Regla DE LOS Signos DE Descartes PDF

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Teorema o regla de signos de Descartes para factorizar polinomios...

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QUÉ ES LA REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES Supongamos que tenemos el polinomio igualamos

. Si

a 0 obtenemos la siguiente ecuación polinómica:

Ordenemos los coeficientes según el grado del monomio al que multiplican, colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor. Obtendríamos la siguiente lista:

Obviando el cero, tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo: del 3 al -5, del -5 al 1 y del 1 al -7. Llamando al número de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio

, tendríamos entonces que en este caso

.

Por otra parte, si utilizamos un programa informático para calcular las raíces de dicha ecuación (bueno, aproximaciones de las mismas), obtenemos que tiene una solución real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada). Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el número de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuación polinómica con el número de raíces positivas de dicha ecuación. Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones, sino que nos da una cota, aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar información muy interesante sobre la cantidad de raíces positivas de la ecuación. Vamos a enunciar esta regla: Regla de los signos de Descartes El número de raíces reales positivas de una ecuación polinómica con coeficientes reales igualada a cero es, como mucho, igual al número de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros).

Es decir, que el número de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del número de raíces positivas de la ecuación. Por ejemplo, en el caso anterior la ecuación tendría como mucho tres soluciones reales positivas, ya que

. Pero se

puede decir un poco más. No solamente tenemos una cota superior del número de raíces positivas de la ecuación, sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota. De hecho, sabemos que, si la cota no se alcanza, entonces el número de raíces positivas de la ecuación difiere de ella un múltiplo de dos. En el ejemplo anterior esto significa que la ecuación puede tener tres raíces positivas o tener solamente una, pero no podría ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ninguna. La regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filósofo y matemático francés René Descartes en su obra La Géométrie, de 1637, aunque no la demostró. Más adelante, en 1707, Isaac Newton reformuló dicha regla, aunque tampoco dio una demostración de la misma (se piensa que consideró demasiado trivial dicha demostración). La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemático francés Jean-Paul de Gua de Malves, en 1740. Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien, en 1828, mostró, que, si no hay tantas soluciones como cambios de signo, entonces el número de soluciones difiere del número de cambios en un múltiplo de dos.

DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES Vamos a terminar este artículo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostración de la misma. Supongamos que tenemos un polinomio

de grado n cuyo coeficiente líder (el

coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposición). Supondremos también que el término independiente del polinomio no es cero (esto es, que de la forma

), ya que si lo es podemos sacar factor común un término que después se puede eliminar.

Vamos a probar esta regla por inducción en n: Para n=1, esto es, para polinomios de grado 1, el resultado es



inmediato, ya que si la ecuación es signo) la única solución es con

con

(un cambio de

(una solución positiva). Si es

(ningún cambio de signo) la única solución es

(ninguna solución positiva). Supongamos entonces que



es un polinomio de grado

con coeficiente líder igual a 1 y con i.

,

. Distinguimos dos casos:

Si. Veamos que el número de raíces positivas de la ecuación también es impar:

Como el grado del polinomio es n, se tiene que el término

es el que

marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x. De hecho, para algún valor grande y positivo de x, digamos que a de

, se tiene

es positivo, por lo que aplicando el teorema de Bolzano en el intervalo

tenemos que existe al menos una raíz

en el intervalo

, esto es, positiva.

Si llamamos k a esa raíz, se tiene que polinomio de grado que k es positivo y inducción a

, con

y tal que

es positivo (dado

es negativo). Aplicando la hipótesis de

obtenemos que ese polinomio tiene un número par

de raíces positivas, por lo que

tiene un número impar de

soluciones positivas (todas las que tiene ii.

un

Vamos con el caso

junto con k).

. Si la ecuación no tiene

soluciones positivas, entonces la condición que queremos comprobar se cumple, ya que cero es un número par. En el caso de que la ecuación tenga alguna solución positiva, llamemos k a una de ellas. Como antes, tenemos que de grado y

, siendo

tal que

un polinomio

es negativo (ya que k es positivo

también). Podemos aplicar la hipótesis de inducción a

, lo

que nos dice que ese polinomio tiene un número impar de raíces positivas. En consecuencia, positivas (todas las de

tiene un número par de raíces

junto con k)....