Realimentación y osciladores. PDF

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Lección 3. Realimentación y osciladores.. Analógica. Apuntes recopilados el último año de docencia de la asignatura Electrónica II y Ordenadores de Ingeniería Aeronáutica en la ETSIA....

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Realimentación y osciladores. Realimentar (feed-back) es el proceso de transformar la salida de un circuito o sistema y aplicarlo de nuevo a la entrada. En el caso más simple, el circuito de realimentación toma una muestra de la salida que debe ser igual a la entrada y la resta de esta; si la diferencia no es cero, la señal de error se usa para corregir la salida. La realimentación tiene también aplicación para producir osciladores, provocando una inestabilidad del circuito completo. La gran precisión que se consigue con los amplificadores operaciones realimentados permite usarlos como elementos de cálculo en un sistema de cálculo analógico.  Realimentación. Estabilidad de los sistemas realimentados. Sea un amplificador de amplificación , impedancia de entrada infinito e impedancia de salida despreciable. Tiene una señal de salida y su entrada recibe la suma de la entrada y la fracción de la salida, que se suma en serie con un transformador u otro circuito análogo. La entrada del amplificador será, por tanto, . El amplificador la multiplicará por , obteniéndose: La amplificación del sistema realimentado será:

Esta es la formula general de la realimentación. El factor se llama factor de realimentación. Si se dice que hay una realimentación positiva, la amplificación con realimentación es mayor que sin ella. Se obtiene normalmente con positivo y menor que uno. Se usa muy pocas veces debido al peligro de inestabilidad que se presenta cuando el producto se aproxima a 1. Este efecto puede presentarse a cualquier frecuencia, es decir, puede ocurrir que el factor de alimentación tenga un valor aceptable a una frecuencia y tome un valor inestable a otra. Si para alguna frecuencia la amplificación se hace infinita, lo que quiere decir que, a esa frecuencia, existe una señal de salida sin entrada. El sistema se convierte en un generador u oscilador sinusoidal. Al hacer el sistema es un amplificador que se alimenta a sí mismo. La condición de oscilación es , ecuación cuya solución es la frecuencia o pulsación de oscilación. Si se hace mayor que 1, la ecuación de realimentación no refleja la solución real, que es divergente. Al sobrepasar la realimentación positiva necesaria para la oscilación aparecen oscilaciones divergentes, que aumentan de amplitud hasta que, debido a la saturación del amplificador, disminuye la amplificación y el factor de realimentación se hace unidad. Si es muy grande en valor absoluto y negativo (por razones de estabilidad) puede despreciarse el 1 en el denominador y la amplificación se convierte en:

La amplificación depende solo de . En general, la realimentación negativa se obtiene con negativo y de valor absoluto muy grande, ya que suele ser menor que 1. Este es el caso más interesante de realimentación. La no dependencia de , con componentes diversos activos y pasivos, con parámetros que dependen de la temperatura, es fundamental. La realimentación suele depender solo de algunos componentes pasivos, que son estables. La realimentación negativa estabiliza la amplificación. Las hipótesis de linealidad dan lugar a soluciones erróneas en la interpretación de la formula de realimentación. Al utilizar el operador se supone que todas las soluciones son estacionarias y lineales, descartando con ello otras de tipo transitorio convergente o divergentes que producen inestabilidades. Para considerar los fenómenos transitorios se considera el segundo miembro de la formula como función de transferencia entre dos transformadas de Laplace, función de s, en vez de cómo función de . Los transitorios del sistema quedan definidos en función de las raíces del polinomio , que equivale a la

ecuación característica que liga con . Cada raíz da lugar a una solución exponencial. Este polinomio tiene cinco clases de raíces, que dan lugar a los correspondientes tipos de transitorios.  Raíces reales negativas que dan lugar a transitorios exponenciales que tienden a cero y desaparecen al cabo de algún tiempo.  Raíces reales positivas, que dan lugar a soluciones exponenciales divergentes, que llevan al circuito a la saturación.  Raíces complejas conjugadas de parte real negativa, que dan lugar a soluciones oscilatorias de pulsación , amortiguadas exponencialmente y que desaparecen al cabo de algún tiempo.  Raíces complejas conjugadas de parte real positiva, que dan lugar a soluciones oscilatorias exponencialmente divergentes, que crecerán hasta la saturación del amplificador, convirtiéndose entonces en oscilaciones rectangulares.  Raíces imaginarias conjugadas puras, que dan lugar a oscilaciones sostenidas. La condición necesaria y suficiente para que un sistema realimentado sea estable es que las raíces del denominador de la función de transferencia (los polos de la función de transferencia) sean negativas o de parte real negativa. Existen diversos criterios de estabilidad que permiten comprobar que se cumple la condición de estabilidad sin resolver la ecuación característica. El criterio de Routh es un criterio de estabilidad derivado de los coeficientes de la ecuación; sin embargo, es necesario conocer la ecuación y es muy opaco respecto a la influencia de los coeficientes en el resultado, lo que lo hace poco práctico. Más interesantes son los criterios basados en la respuesta de frecuencia, que puede medirse directamente y no es necesario conocer exactamente la ecuación característica. El método más usado es el criterio de Nyquist, que dice que la condición necesaria y suficiente para que un sistema sea estable es que su diagrama de Nyquist en circuito abierto no rodee al punto crítico del plano complejo al variar entre y . El diagrama de Nyquist es la respuesta en frecuencia dibujada en coordenadas polares (amplitud y fase) o la respuesta compleja en función de . Para aplicar el criterio, se dibuja el diagrama de Nyquist de la función de realimentación . Se supone que el sistema es estable sin realimentación, lo que es normal pero no absolutamente necesario. El diagrama de Nyquist da gran cantidad de información sobre el circuito realimentado, a partir del diagrama en circuito abierto (sin realimentar), información que permite estimar las frecuencias propias de oscilación (incluso convergentes) y también corregir la curva de forma que no se produzca inestabilidad.  Osciladores. Un oscilador es un amplificador con realimentación positiva unitaria, es decir, cumple la ecuación para un valor determinado de . Un oscilador es un amplificador que se alimenta a sí mismo, sin entrada exterior. Es un caso límite entre oscilaciones convergentes y divergentes. En la práctica se utiliza la no linealidad del amplificador para estabilizar las oscilaciones. Se supone que la amplificación es dependiente de la amplitud de la señal de pulsación , normalmente decreciente con debido a que el amplificador se aproxima a sus valores de saturación con amplitudes grandes, disminuyendo su amplificación. La ecuación o condición de oscilación es una ecuación compleja que se divide en dos ecuaciones (fase y amplitud) con dos incógnitas, y . Normalmente solo depende de en una amplia banda y la fase no depende de , lo que permite separar la resolución de las ecuaciones en dos partes: 1. Se calcula la frecuencia o la pulsación de la ecuación fase 2. Se calcula la amplitud de la ecuación El proyecto del oscilador lleva consigo el proceso contrario. Se proyecta para que su fase sea 0 a la pulsación deseada. Se proyecta para que satisfaga a la pulsación y amplitud deseadas, y sea para valores menores de y para valores mayores. Con ello aparecerán oscilaciones divergentes de poca amplitud, que irán creciendo hasta satisfacer la condición de oscilación. Si sobrepasan la amplitud calculada, se hacen convergentes de nuevo, para tender siempre al valor que satisface a la ecuación.

Los diferentes tipos de osciladores pueden tipificarse por el circuito de realimentación.  Osciladores RC. El circuito de realimentación está formado por resistencias y condensadores. Cada divisor RC se proyecta para un desfase de 60º (para un desfase mayor la amplificación caería demasiado) y de forma que cada uno no cargue apreciablemente al anterior, lo que hace un total de 180º de desfase para . La amplificación de cada divisor RC para 60º de desfase es 0.5, lo que da un valor de 1/8 al módulo de . El amplificador debe invertir la fase y amplificar 8 veces con la carga del divisor, lo que es fácil de conseguir con un transistor. En cada circuito RC:

 Puente de Wien. La respuesta en frecuencia del puente de Wien tiene una forma parecida a la de resonancia con un máximo de 1/3 y fase cero a la frecuencia , que es la del oscilador. Al haber dos transistores, la realimentación ya se produce en fase. Por tanto, el amplificador necesita un desfase cero y una amplificación 3.

 Osciladores Hartley. Es un oscilador LC, con un elemento resonante en el circuito de realimentación. La originalidad del oscilador LC es la combinación de realimentación con el cambio de fase por toma intermedia en el circuito resonante. El amplificador es selectivo y su carga es el circuito resonante LC. La alimentación positiva es tierra para las señales, por lo que la fase de la fracción inferior de la autoinducción es la inversa

de la superior, con lo que se consigue el signo – de que equilibra el signo – de la amplificación. Por tanto, la fase de es 0. La condición de amplificación 1 se cumple también con facilidad para el producto . El hecho de colocar las resistencias en paralelo da más sensibilidad al potenciómetro. Variando el punto de trabajo del transistor se varía directamente el valor de la amplitud.  Osciladores de cuarzo y de línea de transmisión. Cuando se desea una gran precisión en el funcionamiento de los osciladores es conveniente usar un amplificador de banda ancha y un componente de realimentación de gran selectividad. Ese es el caso de los osciladores de cuarzo. La realimentación se hace a través de un cristal de cuarzo que solo deja que se propague su frecuencia propia, por efecto piezoeléctrico. También puede usarse una línea de transmisión, cortada a media longitud de onda de la frecuencia deseada. La señal se desfasa 180º en la línea y otros 180º en el amplificador, que compensa las perdidas en la línea.

 Amplificadores operacionales. Un amplificador operacional es un amplificador de corriente continua y banda ancha, es decir, amplifica con respuesta plana desde cero hasta relativamente altas frecuencias. La amplificación es negativa, es un inversor, para incluir el signo menos necesario en el circuito de realimentación y su valor absoluto debe ser muy alto. Se representan por un triangulo, en el que se suele hacer explicito su carácter de inversor con un signo – a la entrada.

La tensión de salida para un valor de entrada es en un momento determinado: Siendo la desviación de cero, error de entrada que tiene una gran importancia. Suele ser inferior a un milivoltio, para conseguirlo es necesario recurrir a regulaciones del punto de trabajo. es la amplificación en cada punto, normalmente a partir del origen y hasta llegar al valor de saturación que representa un límite de trabajo. La saturación suele ocurrir en valores próximos a los de la alimentación. La amplificación debe mantenerse hasta frecuencias del orden de 10 KHz o más. El amplificador puede aproximarse al amplificador operacional ideal con y amplificación y respuesta de frecuencia teniendo a infinito.

 Realimentación negativa en serie. La realimentación negativa con amplificador operacional inversor se denomina en serie. La multiplicación por un factor constante es en realidad una amplificación estabilizada, que depende solo de la realimentación. Sea la entrada del circuito, la salida, la entrada del amplificador, la desviación de cero y la resistencia de entrada. Sea la amplificación, función de pero acotada. Se supone despreciable la de salida, que suele serlo frente a las resistencias de realimentación. Las ecuaciones del circuito serán:

Eliminando entre las dos ecuaciones se obtiene:

Si se hace quedando:

muy grande, pueden despreciarse los términos en los que figura

en el denominador,

Si es grande respecto a y es moderadamente grande, el error más importante es referido a la salida o simplemente referido a la entrada. Este error es importante si la entrada es pequeña, es decir, si no es despreciable frente a . Existen algunos dispositivos especiales para disminuir ese error, casi todos ellos basados en convertir la entrada en una corriente alterna con algún dispositivo de conmutación, ya que la corriente alterna no tiene desviación de cero; o bien, también por conmutación, hacer periódicamente , detectar el valor de y compensarlo en paralelo.  Calculo analógico. Resolución de ecuaciones. Sean , ,… las entradas del circuito, sea la salida, todas ellas funciones del tiempo.

La ecuación del nudo de entrada será:

Además:

Verificándose:

Lo que significa que es una combinación lineal de las entradas, multiplicadas por coeficientes constantes que solo dependen de componentes pasivas, y cambiado de signo. El cambio de signo puede deshacerse fácilmente con un inversor, que no es más que un caso particular del circuito anterior. Una aplicación inmediata de estos circuitos es la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Se hace cableando una analogía, que es un circuito que responde a las ecuaciones y en el que se pueden medir directamente las soluciones.

Para resolver el sistema:

La resistencia de realimentación se elige arbitrariamente de un valor alto, de forma que la resistencia de salida del amplificador sea despreciable frente a ella. A partir de ese valor, las resistencias conectadas en serie con cada entrada se eligen de valor inverso al de los coeficientes en megaohmios. La realimentación aporta también el signo menos. Las entradas – , – , – son tensiones en voltios iguales a los términos independientes de las ecuaciones. Se cablean todas las ecuaciones y se llevan los valores de salida de cada una a las entradas de las otras. Los términos independientes, que en estas ecuaciones se suponen constantes, pueden ser funciones del tiempo cualesquiera, en cuyo caso el sistema se convierte en una transformación del grupo de variables , , al , , . Si algún coeficiente es negativo pueden introducirse inversores para hacer los cambios de signo necesarios.

 Integración y diferenciación. Ecuaciones diferenciales. Este circuito es un integrador analógico. Las ecuaciones del circuito en el plano del tiempo son:

Esto indica que la salida es proporcional a la integral de la entrada. Si se integra se obtiene:

El valor de se introduce como carga inicial del condensador, mediante relés conmutadores de inicialización. La constante puede hacerse . Este circuito es un diferenciador. Tomando directamente se obtiene:

El circuito diferenciador tiene algunos inconvenientes. A entrada discontinua corresponde una salida infinita. Además, como la amplificación es proporcional a la frecuencia, los ruidos de alta frecuencia se amplifican demasiado. Por ello, en los calculadores analógicos se prefiere integrar a diferenciar.

 Multiplicación de variables. Las operaciones no lineales son mucho más difíciles. En general, en los calculadores analógicos se procura evitarlas. Un tipo de multiplicador bastante extendido utiliza un generador de impulsos rectangulares cuyo ancho es proporcional a una de las variables y cuya altura es proporcional a otra variable. El área de estos impulsos resultará proporcional al producto de las dos variables. Otro procedimiento es la utilización de diodos o dispositivos de característica aproximadamente parabólica, es decir, que efectúan el cuadrado de una variable. El producto se deduce entonces por la fórmula:

 Realimentación en paralelo. Modernamente se tiende a reemplazar, sobre todo en operaciones individuales, el sistema de realimentación descrito por otro basado en la utilización del amplificador operacional diferencial. Este amplificador tiene la ventaja de separar la realimentación por un lado (su entrada –) y la entrada por otro (su entrada +); con la ventaja adicional de no invertir las señales, al pasar estas por la entrada positiva. Su ecuación de definición es: Cuando obliga a que para satisfacer la ecuación a través de la realimentación negativa. Puede decirse que el amplificador da una salida tal que, a través de la realimentación, el valor de anule la entrada. La realimentación sigue siendo negativa, lo que es obligado para la estabilidad. Se considera en general el circuito con un divisor de tensión de entrada y otro de realimentación:

La ecuación del amplificador se simplifica a escribir:

por ser la amplificación muy grande. Se puede

En que vuelve a aparecer que el amplificador efectúa la manipulación inversa a la del divisor de tensión de realimentación sin cambio de signo. Es decir, llamando a la realimentación ( ) la amplificación . desde la entrada sería El divisor de tensión previo actúa completamente por separado, con la ventaja adicional de la alta impedancia de entrada del amplificador operacional ideal. Incluyendo este divisor, la amplificación desde sería ahora:

En particular, pueden utilizarse circuitos complicados para cualquiera de las impedancias, pero es preciso tener cuidado con las de realimentación, para evitar que al invertirse el signo para alguna frecuencia pueda hacerse inestable. Un sencillo ejemplo de realimentación unidad es el seguidor representado, cuya ecuación justifica la denominación de seguidor. En realidad es un adaptador de impedancia, ya que la impedancia de entrada es muy alta y a de salida muy baja.

 Amplificadores en saturación. Circuitos basculadores o comparadores. La salida es una onda cuadrada . Cuando Cuando

 Oscilador de onda cuadrada. Se generan oscilaciones cuadradas sin entrada, en la zona saturada. El proceso es debido a la carga y descarga del condensador que empieza a cargarse. El condensador nunca llega a porque se interrumpe el proceso y tiende a cargar hacia . El punto en el que se para la carga y descarga es:...