Retroalimentación Taller 2 ejercicios resueltos PDF

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Ejercicios resueltos de lógica matemática es material práctico para nivelación...

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D EPARTAMENTO DE F ORMACIÓN B ÁSICA F UNDAMENTOS DE M ATEMÁTICA

L ISTA

DE

E JERCICIOS P ROPU ESTOS CON

RETROALIME NTACIÓN DIFE RIDA

NO. 1

Ejercicios 1. Muestre que la siguiente proposición se puede expresar mediante otras proposiciones en la Lógica de proposiciones. Represente simbólicamente esta proposición bajo las reglas de sintaxis de la Lógica: Si un número real es mayor que cero, entonces su inverso aditivo es menor que cero y su cuadrado es mayor que cero. Solución. Se ve fácilmente que esta es proposición que se expresa a través de tres proposiciones: (a) Un número real es mayor que cero; (b) El inverso aditivo del mismo número es menor que cero; y (c) El cuadrado del número es mayor que cero. y de las palabras si-entonces e y. Si P: un número real es mayor que cero, Q: el inverso aditivo del número es menor que cero, R: el cuadrado del número es mayor que cero, la proposición dada se puede simbolizar de la siguiente manera: P ⇒ ( Q ∧ R).

2. Dada la proposición El cuadrado de un número real distinto de 0 es mayor que 0, identifique las proposiciones mediante las que se expresa. Solución. En primer lugar, las proposiciones de este tipo siempre se pueden expresar de la siguiente manera: Si un número real es distinto de 0, el cuadrado de ese número real es mayor que 0. Ahora se ve claramente que esta proposición está expresada mediante las proposiciones: i) Un número real es distinto de 0; y ii) el cuadrado de un número real es mayor que 0. Estás dos proposiciones se relacionan mediante la pareja si-entonces. Además, si

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P: Un número real es distinto de 0; y Q: El cuadrado del número es mayor que 0, entonces la proposición dada se representa simbólicamente así: P ⇒ Q.

3. Demostrar que la siguiente proposición es una tautología

( P ⇒ ( Q ⇒ R )) ⇒ (( P ⇒ Q) ⇒ ( P ⇒ R )).

Demostración. Una manera sencilla de demostrar que la proposición es una tautología es elaborando una tabla de verdad de la proposición

( P ⇒ ( Q ⇒ R)) ⇒ (( P ⇒ Q) ⇒ ( P ⇒ R)). La tabla de verdad de ( P ⇒ ( Q ⇒ R)) ⇒ (( P ⇒ Q) ⇒ ( P ⇒ R)) a la que representaremos como T es: P v v v v f f f f

Q v v f f v v f f

R v f v f v f v f

Q⇒R v f v v v f v v

P ⇒ ( Q ⇒ R) v f v v v v v v

P⇒Q v v f f v v v v

P⇒R v f v f v v v v

( P ⇒ Q) ⇒ ( P ⇒ R) v f v v v v v v

T v v v v v v v v

así, ( P ⇒ ( Q ⇒ R)) ⇒ (( P ⇒ Q) ⇒ ( P ⇒ R)) es una tautología, puesto que su valor de verdad es verdadero independientemente de los valores de verdad de las otras proposiciones y esta se llamará Segundo Axioma Lógico.

4. Si La negación de la conjunción de las proposiciones P y Q es equivalente lógicamente a la implicación de las proposiciones P y ¬ Q ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? (a) La proposición ¬( P ∧ Q) ≡ ( P ⇒ ¬ Q) es una tautología. (b) Se tiene que: ¬( P ∧ Q) = ( P ⇒ ¬ Q). (c) Corresponde a la lectura de la proposición ¬( P ∧ Q) ≡ ( P ⇒ ¬ Q) (d) Corresponde a la lectura de la proposición P ∨ Q ≡ P ⇒ ¬ Q Respuesta. La afirmación correcta es (c): Corresponde a la lectura de la proposición ¬( P ∧ Q) ≡ ( P ⇒ ¬ Q), puesto que, ¬( P ∧ Q) se lee: La negación de la conjunción de las proposiciones P y Q, P ⇒ ¬Q la implicación de las proposiciones P y ¬ Q y ¬( P ∧ Q) ≡ ( P ⇒ ¬ Q), como es una relación entre proposiciones se lee La negación de la conjunción de las proposiciones P y Q es equivalente lógicamente a la implicación de las proposiciones P y ¬ Q. Las afirmación presentada en la opción (a) no es correcta, puesto que no representa una proposición, por lo que, resulta inconsistente decir que tiene un valor de verdad; la opción (b) no es correcta,

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puesto que al hablar de dos proposiciones que son equivalentes lógicamente se tiene una relación entre proposiciones que emplea el símbolo ≡; además, no se ha definido el símbolo = en este capítulo; (d) no es correcta, puesto que la proposición P ∨ Q se lee La disyunción de P Y Q mas no La negación de la conjunción de las proposiciones P y Q.

5. ¿Los cuadros P v v f f

Q v f v f

P∨Q v v v f

( P ∨ Q) ⇒ Q v f v v

Q f v v f

y

P v f f v

P∨Q v v v v

( P ∨ Q) ⇒ Q f v v f

son tablas de verdad de la proposición ( P ∨ Q) ⇒ Q? Respuesta. No, la primera tabla sí es una tabla de verdad de la proposición ( P ∨ Q) ⇒ Q porque presenta todas las posibilidades para el valor de verdad de dicha proposición según los valores de verdad de las proposiciones mediante las que se expresa. En cambio, en la segunda tabla no se presentan todas las posibilidades para el valor de verdad de la proposición ( P ∨ Q) ⇒ Q, a pesar de que se propone cuatro posibilidades, de hecho las filas uno y cuatro tienen los mismos valores de verdad para P y Q; es decir, esas dos filas, representan una única posibilidad para el valor de verdad de la proposición en cuestión. Lo mismo ocurre en las filas dos y tres.

6. Mediante la definición de deducción, demuestre que de la conjunción de P y Q se deduce Q. Demostración. Por la definición de deducción verifiquemos que

( P ∧ Q) ⇒ Q representa una tautología. Para lo cual, se elaborará la tabla de verdad de la proposición P v v f f

Q v f v f

P∧Q v f f f

( P ∧ Q) ⇒ Q v v v v

Atención: Las siguientes locuciones son sinónimos de “Q se deduce lógicamente de la conjunción de P y Q”. • De la conjunción de P y Q se deduce lógicamente Q. • La conjunción de P y Q implica lógicamente Q. • Q se infiere de la conjunción de P y Q. • De la conjunción de P y Q se infiere Q. 7. ¿Podríamos sustituir esta proposición La clase universal no es conjunto o la clase vacío no es conjunto por esta otra No es verdad que las clases universal y vacío son conjuntos sin que el valor de verdad de la proposición resultante luego de la sustitución cambie? Respuesta. Sí, se puede sustituir la proposición

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La clase universal no es conjunto o la clase vacío no es conjunto, por No es verdad que las clases univero y vacío son conjuntos En efecto, si representamos la proposición con P y Q respectivamente: i) La clase universal es conjunto; ii) La clase vacío es conjunto; entonces ¬ P representa la proposición La clase universal no es un conjunto y ¬ Q representa La clase vacío no es un conjunto, la proposición La clase universal no es conjunto o la clase vacío no es conjunto se representa como ¬ P ∨ ¬ Q; de esto, la proposición No es verdad que las clases univero y vacío son conjuntos se representa así

¬( P ∧ Q). Ahora, esta sustitución es posible, ya que cumple con la Ley de Morgan para la negación de la conjunción que dice: La disyunción de la negación de dos propociones tiene el mismo valor de verdad que la negación de la conjunción de dichas proposiciones y viceversa

8. Si

x2 − x − 6 = 0 ≡ ( x − 3)( x + 2) = 0

y

( x − 3)( x + 2) = 0 ≡ x = 3 ∨ x = −2 ¿Entonces podemos decir que x2 − x − 6 = 0 ≡ x = 3 ∨ x = −2?

Respuesta. Sí, esto se puede explicar por la Propiedad transitiva de las equivalencias lógicas, la cual dice Si una proposición es equivalente lógicamente a otra proposición y esta segunda es equivalente lógicamente a una tercera proposición, entonces la primera proposición es equivalente lógicamente a la tercera. En este caso, la proposición x2 − x − 6 = 0 es equivalente lógicamente a

( x − 3)( x + 2) = 0 y la proposición

( x − 3)( x + 2) = 0 es equivalente lógicamente a x = 3 ∨ x = −2

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Así por la propiedad transitiva de las equivalencias lógicas podemos concluir que: x 2 − x − 6 = 0 ≡ x = 3 ∨ x = −2

9. En la teoría de los números reales, se sabe que es verdadera la proposición Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0. ¿Es verdadera la proposición: Si a 6= 0 y b 6= 0, entonces ab 6= 0? Respuesta. Sí, es verdadera. En efecto, no es muy difícil ver que la proposición Si a 6= 0 y b 6= 0, entonces ab 6= 0 es equivalente lógicamente a la proposición Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0; por tanto, ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Para ver que estas proposiciones son equivalentes lógicamente, basta con ver que la primera se representa simbólicamente por (¬ P ∧ ¬ Q) ⇒ ¬ R, (1) donde i) P: a = 0; ii) Q: b = 0; y iii) R: ab = 0; y la segunda proposición se representa por R ⇒ ( P ∨ Q).

(2)

Ahora bien, recordemos la equivalencia lógica Contrapositiva nos asegura que R ⇒ ( P ∨ Q) ≡ ¬( P ∨ Q) ⇒ ¬ R.

(3)

Ahora bien, también sabemos por la equivalencia lógica Ley de De Morgan para la negación de la conjunción, que ¬( P ∨ Q) ≡ ¬ P ∧ ¬ R; por tanto, por el Principio de sustitución, concluimos que

¬( P ∨ Q) ⇒ ¬ R ≡ (¬ P ∧ ¬ R) ⇒ ¬ R.

(4)

Por último, por la propiedad transitiva de la equivalencia lógica, de las equivalencias (3) y (4), concluimos R ⇒ ( P ∨ Q) ≡ (¬ P ∧ ¬ R) ⇒ ¬ R; por tanto, estas dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad; es decir, las proposiciones: Si a 6= 0 y b 6= 0, entonces ab 6= 0 y Si a 6= 0 y b 6= 0, entonces ab 6= 0 tienen el mismo valor de verdad. Y, como sabemos que la primera es verdadera, la segunda tiene que serlo necesariamente (por la definición de equivalencia lógica).

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