(b)

R

f (x )

g (x )

f

jest funkcja¾ pierwotna¾

g;

(b)

g

jest funkcja¾ pierwotna¾

f;

(c)

fg

Z

i

f



g

0



sa¾ funkcjami ca÷kowalnymi na dowolnym przedziale [a; b];

f (x)dx)

(d) (

F (x )

= cos x: Czy

(a)



=

0

0

= sin x;

f (t)dt

(d)

f (x)dx;



Z

Z g (x)dx)

( 0

f (x)g (x)dx:

= 0

Uzasadni´ c odpowiedzi. 39. Dla ca÷ki nieoznaczonej sformu÷owa´ c i udowodni´ c (a) twierdzenie o ca÷kowaniu przez podstawianie; (b) twierdzenie o ca÷kowaniu przez cze´ ¾sci.

3

F (0)

dla

x

2

[0; 4]:

40. Wyprowadzi´ c wzory na ca÷ki:

Z (a)

1 x2 +k dx, gdzie

Z

k >

p 1 dx, gdzie k x2

(b)

Z

0;

k >

(c)

0;

Z

(d)

p 1 dx; gdzie k +x2

k

1 (x1)n dx; gdzie

n

6= 0; 2 N.

41. Sformu÷owa´ c twierdzenie o ca÷kowaniu przez podstawianie dla ca÷ki oznaczonej. 42. Sformu÷owa´ c dwie wybrane w÷asno´sci ca÷ki oznaczonej Riemanna. 43. Sformu÷owa´ c jeden z warunków wystarcza jacych ¾ (a) ciag÷o´ ¾ sci funkcji w punkcie; (b) istnienia ca÷ki nieoznaczonej funkcji na dowolnym przedziale; (c) ca÷kowalno´ sci funkcji na przedziale domknietym ¾ i ograniczonym; (d) ograniczono´ sci funkcji na przedziale domknietym. ¾ 44. Sformu÷owa´ c i udowodni´ c twierdzenie o ca÷ce oznaczonej funkcji (a) parzystej;

(b) nieparzystej.

45. Obliczy´ c

Z

1 x

0

2

1 +1

dx:

Poda´c interpretacje¾ geometryczna¾ tej ca÷ki. 46. Obliczy´ c

Z

8 0

p31

x

dx:

Poda´c interpretacje¾ geometryczna¾ tej ca÷ki. 47. Okre´ sli´c typ podanych ca÷ek i obliczy´ c +1 Z

(a)

x

1

Z4 (b)

x

0

Z0

1 ; 2+4

1

(c)

dx

2

p 1 2 dx; 4x

Z1

; 2

(d)

dx

p 1 2 dx: 4x 0

48. Obliczy´ c pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego liniami y

=1

x

;

y

=0

;

x

=

e;

x

= 1

:

49. Poda´ c de…nicje¾ szeregu Fouriera. Jakie warunki musi spe÷nia´ c funkcja; aby by÷a rozwijalna w szereg Fouriera w przedziale

[ ]? t; t

50. Sformu÷owa´ c de…nicje¾ szeregu Taylora funkcji

f.

funkcji w szereg Taylora.

Uwagi: Dowody twierdze´ n– na ocene¾ 4 lub wyzsz ¾ · a.

4

Poda´ c warunek wystarczajacy ¾ rozwijalno´ sci...