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Regla de Cramer

Herramientas Matemáticas I Álgebra

Regla de Cramer Una aplicación importante de los determinantes es la solución de sistemas de ecuaciones lineales, en las cuales el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. De hecho, el concepto de determinantes se originó en el estudio de tales sistemas de ecuaciones. Dado el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas x, y y z:

Esto es:

𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑘1 {𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑘2 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑘3 𝑎1 𝑎 ∆= | 2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

𝑐1 𝑐2 | 𝑐3

El determinante de los coeficientes y sea: 𝑘1 ∆𝑥 = |𝑘2 𝑘3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

𝑐1 𝑐2 | 𝑐3

El determinante que se obtiene de reemplazar la columna de los coeficientes de la variable x por los términos independientes: 𝑎1 ∆𝑦 = |𝑎2 𝑎3

𝑘1 𝑘2 𝑘3

𝑐1 𝑐2 | 𝑐3

El determinante que se obtiene de reemplazar la columna de los coeficientes de la variable y por los términos independientes: 𝑎1 𝑏1 𝑘1 ∆𝑧 = | 𝑎2 𝑏2 𝑘2 | 𝑎3 𝑏3 𝑘3 Se trata del determinante que se obtiene de reemplazar la columna de los coeficientes de la variable z por los términos independientes. Así, 2

entonces, si ∆ ≠ 0, el sistema dado tiene la solución única dada por lo siguiente: ∆𝑥 ∆ ∆𝑦 𝑦= ∆ ∆𝑧 𝑧= ∆ 𝑥=

Si ∆= 0 y, además:

∆ 𝑥 = ∆𝑦 = ∆𝑧 = 0

Entonces, el sistema tiene un número infinitas de soluciones. Si ∆ = 0 y, además:

∆𝑥 ≠ 0 ó ∆𝑦 ≠ 0 ó ∆𝑧 ≠ 0

Entonces, el sistema no tiene ninguna solución. Este resultado establecido para tres ecuaciones con tres incógnitas se naturaliza en sistemas de n ecuaciones con n incógnitas. Ejemplo 1:

2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 5 { 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 7 6𝑥 − 9𝑦 + 3𝑧 = 4

El determinante de coeficientes es: 2 −3 1 ∆ = |1 2 −1| = (12 − 9 + 18) − (12 + 18 − 9) = 21 − 21 = 0 6 −9 3

Según la regla de Cramer, si ∆ = 0 y, además: ∆ 𝑥 = ∆𝑦 = ∆𝑧 = 0

Entonces, el sistema tiene un número infinitas de soluciones. Si ∆ = 0 y, además:

∆𝑥 ≠ 0 ó ∆𝑦 ≠ 0 3

ó ∆𝑧 ≠ 0 Entonces, el sistema no tiene ninguna solución. Calculamos: ∆𝑥

5 −3 ∆𝑥 = | 7 2 4 −9

1 −1| = (30 − 63 + 12) − (8 + 45 − 63) 3 = −21 − (−10) = −21 + 10 = − 11

Por lo tanto, el sistema no tiene solución. Ejemplo 2:

3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −1 { 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4

El determinante de coeficientes es: 3 ∆= |2 1

−1 2 1 −1| = (3 + 8 + 1) − (2 − 6 − 2) = 12 + 6 = 18 2 1

Dado que ∆ ≠ 0, calculamos el valor de x:

−1 −1 2 |5 1 −1| 2 1 = 18 = 1 𝑥= 4 3 −1 2 18 | 2 1 −1| 1 2 1 Calculamos el valor y: 3 −1 2 |2 5 −1| 1 = 36 = 2 𝑦= 1 4 3 −1 2 18 | 2 1 −1| 1 2 1 4

Calculamos el valor z: 3 −1 −1| 2 1 5 | 1 2 4 −18 = −1 𝑦 = 3 −1 2 = 18 |2 1 −1 | 1 2 1 La solución se expresa como: 𝑆 = {(1 ; 2 ; −1 )} Ejemplo 3: 𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 = −1 { 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 4 −3𝑥 − 28𝑦 + 11𝑧 = 9 El determinante de coeficientes es: 1 ∆=| 2 −3

5 −2 −3 1 | = (−33 + 112 − 15) − (−18 − 28 + 110) = 0 −28 11

Como el determinante de la matriz de coeficientes es cero, el sistema puede ser compatible indeterminado o incompatible. Calculamos, entonces: −1 ∆𝑥 = | 4 9

5 −2 −3 1 | = (33 + 224 + 45) − (54 + 28 + 220) = 0 −28 11

1 ∆𝑧 = | 2 −3

5 −1 −3 4 | = (−27 + 56 − 60) − (−9 − 112 + 90) = 0 −28 9

1 −1 ∆𝑦 = | 2 4 −3 9

−2 1 | = (44 − 36 + 3) − (24 + 9 − 22 ) = 0 11

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Finalmente -y como todos los determinantes son iguales a cero- el sistema es compatible indeterminado, es decir, presenta múltiples soluciones. Es importante destacar que la regla de Cramer nos permite calcular las soluciones de un sistema compatible determinado. Luego -y para obtener el vector solución que nos proporcionan las infinitas soluciones del sistema indeterminado- es necesario recurrir a otro método de resolución.

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Referencias Checa, J. C. (2009). Sistemas de ecuaciones lineales. En Checa, J.C Algebra lineal para economía y administración (pp.171-183). Córdoba: Ediciones Eudecor. Stanley, I., y Grossman, S. (2007). Determinantes. En Stanley, I. Grossman, S. Álgebra lineal (pp.212-215). México: McGraw Hill Interamericana.

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