TP1 AMI UTN 10 PDF

Preview

Summary

Trabajo practico 1...

Description

Universidad Tecnológica Nacional Extensión áulica Bariloche

ANÁLISIS MATEMÁTICO I TRABAJO PRÁCTICO 1 1. Demostrar las siguientes proposiciones utilizando solamente los axiomas que rigen el cuerpo de los números reales y las proposiciones ya demostradas. a )Si a.b a.c y a 0  b c c) Probar la " regla de los signos" probando los incisos en el siguiente orden i)  (  a) a ii )(  a )(b)  (a.b) iii)(  a )(  b) a.b e)a  c b  c  a b

b) si a  0   a  0 d) Si a  b y c  0  a.c  b.c

f) Si a  b , c  d  a  c  b  d

2. Decir cuáles de los siguientes conjuntos están acotados superior y/o inferiormente. Decir cuál es el supremo, ínfimo, mínimo y máximo según corresponda. 1   b)A x  Q/ x  3 2   1  d)A  / n  N  n 

a )A x Z/ 2 x 8

 c)A x N / x 10

   (-1) n / n  N f)A  n     h) 2,10

 n   N /n e)A    2n  1 

g)  ,5 i)  ,6   8,  k) - 1,1    2,3

j)(-2,0) l)1,5   8

3. Escribir usando la notación de valor absoluto a) Un entorno del punto x = - 2 b) El entorno con centro en x = 1 y radio 2 c) El entorno reducido con centro en x = 9 y radio 3/1000 d) El entorno reducido con centro en x = a y radio r > 0. 4. Hallar los números reales x que verifican: a ) 2x  1  2

b) 4x  3 5

c ) 4 x  12  4

d) 1  6x  4

e) 6 x  2  2 x  5  7 g)

2x  8 1 x  2

5. Si

1

f ( x ) 2 x 2  3x  4

f) 2  6x  3 x  1  4 h) 2x  4  3x  2  5

encuentre f(0), f(2), f(-x),f(x+1),2f(x),f(2x)

6. Para cada una de las funciones encuentre f(2+h), f(x+h),

f (x  h )  f ( x) h

h  0

1

Universidad Tecnológica Nacional Extensión áulica Bariloche

a)

x x 1

b) f (x ) 

f ( x ) x  x 2

7. Encuentre el dominio de las siguientes funciones: x

a) f ( x ) 

4

b) f ( x) 4 7  3x

2 x x 6 c) f ( x ) 3 x  1

e) f (x ) 

g) f (x ) 

d) f ( x ) 

1

2 f)f ( x )  4  x

2

2  3x

x 4

x

x

i) f ( x ) ln

2

3

4

 a



1



3

x2  1

2

x

h) f (x )  x  1

a>0

1

  



i) f ( x) ln ln x 2

x x 2  1  

8. Trace la gráfica aproximada de las siguientes funciones:

2x  3 si x   1 a) f (x )  3 x si x  1 1   2x c) f ( x )   ( x  1)  1

x2 si x 0 b) f (x)   x si x  0

si x 2 si 0  x 2 si  1 x 0 si x  1

d)

f ( x )  2x  2

9. Expresar la función x  x  2 sin emplear el símbolo de valor absoluto 10. Un estudiante que viaja 20 km.cada día para asistir a la universidad se da cuenta tras llevar unos minutos conduciendo, que ha olvidado un trabajo que debe entregar. Conduciendo más rápido que lo habitual, regresa a casa, recoge el trabajo y parte de nuevo a la universidad. Dibujar una posible gráfica de la distancia del estudiante a su casa en función del tiempo.(suponga que cada tramo lo hace a velocidad constante) 11. Usando la gráfica de

x , representar la de cada una de las siguientes funciones. Describir, en

cada caso la transformación efectuada. b) y( x )  x a) y( x )  x  2

c) y( x) 

x 2

2

Universidad Tecnológica Nacional Extensión áulica Bariloche

12. Especificar la sucesión de transformaciones que efectuadas sobre la gráfica de la función f(x) = senx, producen la gráfica de h(x)  

a) h ( x ) sen x 

  2

b) h ( x)  sen  x  1

13. Suponer que se da la gráfica de f(x). Escribir las ecuaciones para las gráficas que se obtienen a partir de la de f(x), cómo se indica. a) Desplazarla 3 unidades hacia arriba b) Desplazarla 5 unidades hacia abajo. c) Reflejarla respecto al eje x d) Contraerla verticalmente un factor 3. e) Desplazarla 7 unidades hacia la izquierda. f) Alargarla verticalmente un factor 2 g) Reflejarla respecto al eje y h) Desplazarla 8 unidades hacia la derecha. 14. Encuentre una fórmula para la función descrita y de su dominio a) Un rectángulo tiene un perímetro de 20 m. Exprese el área del rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados. b) Un rectángulo tiene un área de 16 m2. Exprese el perímetro del rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados. c) Exprese el área de un triángulo equilátero como función de la longitud de su lado. d) Exprese el área de un cubo como función de su volumen. e) El Área de un rectángulo que se construyó cortando en 4 un alambre de 24 cm. en función de uno de los lados. 15. Una compañía de taxis cobra dos pesos por el 1er km.(o parte de un 1 km.) y 20 centavos por cada décimo (o parte)subsiguiente. Exprese el costo C de un viaje en función de la distancia x recorrida. Para 0 < x < 10 grafique la función. 16. Determinar cuáles de las siguientes funciones son pares o impares o ninguna de las dos cosas. b) f ( x)  x  x 4 a) g( x ) x 2  2 c) g(x )  2 x  3  x d) f ( x) x 3  3x 2  2 x  1 e) f ( x)  a x  a  x f) f ( x)  1  x  x 2  1  x  x 2 17. Sabiendo que los puntos dados pertenecen a la gráfica de una función calcular las coordenadas de un segundo punto suponiendo que a) la función es par b) La función es impar i) (-3/2,4) ii)(4,9) 18. Hallar fog y gof indicando el dominio de cada una de ellas a) f ( x ) x 2 c) f ( x ) 2x 2

g(x)  x  x g(x) 3x  2

1 x

b) f ( x ) 

d) f ( x )  1

g(x) x 2  1

x1

g(x) 

x 1 x 1

3

Universidad Tecnológica Nacional Extensión áulica Bariloche

e)

f ( x ) ln x

g(x) x

2

f)

9

f ( x ) x 2  1

g(x) cos(x)

19. Probar que el producto de dos funciones pares o de dos funciones impares es una función par, y que el producto de una función par por una función impar es una función impar. 20. Encontrar fogoh 1 x

g(x) x 3

a) f (x ) 

b) f ( x )  x

g(x) 

h(x) x 2  2 x x1

h(x) 3 x

21. Hallar f sabiendo que es lineal y que gof = x2  3x  5 y que

g( x ) x 2  x  3

22. Expresar las funciones como composición de dos o más según corresponda. a) F(x )  x  9 2 b) F( x ) 

x2 x2  4

c) F(x ) 1 

3x

2

23. En un estanque en calma se deja caer una piedra produciendo ondas en forma de círculos concéntricos. El radio de la onda externa viene dado por r(t) = 0.6.t, donde t es el tiempo en seg. transcurridos desde que la piedra toca el agua. Si A(r) es el área del círculo. Hallar e interpretar (Aor)(t) 24. a) Suponga que g(x) es una función par y h = fog. ¿h es siempre una función par? b) Ahora suponga que f es impar. ¿h es siempre una función impar?. ¿Qué pasa si g es impar? Qué pasa si g es par? 25. Sabiendo que las siguientes funciones son biyectivas indicar el dominio y la imagen para que lo sean y calcular sus inversas. a )f ( x )

2x

3

c)f ( x )

4

x2

e)f ( x ) 

b)f(x) x 3 0 x 2

d)f(x) 

x2 x 3

f)f(x) 

2x  1 x 3

h)f(x) 

g) f ( x ) 

2x  3 5x - 1 5 x 2 1

x 0

1 e x 1- e x

26. En los siguientes ejercicios verificar la identidad. a) th2 x +sech2 x = 1 b) ch2 x = (1+ch2x)/2 c) chx  chy  2ch(

x y x y ) )ch( 2 2

27. Sabiendo que shx = 3/2 hallar el valor de las restantes funciones hiperbólicas. 28. Graficar la curva usando ecuaciones paramétricas y luego eliminar el parámetro para hallar una ecuación cartesiana de la curva. Verificar que el resultado es el mismo. 4

Universidad Tecnológica Nacional Extensión áulica Bariloche 2

a )x 3t b) x

, y 2 5 t, t , y 1

0 t 2

t

c) x t2 , y t3

d)x 3t - 5

y  2t  1

e)x  t2  2

y 5 - 2t - 3 t 4

f) x et

y e -t

29. Eliminar el parámetro para hallar una ecuación cartesiana de la curva. Graficar a ) x sen 2 , y cos2 , 0  2  b)x cos2  , y sen

30. Encontrar las ecuaciones paramétricas para la trayectoria de una partícula que se mueve a lo largo del círculo x 2  ( y  1) 2 4 de la siguiente manera: a) Una vuelta en el sentido del movimiento de las agujas del reloj partiendo de (2,1) b) Tres vueltas en sentido contrario al del reloj partiendo del (2,1) c) Media vuelta en sentido contrario al del reloj partiendo del (0,3) 31. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la elipse

x2 a

2



y2 b2

1 .(sugerencia modificar

levemente las de una circunferencia) 32. En cada uno de los siguientes problemas se da una representación paramétrica de una curva. Graficar y obtener la ecuación cartesiana. a)

x 4  t y  t

1 y s s

b) x 

0  t 4

c) x 2 t  2 y 3 4 - t 2 t 4 33. e) x  2senr y  3 cos r t

d)

1 s  10

x  9sen 2  y 9 cos 2 

0  r  4

f)

0  

x  cos  y   2sen 2 2

R

34. Reconocer y graficar la curvas escritas en coordenadas polares. a) r = 6

b) r 

6 2  sen

c)

r

6 1  cos(  ) 2

35. Demostrar que r  asen  b cos  representa una circunferencia. Determinar su centro y su radio.

36. Encontrar las ecuaciones paramétricas de un proyectil que es disparado con una velocidad inicial de 500 m/s y con un ángulo de 30º. Eliminar el parámetro para demostrar que la trayectoria es parabólica. 37. Si a y b son números fijos (datos del problema), encontrar las ecuaciones paramétricas para la curva que consiste de todas las posibles posiciones del punto P en la figura usando el ángulo t como parámetro. Eliminar el parámetro e identificar la curva. 5

Universidad Tecnológica Nacional Extensión áulica Bariloche

6...