Relazione di Laboratorio sul Pendolo Semplice PDF

Preview

Summary

Relazione di laboratorio, con il Prof. Gliozzi, che permette di acquisire dei punti bonus all'esame....

Description

RELAZIONE DI LABORATORIO SUL PENDOLO SEMPLICE Gruppo E

Matricola

Data esperienza: 17 Aprile 2019

Cognome

Nome

………..

……….

……….

………..

……….

……….

SCOPI DELL’ESPERIENZA Obiettivo 1: si vuole verificare che le misurazioni ripetute della stessa grandezza, in questo caso il periodo del pendolo, se affette da incertezze casuali (e non sistematiche) si distribuiscono secondo una distribuzione normale (gaussiana); inoltre il loro valor medio si stabilizzerà e la deviazione standard tenderà a zero all’aumentare delle misurazioni. Obiettivo 2: determinare il valore dell’accelerazione di gravità g, a partire da misurazioni del periodo del pendolo con differenti lunghezze del filo. CENNI TEORICI Il pendolo semplice è un oggetto costituito da una particella di massa m appesa, tramite un filo inestensibile di massa trascurabile, a un supporto rigido. Nella posizione di equilibrio il filo è fermo lungo la verticale. Se viene spostato con un certo angolo θ , la particella comincerà ad oscillare sotto l’effetto della forza peso che la richiama verso la posizione di equilibrio. Le forze agenti sul punto materiale sono la forza peso mg e la tensione del filo T. Il pendolo descrive un moto oscillatorio armonico. Per angoli piccoli θ≤7°, si può approssimare sin θ≈ θ, ottenendo così l’equazione:

Posto ω²=g/L, si ottiene:

ⅆ2 𝜃 𝑔 + 𝜃=0 ⅆ𝑡 2 𝐿

STRUMENTI UTILIZZATI

Strumento di misura Cronometro Calibro Metro a nastro

𝐿 𝑇 = 2𝜋 ⋅ √𝑔

Sensibilità 0,01 s 2·10⁻⁵ m 0,001 m

APPARECCHIATURA Nome componente Filo Ghiera Sfera Totale

Misura relativa ad esso Lunghezza: (0,498±0,001) m Lunghezza: (0,0068±2·10⁻⁵) m Raggio: (0,01245±2·10⁻⁵) m Lunghezza: (0,517 ±0,001) m

Il pendolo utilizzato è composto da un’asta graduata, una base e un filo a cui è attaccata una sfera tramite una ghiera. Sull’asta vi è un blocco mobile utilizzato per variare la lunghezza del filo. Di seguito sono riportate le foto del pendolo e della posizione della sferetta nei vari istanti, avvalendosi del programma Tracker, che mostra anche periodo e ampiezza delle oscillazioni.

●OBIETTIVO 1 ESPERIENZA:

-Stabilire la lunghezza del filo; -Portare la sfera a una distanza b di circa 1/10 della lunghezza totale del filo, affinché l’angolo di oscillazione risulti θ≤7. Inoltre è utile utilizzare un riferimento al fine di mantenere costante b per non cambiare nel corso delle misurazioni le condizioni iniziali. -Eseguire 100 misurazioni del periodo del pendolo, cronometrando 5 oscillazioni alla volta e successivamente dividere per 5, per ridurre l’errore casuale dovuto ai tempi di reazione umani. -Salvare i dati raccolti in un foglio di calcolo, procedere all’elaborazione e commentare i risultati ottenuti.

ELABORAZIONE DEI DATI Si procede ora all’analisi dei dati raccolti e al calcolo delle seguenti quantità, con l’utilizzo delle formule riportate di seguito:  = 1,455 s -valor medio 𝑇

-deviazione standard 𝑆𝑇 = 0,004358 s

--deviazione standard della media 𝑆 𝑇 = 0,000436 s

-accelerazione di gravità g = (9,63±0,11) m/s²

Avvalendosi del foglio di calcolo Excel si realizzano i seguenti grafici:

-grafico della media (ottenuto calcolando la media progressiva)

-grafico deviazione standard (ottenuto calcolando la deviazione standard progressiva)

COMMENTI E DISCUSSIONE SUI RISULTATI L’esperimento ci ha portato ad ottenere un risultato dell’accelerazione g = 9,63 m/s², che differisce dal valore teorico di g = 9,81 m/s² per un ∆g=0,18. Da questa differenza si può constatare che le nostre misurazioni non sono state accurate, in quanto sono affette da un errore relativo percentuale pari a 1,1%. Questa discrepanza è causata non solo da errori casuali (inevitabili e dovuti ad esempio dalla precisione degli strumenti) ma soprattutto da errori sistematici causati principalmente dalla nostra reattività nella misurazione con il cronometro. Inoltre secondo la teoria il valore del periodo del pendolo con L=0,517 m dovrebbe essere pari a T=1,442 s ; dopo le 100 misurazioni il valor medio del periodo risulta essere 𝑇 = 1,455 s. Da qui si evince che, nonostante un valore di g non accurato, la

tecnica di utilizzare il valor medio su un elevato numero di misurazioni permette di ottenere un valore assai vicino a quello teorico: di conseguenza riduce l’effetto degli errori, avendo così un errore di ∆T=0,013 s. Un ulteriore confronto è dato dal valore misurato con il programma tracker, il quale ha misurato il periodo a partire dal filmato, ottenendo un valore pari a T=1,48 s. Questa lieve differenza è dovuta al fatto che si è partiti da una distanza ‘b’ leggermente diversa, che però ha variato il valore solo al centesimo di secondo. Dal grafico della media osserviamo che i valori medi delle prime misurazioni differiscono molto, causando ripidi cambiamenti nel grafico, ma successivamente all’aumentare del numero di misurazioni il valore medio di T si stabilizza sempre più. Si nota inoltre che tra i primi valori si discostano molto dal valore finale e dai restanti: questa differenza è probabilmente dovuta a un calo di concentrazione. Dal grafico della deviazione standard si nota che l’incertezza sulla misura aumenta in un momento iniziale dovuto al calo di concentrazione (che ha causato una brusca variazione del valore di T misurato) per poi stabilizzarsi sul valore iniziale, nella parte finale. Questo ci fa capire che non siamo riusciti a diminuire l’incertezza nelle nostre misurazioni, rimanendo però costanti sui valori ottenuti. Dal confronto tra l’istogramma della densità di frequenza e la gaussiana si evince che i valori del periodo misurati rispecchiano in parte la distribuzione limite ipotizzata (poiché la gaussiana mi permette di fare previsioni sul risultato di una misura). La notevole larghezza della gaussiana ci fa capire che i dati non sono precisi quindi affetti da errori casuali, dovuti probabilmente alle condizioni o agli strumenti di misurazioni.

●OBIETTIVO 2 ESPERIENZA: -Variare 5 volte la lunghezza del filo del pendolo. -Per ogni lunghezza, calcolare 5 volte il periodo, cronometrando 5 oscillazioni alla volta e poi dividendo per 5 (per diminuire errore). -Riportare dati in una tabella nel foglio di calcolo e procedere alla loro elaborazione. -Si ricava il valore di g e della sua incertezza Δg. ELABORAZIONE DATI -Procedere al calcolo del periodo medio per ciascuna lunghezza del filo, utilizzando la formula dell’obiettivo 1. Successivamente lo si eleva al quadrato. -Considerata ora la relazione fra il periodo medio al quadrato e la lunghezza del filo, si ottiene la seguente dipendenza lineare:

4𝜋 𝑇 ² = ⋅𝐿 𝑔 2

-Ricavare la formula della retta di interpolazione dei dati y=Bx+A, rappresentata su  ². un grafico x,y, in cui x = L e y =𝑇

-Si ottiene quindi A=( 0,1082 ± 0,8336 ) e B=( 4,0766 ± 0,1977 ) s²/m. -Bisogna ora considerare l’incertezza sulle due misure: δ𝑇 ² = 𝑇·(𝑇𝑚𝑎𝑥 - 𝑇𝑚𝑖𝑛 ) s²

δL=0,001m

-Noti ora A e B, procedere nel calcolo della g = ( 9,68 ± 1,30 ) m/s².

COMMENTI E DISCUSSIONE SUI RISULTATI Confrontando i valori dei parametri B = 4,076 e A = 0,1082 della retta interpolante, ottenuti avvalendosi del metodo del fit dei minimi quadrati del foglio di calcolo Excel, e i valori teorici attesi, si nota una lieve differenza. Secondo la teoria il coefficiente angolare B della retta dovrebbe essere 𝐵 =

4𝜋 2 𝑔

=4,024 s²/m. L’errore relativo è dello 0,98%. Secondo la teoria il termine noto di intercetta A=0. Il nostro valore di A è approssimabile a 0, dunque rispecchia il risultato atteso. Si può notare come le incertezze sui valori siano elevate e addirittura il ∆A (l’incertezza sul valore A) è maggiore del valore stesso di A. Da qui si evince una scarsa precisione da parte nostra nelle misurazioni, ma soprattutto quanto un numero maggiore di misure ripetute possa aiutare ad eliminare questo tipo di errori: infatti inserendo un valore maggiore di ‘n’ nella formula (che indica il numero di misurazioni) il valore ottenuto è molto inferiore. Inoltre l’efficacia di un numero maggiore di misurazioni si può riscontrare nel primo obiettivo. Il valore di g ottenuto differisce di un ∆g=0,13 dal valore teorico di 9,81. Questa differenza è causata dal valore di poco preciso di B. COMMENTO FINALE Si può osservare che i due valori dell’accelerazione di gravità ottenuti con due metodi differenti, differiscono di un ∆g = 0,05. Si potrebbe quindi asserire che i due

metodi sono ugualmente accurati nel calcolo di g, anche se entrambi non portano all’effettivo valore teorico g=9,81 m/s², dovuti a errori evidenziati nelle discussioni precedenti. Però il primo metodo è più preciso perché porta a un’incertezza δg=0,11, mentre il secondo a un δg=1,30: questa differenza è dovuta al fatto che nel primo obiettivo abbiamo effettuato un numero maggiore di misurazioni. Anche se i valori ottenuti sono poco accurati, siamo fiduciosi sul fatto che gli errori siano dovuti alla nostra prima esperienza in un laboratorio di fisica. Grazie a questa esperienza abbiamo potuto verificare molte delle teorie studiate a lezione e abbiamo potuto verificare in prima persona le difficoltà del lavoro di laboratorio scientifico....