Ringkasan Materi IPA PDF

Preview

Summary

MATEMATIKA DASAR FUNGSI x−b Bentuk linear: f ( x) = ax + b ⇒ f ′( x ) = a ax + b Bentuk pecahan: f ( x) = cx + d − dx + b f −1 ( x) = cx − a f ′( x) = a x ⇒ f −1 ( x) = a log x Bentuk eksponen: 1 F ( x) = a px ⇒ f −1 ( x) = a log x p Bentuk logaritma: f ( x ) = a log x ⇒ f −1 ( x) = a x Bentuk akar ...

Description

MATEMATIKA DASAR FUNGSI Bentuk linear: f ( x) = ax + b Bentuk pecahan:

f ′( x ) =

⇒

ax + b cx + d − dx + b f −1 ( x) = cx − a

Bentuk eksponen:

x−b a

f ( x) =

f ′( x) = a x

⇒

f −1 ( x) = a log x

F ( x) = a px

⇒

f −1 ( x) = a log x p

1

Bentuk logaritma: f ( x ) = a log x Bentuk akar pangkat:

f ( x) = n ax + b ⇒

f −1 ( x) =

⇒

f −1 ( x) = a x

xn − b a

Bentuk fungsi kuadrat:

f ( x) = ax 2 + bx + c ⇒

1 a

f −1 ( x ) = ±

D⎞ b ⎛ ⎜x+ ⎟− 4a ⎠ 2a ⎝

Komposisi fungsi : Jika f ( x) = ax + b ⇒ fog ( x) = px + q px + q − b Maka : g ( x) = a Jika f ( x) = ax + b ⇒ fog ( x) = px 2 + qx + r px 2 + qx + r − b Maka : g ( x) = a f ( ax + b) = px 2 + qx + r , maka : f ( x) = f ( ax + b ) = px 2 + qx + r

(

)

f ( g ( x )) = h( x) maka : f ( x) = h g −1 ( x )

1

LIMIT Limit fungsi aljabar

1. Bentuk pecahan : ax n + ............... ..... bx m + ............... .....

lim x→~

jika n > m jika n < m

jawab : ~ jawab : 0 a jika n = m jawab : b n adalah pangkat tertinggi pembilang m adalah pangkat tertinggi penyebut

⇒

2. Bentuk akar : ax 2 + bx + c −

lim

px 2 + qx + r

x→~

Perhatikan nilai a dan b

(2) jika a < p

b−q 2 a jawaban : −~

(3). jika a > p

jawaban + ~

(1). Jika a = p

jawaban :

1

lim x = 0 lim k = k ⇒ k = kons tan ta Jika lim f ( x ) ada dan lim g ( x ) , maka : lim k f ( x) = k lim f ( x) lim [ f ( x) + f ( g )] = lim f ( x) + lim g ( x) lim [ f ( x) − f ( g )] = lim f ( x) − lim g ( x) lim [ f ( x) ⋅ f ( g )] = lim f ( x) ⋅ lim g ( x) f ( x) f ( x) lim lim g ( x) = lim g ( x) x→~

n

x→~

x →!~

x →~

x→~

x→~

x→~

x→~

x →~

x→~

x →~

x→~

x→~

x →~

x→~

x→~

x→~

x→~

n

[ f ( x)] = ⎡⎢ lim f ( x)⎤⎥ lim x→~ ⎣ x→~ ⎦ n ax + ............... ⇒ bagilah ma sin g − ma sin g suku dengan x pangkat tertinggi lim m x → ~ bx + ............... m

lim

ax 2 + bx + c −

px 2 + qx + r

kalikan dengan :

x→~

2

ax 2 + bx + r +

px 2 + qx + r

ax 2 + bx + r +

px 2 + qx + r

LIMIT

1. lim x →0

MENDEKATI

BILANGAN TERTENTU

ax n + bx n −1 + ................ + c c = px m + qx m −1 + ............... + r r

............... + n2 x p +1 + n1 x p 2. lim p +1 + m1 x q x → 0 ............... + m2 x 3. lim x →0

jika ⇒

ax a ( p + q) = p + bx − q − cx ( p − q ) + b + c

f ( x)

lim g ( x)

⇒

jika jika

p > q maka = 0 n p = q maka 1 m1 p < q maka ~

substitusikan a ke fungsi

x →0

0⎞ a a ⎛ atau atau jika hasi ln ya : tertentu ⎜ misalkan ⎟ merupakan jawaban yang dicari 0 b b⎠ ⎝ 0 ~ 0⎞ ⎛ atau atau tak tentu ⎜ misalkan ⎟ selesaikan dengan menguraikan 0 ~ ~⎠ ⎝

3

LOGARITMA a

log x syarat , maka : a ≠ 0 , a ≠ 1 , a ∉ Bilangan negatif maka : x ≠ 0 , x ∉ bilangan negatif ( x ≥ 0 )

1. a log b = c ⇒ a c = b

(a ≥ 0

dan a ≠ 1) ,

14. a log 2 x + b log x + c = 0

2. a log (b ⋅ c ) = a log b + a log c

mempunyai akar − akar

3. a log (b : c ) = a log b − a log c

maka x1 x2 = 10 a

4. a log b =

t t

log a log b

−b

dan t ≥ 0 dan t ≠ 1

15.

1 5. log b = b log a a

an

log b n = a log b

am

log b n =

n a log b ⇒ sehingga : m

log b

(a )

GRAFIK

am

⎛ an ⎞ ⎜ log b r ⎟ ⎜ ⎟ ⎠

m⎝

log a n =

⎛a⎞ F ( x) + F ⎜ ⎟ = F (a ) = −1 ⎝ x⎠

n m

m n

FUNGSI

LOGARITMA y = a log x , a > 1

ke − kanan ⇒ ke − kiri ⇒

(1 , 0 )

( )

y = a log a n x

ke − bawah ⇒

maka :

( )

= br

y = a log x digeser n satuan

ke − atas ⇒

a

log x 1 − 2 a log x

y Jika grafik

2

⎛a⎞ f ⎜ ⎟ = f (a ) − f (b ) ⎝b⎠ f (a ⋅ b ) = f (a ) + f (b ) 17. Jika f ( x) =

= b ⇒ sehingga : n r m s 13. a log b m ⋅ b log a s = ⋅ n r 12. a

a

⎛b+c⎞ = log ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ g

16. Jika f ( x) = g log x , maka :

9. a log b ⋅ b log c ⋅ c log d ⋅ d log e = a log e

11.

f ( x) = g log b + g log c maka : f MAKS

6. a log b n = n a log b 1 7. a log b = a log b 2 m a 8. a log n b m = log b n

10.

x1 dan x2

⎛ x ⎞ y = a log ⎜ n ⎟ ⎝a ⎠ y = a log ( x − n )

y = a log x , a < 1

y = a log ( x + n )

4

PERTIDAKSAMAAN Pertidaksamaan h arg a mutlak f ( x) < a ⇔ a < f ( x) < a f ( x) > a ⇔ a

log f ( x) < b ⇔

1 < f ( x) < a ab

x2 = x

1. 2.

f ( x) < − a atau a < f ( x)

x untuk x ≥ 0 ⇒ untuk x ≤ 0 ⇒

3.

x ≤a ⇔

4.

x + a ≤ 2x + b

5.

x ≥ 0 maka

6.

x

7.

x ≤0 ⇒ x=0

8.

x+ y ≤ x + y

9.

x⋅ y = x

x =x x = −x

x2 ≤ a2 ⇔

(x + a )2 ≤ (2 x + b )2

x∈R

⇒ tidak ada h arg a x yang memenuhi

y

10. x − y ≤ x − z + z − y 11. x − y ≤ x + y

f ( x) x

syarat

log f ( y ) syarat

f ( x) > 0 x ≠ 0 , x ∉ bilangan negatif , x ≠ 1 f ( y ) ≠ 0 , f ( y ) ∉ bilangan negatif

a syarat b ≠ 0 b * Sifat − sifat :

* Bentuk log aritma :

a > b ⇔ ac > bc untuk c > 0 a > b ⇔ ac < bc untuk c < 0

Jika a > 1 dan

a

a > b ⇔ a + c > b + c untuk c ∈ R

Jika a > 1 dan

a

a > b untuk

a > b maka : a 2 > b 2

untuk

a < b maka : a 2 < b 2

Jika 0 < a < 1 dan

a

log f ( x) ≥ a log g ( x) maka :

f ( x) ≤ g ( x) Jika 0 < a < 1 dan

* Bentuk umum : ax + b > c syarat

log f ( x) ≤ a log g ( x) maka : f ( x) ≤ g ( x)

a > 0 ⇒ a ⋅b > 0 b a > b , b > c maka : a > c penyelesaian : ax + b > c 2

log f ( x) ≥ a log g ( x) maka : f ( x) ≥ g ( x)

a

log f ( x) ≥ a log g ( x) maka :

f ( x) ≥ g ( x) * Bentuk eksponen :

: ax + b ≥ 0

a > 1 maka : a x > a y

⇒x>y

0 < a < 1 maka : a < a y x

5

⇒

y

GRAFIK DAN PERSAMAAN KUADRAT Grafik fungsi f ( x) = ax 2 + bx + c 1. Pengaruh faktor a : y

y

x

⇒

x

a > 0

a < 0

2. Pengaruh faktor b : y

y

x b > 0

y x b < 0

y

b=0

y

x

y

x

b < 0

putar kurva 900 ke − kiri

x

x

b > 0

b=0

y

* Bila kurva memotong sumbu y di atas sumbu x maka : c > 0 * Bila kurva memotong sumbu y di bawah sumbu x maka : c < 0 * Bila kurva melalui pangkal koordinat maka : c = 0

×c>0 c = 0× x

× c 0 dan D < 0 maka f ( x ) disebut definit positif ⎜⎜ ⎝ f ( x ) selalu positif ⎠ ⎛ semua grafik di bawah sumbu x ⎞ ⎟⎟ * Jika a < 0 dan D < 0 maka f ( x ) disebut definit negatif ⎜⎜ ⎝ f ( x) selalu negatif ⎠ 2

* f = f ( x ) = ax + bx + c dapat ditulis : 2

*x = −

b 2a

disebut sumbu simetri ⇒

⎛ b ⎞ b 2 − 4 ac ⎟ + f ( x) = a ⎜⎜ x + 2 a ⎟⎠ − 4a ⎝ penyebab f ( x) ekstrem

b 2 − 4 ac D diesbut nilai ekstrem = − 4a − 4a * Jika a > 0 maka yekstrem = ymin imum ⇔ Jika a < 0 maka yekstrem = ymaksimum *y =

⎛ b b 2 − 4 ac ⎞ ⎟ * Puncak parabola ⇒ ⎜⎜ − , − 4 a ⎟⎠ ⎝ 2a * Titik potong dengan sumbu y adalah ( 0 , c )

6

Sifat akar − akar persamaan kuadrat Jika x1 dan x2 akar − akar persamaan : ax 2 + bx + c = 0 , maka berlaku : 1. x1 + x2 =

−b a

3 abc − b3 a3 −b D 7. x12 − x22 = a2

6. x13 + x23 =

c a 1 b = x1 x2 c

2. x1 x2 = 3.

[

]

8. x14 + x24 = ( x1 + x2 ) − 2 ( x1 x2 ) − 2 ( x1 x2 )

D dengan D = b 2 − 4 ac a b 2 − 2 ac 5. x12 + x22 = a2 4. x1 − x2 =

( (x =

)( x +x )

9. x14 − x24 = x12 − x22 10.

1 1 + 2 2 x1 x2

2

2

2 1

2 1

+ x22

)

2 2 2

( x1 x2 )

* Bila akar − akar saling berlawanan ( x1 = − x2 ) , syarat ⇒ b = 0 ⎛ 1⎞ * Bila akar − akar saling berkebalikan ⎜⎜ x1 = ⎟⎟ , syarat ⇒ a = c x2 ⎠ ⎝ * Bila salah satu akarnya = 0 , syarat ⇒ c = 0 * Bila kedua akarnya sama (x1 = x2 ) , syarat ⇒ x1 = x2 = −

b 2a

ax 2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 dengan a , b , c ∈ R dapat diselesaikan dengan cara : 1. memfaktorkan 2. membentuk pers. kuadrat sempurna 3. dengan rumus : x1, 2

− b ± b 2 − 4 ac = 2a

⇒ dapat ditulis : D = b 2 − 4 ac

DISKRIMINAN (D ) : * D ≥ 0 ⇒ memiliki akar real * D = k 2 ⇒ memiliki akar rasional * D > 0 ⇒ memiliki dua akar real yang berlainan * D = 0 ⇒ memiliki akar sama ( x1 = x2 ) * D < 0 ⇒ tidak memiliki akar real

* Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 memiliki akar x1 dan x2 sedemikian sehingga h arg a x1 = kx2 dim ana k = kons tan ta pembanding berlaku : kb 2 = (k + 1) ac 2

* Pers. kuadrat ax 2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2 + n , maka selisih akar

D = ( n ⋅ a)

2

dengan D = b 2 − 4 ac

7

2

Persamaan Kuadrat Baru (PKB)

a x 2 + bx + c = 0 1. PKB yang akar − akarnya k kali (kx1 dan kx2 ) dari ax 2 + bx + c = 0 adalah ax 2 + kbx + ck 2 = 0 ⎛1 1⎞ 2. PKB yang akar − akarnya kebalikan ⎜⎜ dan ⎟⎟ dari ax 2 + bx + c = 0 x2 ⎠ ⎝ x1 adalah cx 2 + bx + a = 0 3. PKB yang akar − akarnya berlawanan (− x1 dan − x2 ) dari ax 2 + bx + c = 0 adalah ax 2 − bx + c = 0 4. PKB yang akar − akarnya x12 dan x22 dari ax 2 + bx + c = 0

(

)

adalah a 2 x − b 2 − 2 ac x + c 2 = 0 5. PKB yang akar − akarnya x13 dan x22 dari ax 2 + bx + c = 0

(

)

a 3 x − 3 abc − b3 x + c3 = 0 6. PKB yang akar − akarnya x1 + k dan x2 + k (k lebihnya dari ) dari ax 2 + bx + c = 0 adalah a ( x − k ) + b ( x − k ) + c = 0 2

7. PKB yang akar − akarnya x1 − k dan x2 − k (k kurangnya dari ) dari ax 2 + bx + c = 0 adalah a ( x + k ) + b ( x + k ) + c = 0 x x 8. PKB yang akar − akarnya 1 dan 2 dari ax 2 + bx + c = 0 x1 x2 2

(

)

(

)

adalah acx 2 − b 2 − 2 ac x + ac = 0 1 1 9. PKB yang akar − akarnya 2 dan 2 dari ax 2 + bx + c = 0 x1 x2 adalah c 2 x 2 − b 2 − 2 ac x + a 2 = 0 10. PKB yang akar − akarnya x1 + x2 dan x1 ⋅ x2 dari ax 2 + bx + c = 0 adalah a 2 x 2 + ( ab − c ) x − bc = 0

Persamaan kuadrat yang akar − akarnya α dan β adalah

x2 − ( α + β ) x + ( α ⋅ β ) = 0

a1 x 2 + b1 x + c1 Kuadrat ganda : r = a2 x 2 + b2 x + c2

Pers. kuadrat ganda yang mempunyai akar − akar , dim ana h arg a akarnya ditentukan oleh h arg a r ⇒ D2 r − ( 2 b1 b2 − 4 ( a1 c1 + a2 c2 )) r + D1 = k

8

PERSAMAAN 1. Persamaan garis melalui dua titik

x1 x2 y1 = Q

y1

K ( x1 , y1 ) dan L ( x2 , y2 ) :

y1 − y 2 = B x1 − x2 = A

y2 x1 y 2 = P

x2

GARIS

Hasil pers. yang dim aksud : A y = Bx + (P − Q ) A y = Bx + ( P − Q ) 2. Pers. garis melalui titik M ( x3 , y3 ) dan ⊥ garis yang melalui titik K ( x1 , y1 )

dan titik L ( x2 , y2 ) :

3. 4. 5. 6.

x1

y1

x2

y2

x1 − x2 = A ⇒

_

y1 − y2 = B

Ax + By = Ax3 + By3 Hasil : Ax + By = Ax3 + By3 Pers. garis melalui ( a , b ) sejajar Ax + By + C = 0 ⇒ Ax + By = Aa + Bb Pers. garis melalui ( a , b ) ⊥ Ax + By + C = 0 ⇒ Bx − Ay = Ba − Ab Pers. garis melalui ( 0 , a ) dan ( b , 0) ⇒ ax + by = ab (Hukum Hess ) Titik potong garis g : y = m1 x + c1 dan garis h : y = m2 x + c2 adalah : x=

c1 − c2 m2 − m1

y=

dan

m2 c1 − m1 c2 m2 − m1

7. Jarak titik A ( x1 , y1 ) dengan garis ax + by + c = 0 ⇒ d =

ax1 + by1 + c a 2 + b2

8. Jarak dua buah garis yang sejajar antara ax + by + c1 = 0 dengan ax + by + c2 = 0 , adalah : d=

c1 − c2 a 2 + b2

9. Tiga buah titik ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) terletak dalam satu garis jika : x3 − x1 y3 − y1 = x2 − x1 y2 − y1 10. Jika garis ax + by + c = 0 digeser

k satuan ke − kanan ⇒ a ( x − k ) + by + c = 0 k satuan ke − kiri ⇒ a ( x + k ) + by + c = 0

k satuan ke − atas ⇒ ax + b ( y − k ) + c = 0 k satuan ke − bawah ⇒ ax + b ( y + k ) + c = 0

9

GRADIEN 1. * Gradien suatu garis m =

y x

atau m = tan a

* Gradien suatu garis ax + by + c = 0 ⇒ m = * Gradien suatu garis

y −a b

y = mx + c ⇒ m

* Gradien garis melalui (x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ) ⇒ m = 2. Pers. garis melalui (a , b ) dengan gradien m ⇒ 3. Pers. garis melalui titik ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 )

y2 − y1 x2 − x1

y − b = m (x − a ) y − y1 x − x1 ⇒ = y2 − y1 x2 − x1

4. Pers. dua garis : g ⇒ y = m1 x + c1 l ⇒

y = m2 x + c2

garis g sejajar garis l , bila : m1 = m2 garis g ⊥ l , bila : m1 ⋅ m2 = −1 5. Pers. garis ax + by + c = 0 dan px + qy + r = 0 akan : a p * sejajar bila : dan c ≠ r = b q a p c * berimpit bila : = = b q r * berpotongan bila : aq − bq ≠ 0 m − m2 6. Dua garis berpotongan bebas , mak : tan α = 1 1 + m1 m2 dim ana α

adalah sudut yang dibentuk oleh kedua garis.

10

a

x

TRIGONOMETRI y r x * cos a = y y * tan a = x * sin a =

* cos ec a =

r

y a

r y

⇒ sec a =

x

r x

⇒ cot a =

x y

dengan r 2 = x 2 + y 2

* sin 2 a + cos 2 a = 1 * cos 2 a = 1 − sin 2 a * sin 2 a = 1 − cos 2 a sin a * tan a = cos a 2 * tan a + 1 = sec 2 a * cot 2 a + 1 = cos ec 2 a

(90 − a ) = + cos a (90 − a ) = + sin a ( ) (90 − a ) = + cot a (90 − a ) = + tan a sin (180 − a ) = + sin a cos (180 − a ) = − cos a untuk sudut (180 − a ) atau (90 + a ) : tan (180 − a ) = − tan a cot (180 − a ) = − cot a sin (90 + a ) = + cos a cos (90 + a ) = − sin a tan (90 + a ) = − cot a cot (90 + a ) = − tan a sin (180 + a ) = − sin a cos (180 + a ) = − cos a tan (180 + a ) = + tan a cot (180 + a ) = + cot a untuk sudut (180 + a ) atau (270 − a ) : sin (270 − a ) = − cos a cos (270 − a ) = − sin a tan (270 − a ) = + cot a cot (270 − a ) = + tan a

sin cos 1. Kuadran Ι : untuk sudut 900 − a 0 : tan cot

2. Kuadran ΙΙ :

3. Kuadran ΙΙΙ :

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

11

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4. Bentuk y = A sin px + c atau y = A cos px + c ymaksimum = A + c ⇒ ymin imum = − A + c Periode :

π

P 5. Bentuk f ( x) = a cos x + b sin x + c dapat ditulis f ( x) = k cos ( x − α ) + c , dengan k = a 2 + b 2 f ( x) maksimum = k + c ⇒ f ( x) min imum = −k + c 6. Jumlah (α + β ) dan selisih (α − β ) untuk dua sudut : sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β tan α + tan β tan (α + β ) = 1 − tan α tan β tan α − tan β tan (α − β ) = 1 + tan α tan β 7. Fungsi trigonometri dengan sudut berbeda : sin α + sin β = 2 sin 12 (α + β )cos 12 (α − β ) sin α − sin β = 2 cos 12 (α + β )sin 12 (α − β )

cos α + cos β = 2 cos 12 (α + β )cos 12 (α − β )

cos α − cos β = −2 sin 12 (α + β )sin 12 (α − β ) 8. Perkalian fungsi trigonometri dengan sudut berbeda : 2 sin α cos β = sin (α + β ) + sin (α − β ) 2 cos α sin β = sin (α + β ) − sin (α − β ) 2 cos α cos β = cos (α + β ) + cos (α − β ) − 2 sin α cos β = cos (α + β ) − cos (α − β ) 9. Untuk sudut kembar : sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α 2 tan α 1 − tan 2 α 10. Rumus pengembangan : tan 2α =

sin α = 2 sin 12 α cos 12 α cos α = cos 2 12 α − sin 2 12 α = 2 cos 2 12 α − 1 = 1 − 2 sin 2 12 α

12

dan tan α =

b a

11. Sudut rangkap 3α : sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α 3 tan α − tan 3 α 1 − 3 tan 2 α 12. Aturan sin us : tan 3α =

C

a b c = = sin A sin B sin C 13. Aturan cos inus : 2

2

b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cos B

A

c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos C 14. L Δ =

1 2

a

b

a = b + c − 2 bc cos A 2

B

c

ab sin C = 12 ac sin B = 12 bc sin A

= s (s − a ) (s − b ) (s − c ) ⇒ dengan s =

a+b+c 2

15. Grafik fungsi trigonometri : y y = sin x 1

00

900

1800

2700

x

3600

–1

y

y = cos x

1

00

902

1800

2700

3600

x

–1

y = tan x

y 00

900

1800

2700

3600

13

x

BARISAN

DAN

DERET

A. Deret Aritmetika : Bentuk umum : a , a + b , a + 2b , a + 3b , .................. , a + (n − 1) U1 U 2 U3 U 4 , .................. , Un

1. U n = a + (n − 1) n 2. S n =

1 2