RINGKASAN MATERI - Copy PDF

Preview

Summary

Ringkasan Materi A T I KA M MATE KA FISI A KIMI O L O GI BI E SIA O N S A IND BAHA N G G RIS H A S A I BA [email protected] MATEMATIKA BAB 1 EKSPONEN DAN LOGARITMA A. EKSPONEN 2. Persamaan Eksponen Definisi a. a f ( x ) = ag ( x ) ⇒ f (x) = g(x) Jika a adalah suatu bilangan real dan n suatu ...

Description

Ringkasan Materi KA I T A M MATE KA FISI A KIMI GI O L O BI SIA E N O IND A S RIS G BAHA G N A I S A H BA

[email protected]

MATEMATIKA

BAB 1

EKSPONEN DAN LOGARITMA

A. EKSPONEN

2. Persamaan Eksponen

Definisi Jika a adalah suatu bilangan real dan n suatu bilangan bulat positif (bilangan asli), maka: a n = a × a × a × a × ... × a Dengan: a = bilangan pokok (basis) dan n = pangkat atau eksponen

1. Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat Positif Jika m, n, dan p adalah bilang bulat positif, a , b ∈ R , maka: a.

a m × a n = a m+ n

b. a m : a n = a m−n , a ≠ 0 c.

(a )

m n

n p

mp

np

p

e. f. g.

3. Pertidaksamaan Eksponen Jika a f ( x ) > ag ( x ) maka berlaku: n f(x) > g(x) , untuk a > 1 n f(x) < g(x) , untuk 0 < a < 1

B. BENTUK AKAR

= a mn

d. (a b ) = a b m

a. a f ( x ) = ag ( x ) ⇒ f (x) = g(x) b. a f ( x ) = b f ( x ) ⇒ f (x) = 0 g(x) h( x ) c. f ( x ) = f ( x ) maka: n g(x) = h(x) n f(x) = 1 n f(x) = –1, g(x) dan h(x) sama-sama genap/ ganjil n f(x) = 0, g(x) dan h(x) sama-sama positif

 a m  a mp  n  = np , b ≠ 0 b b  a0 = 1 , a ≠ 0 1 a−n = n , a ≠ 0 a

Sifat-sifat Bentuk Akar a.

n

a ⋅ b = a⋅b a a = b b

b. c. d. e.

an = a

n

m

am = a n 1 1 a 1 = × = a a a a a

[email protected]

C. LOGARITMA Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok, sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui. a

log b = c ⇔ a c = b

Di mana: 1. a dinamakan bilangan pokok dengan 0 < a < 1 atau a > 1, 2. b dinamakan numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan b > 0, 3. c dinamakan hasil logaritma. 1. Sifat-Sifat Logaritma Dalam logaritma berlaku sifat-sifat sebagai berikut. a.

a

log b = c ⇔ a = b

b.

a

log b + a log c = a log bc

c. d.

c

a

an

log b − a log c = a log

log bm =

b c

m a ⋅ log b n

BAB 2

e. f.

log b =

g. a h.

p

log b , dengan 0 < p < 1 ∨ p > 1 log a 1 a log b = b log a a

a

a

log b

p

=b

log b ⋅ b log c ⋅ c log d = a log d

2. Persamaan Logaritma a

log f (x) = a log g(x) ⇒ f (x) = g(x)

3. Pertidaksamaan Logaritma Jika a log f (x) ≤ a log g(x) , maka berlaku: I. Syarat Basis: 1. Untuk 0 < a < 1 f ( x ) ≥ g( x ) 2. Untuk a > 1 f ( x ) ≤ g( x ) II. Syarat Numerus: 1. f (x) > 0 2. g(x) > 0

PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT −b c x1 ⋅ x2 = a a

A. PERSAMAAN KUADRAT

x1 + x2 =

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah

x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 ⋅ x2

ax 2 + bx + c = 0

dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0 . 1. Jenis-jenis Akar Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 mempunyai: 1. akar real jika D ≥ 0 , 2. akar real berlainan jika D > 0 , 3. akar real kembar jika D = 0 , 4. akar imajiner/ khayal jika D < 0 , dengan D = b2 − 4ac . 2. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 , maka:

x1 − x2 =

D a

2

x12 − x22 = ( x1 + x2 )( x1 − x2 ) x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 ⋅ x2 ( x1 + x2 ) 3

1 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 ⋅ x2 3. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat Diketahui persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 akar-akarnya, maka sifat akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui: 1. Kedua akarnya positif, jika: x1 + x2 > 0 ; x1 ⋅ x2 > 0 ; D ≥ 0

[email protected]

2. Kedua akarnya negatif, jika:

dua titik. ii. D = 0 ⇒ parabola menyinggung sumbu x. iii. D < 0 ⇒ parabola tidak memotong sumbu x.

x1 + x2 < 0 ; x1 ⋅ x2 > 0 ; D ≥ 0 3. Kedua akarnya berlainan tanda, jika:

2. Nilai Ekstrem Dari Fungsi Kuadrat

x1 ⋅ x2 < 0 ; D > 0

Fungsi kuadrat f (x) = ax 2 + bx + c mempunyai:

4. Kedua akarnya berlawanan, jika:

1. Sumbu simetri: x =

x1 + x2 = 0 5. Kedua akarnya berkebalikan, jika:

D b2 − 4ac = 2. Nilai ekstrem: −4a −4a Nilai ekstrem maksimum jika a < 0. Nilai ekstrem minimum jika a > 0.

x1 ⋅ x2 = 1 4. Menentukan Persamaan Kuadrat

θ

Persamaan kuadrat baru yang akarnya α dan

−b 2a

adalah

x 2 − (α + β ) x + α ⋅ β = 0

3. Menyusun Persamaan Fungsi Kuadrat a. Diketahui titik puncak (x p , y p ) dan titik lain y = a(x − x p )2 + y p

B. FUNGSI KUADRAT

b. Diketahui titik potong dengan sumbu x, (x1 ,0) dan

Fungsi f yang didefinisikan sebagai f (x) = ax 2 + bx + c di mana a , b, c ∈ R dan a ≠ 0 didefinisikan sebagai fungsi kuadrat. 1. Hubungan a, b, c, dan D

(x2 ,0) serta titik lain y = a(x − x1 )(x − x2 ) c. Diketahui tiga titik pada parabola y = ax 2 + bx + c

Fungsi kuadrat f (x) = ax + bx + c didapat hubungan: a. “a” menentukan keterbukaan kurva. i. a > 0 ⇒ parabola terbuka ke atas. ii. a < 0 ⇒ parabola terbuka ke bawah. 2

a>0

a 0 maka puncak berada di sebelah kiri sumbu y. Jika a ⋅ b < 0 maka puncak berada di sebelah kanan sumbu y. c. “c” menentukan titik potong dengan sumbu y. i. c > 0 ⇒ parabola memotong sumbu y positif. ii. c = 0 ⇒ parabola memotong sumbu y di (0, 0). iii. c < 0 ⇒ parabola memotong sumbu y negatif.

4. Definit a. Definit Positif Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai positif untuk semua x disebut definit positif. Syarat: D < 0 dan a > 0 b. Definit Negatif Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai negatif untuk semua x disebut definit negatif. Syarat: D < 0 dan a < 0

d. “ D = b2 − 4ac ” menentukan titik potong dengan sumbu x. i. D > 0 ⇒ parabola memotong sumbu x di

[email protected]

BAB 3

PERTIDAKSAMAAN

A. SIFAT UMUM

C. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR

Sifat yang berlaku pada pertidaksamaan, untuk a, b, c, dan d ∈ R adalah sebagai berikut. 1. a > b maka a + c > b + c 2. a > b, c > d maka a + c > b + d 3. a > b, b > c maka a > c 4. a > b, c > 0 maka a c > b c 5. a > b, c < 0 maka a c < b c

Langkah penyelesaian: 1. Kuadratkan kedua ruas. 2. Syarat di dalam akar harus ≥ 0.

6. a > b, a > 0, b > 0 maka a2 > b2

Nilai mutlak untuk x Î R didefinisikan:

7. a > b, a < 0, b < 0 maka a2 < b2 a 8. > 0 maka a, b > 0 atau a, b < 0 b

B. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN Tanda koefisien pangkat tertinggi sama dengan tanda pada ruas yang paling kanan. Pangkat genap memiliki tanda yang sama. Pangkat ganjil memiliki tanda yang berlawanan.

n n n

BAB 4

D. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK NILAI MUTLAK

ìï x jika x > 0 ïï x = ïí-x jika x < 0 ïï ïïî 0 jika x = 0 Beberapa sifat penyelesaian pertidaksamaan mutlak: 1. x £ a Û -a £ x £ a 2. x ³ a Û x £-a atau x ³ a 3. f (x) £ g(x) Û ( f (x) + g(x))( f (x) - g(x)) £ 0 f (x) 4. £ k Û ( f (x) - k × g(x))( f (x) + k × g(x)) £ 0 g( x )

LOGIKA MATEMATIKA B. NILAI DAN TABEL KEBENARAN

A. DEFINISI Pernyataan (proposisi) adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. n Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan menjadi pernyataan jika variabel tersebut diganti konstanta dalam himpunan semestanya. Beberapa operator yang digunakan dalam logika. n

No 1

Operator Nama Lambang Negasi ~

p

q

~p

B

B

S

p∧q B

p∨ q B

pÞq B

pÛ q B

B

S

S

S

B

S

S

S

B

B

S

B

B

S

S

S

B

S

S

B

B

C. NEGASI/INGKARAN No

Arti Tidak, bukan

2

Konjungsi

Ù

dan, tetapi

3

Disjungsi

∨

atau

4

Implikasi

Þ

jika...maka

5

Biimplikasi

Û

jika dan hanya jika

Pernyataan

Negasi/Ingkaran

1

pÙq

 pÚ  q

2

pÚq

 pÙ  q

3

pÞq

pÙ  q

4

pÛq

pÙ   q pÚ  q pÙ q q

[email protected]

D. EKUIVALENSI

F. PENARIKAN KESIMPULAN

Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama. Contoh: p ⇒ q ≡  q ⇒  p ≡  p ∨ q

Modus Ponens

E. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI n n n

Konvers dari implikasi p Þ q adalah q Þ p Invers dari implikasi p Þ q adalah ~ p Þ ~ q Kontraposisi dari implikasi p Þ q adalah ~ q Þ ~ p

BAB 5

Modus Tollens

Sillogisme

pÞq p

(B) (B)

pÞq q

(B) (B)

p Þ q (B) q Þ r (B)

\ q

(B)

\  p (B)

\ p Þ r (B)

SISTEM PERSAMAAN DAN PERSAMAAN GARIS

A. SISTEM PERSAMAAN Sistem persamaan dapat diselesaikan dengan: n Metode eliminasi n Metode substitusi n Metode campuran

B. PERSAMAAN GARIS

n

Garis g dan h berpotongan tegak lurus jika

n

m1 × m2 = -1 Garis g dan h berpotongan dan membentuk sudut sebesar a dengan

tan a =

m1 - m2 1 + m1 × m2

1. Melalui titik ( x1 , y1 ) dengan gradien m, berlaku: y − y1 = m(x − x1 ) 2. Garis yang melalui ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ) , berlaku: y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1 3. Memotong sumbu x di titik (b, 0) dan sumbu y di titik (0, a) berlaku: y ax + by = a.b a b

x

C. HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS Diketahui garis g : y = m1 x + c1 dan garis h : y = m2 x + c2 maka Garis g dan h sejajar jika m1 = m2

n

[email protected]

BAB 6

STATISTIKA DAN PELUANG Data kelompok:

A. STATISTIKA

∑ f  c

1n− 2 Me = Q2 = tb +  fk  

1. Rata-rata/mean ( x ) Data tunggal: n

x + x + ... + xn = x= 1 2 n

∑x

n = banyak data, xi = data ke-i, i = 1, 2, 3, …, n.

i

i =1

n

tb = tepi bawah kelas yang memuat Me/Q2 f = jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas Me

∑

fk = frekuensi kelas yang memuat Me

Data kelompok: n

f x + f x + ... + fn xn = x= 1 1 2 2 f1 + f2 + ... + fn

 

∑fx

i i

fi = banyak data xi,

i =1 n

n = f1 + f2 + ... + fn .

∑f

(∑ )

1n− f 4  Q1 = tb1 +  f1 

i

i =1

Kuartil bawah (Q1):

2. Modus (Mo) Modus adalah data dengan frekuensi paling banyak atau data yang paling sering muncul. n Data tunggal: Contoh: Diketahui data: 3, 3, 6, 8, 7, 9, 9, 7, 5, 7, 7, 7. Modus dari data tersebut adalah 7. n Data kelompok:  d1  Mo = tb +  c  d1 + d2  tb = tepi bawah kelas modus d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya c = panjang kelas 3. Median (Me/Q2) Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Median bisa disebut juga kuartil 2 atau kuartil tengah. Data tunggal: Me = x n +1 Jika n ganjil maka: 2

xn + xn Jika n genap maka: Me =

4. Kuartil Nilai yang membagi sekumpulan data yang telah terurut menjadi 4 bagian. Data kelompok:

2

2

Kuartil atas (Q3):

3

 c  

 c  

Dengan: tb1 /tb3 = tepi bawah kelas yang memuat Q1 /Q3 ( ∑ f )1 / ( ∑ f )3 = jumlah frekuensi sebelum Q1/Q3 f1 / f3 = frekuensi kelas yang memuat Q1/Q3

5. Jangkauan (J) n Jangkauan atau range dirumuskan dengan: J = xmax − xmin n

Jangkauan antarkuartil (H): H = Q3 − Q1

n

Jangkauan semi antarkuartil (Qd): 1 Qd = (Q3 − Q1 ) 2

6. Simpangan rata-rata (SR) Data kelompok: Data tunggal: n

n

∑

| xi − x |

SR = +1

(∑ )

3n− f 4 Q3 = tb3 +   f3 

1

i =1

n

2

[email protected]

∑ f |x − x | i

SR =

i =1

i

n

∑f

i

i =1

7. Ragam/variansi (R) Data tunggal: n

R = S2 =

A1 × A2 × A3 × ... × In

Data kelompok: n

∑

| xi − x |2

i =1

n

∑ f |x − x | i

R = S2 =

2

i

i =1

Notasi Faktorial n! = 1 × 2 × 3 × ... (n – 1) × n 1! = 0! = 1 dengan n bilangan asli

n

∑f

i

i =1

8. Simpangan baku/deviasi standar (S) Data kelompok: Data tunggal: n

n

∑| x − x | i

S=

∑ f |x − x | i

i =1

S=

n

i =1

i

n

∑f

i

i =1

9. Perubahan data Bila masing-masing data diubah dengan nilai yang sama, berlaku Perubahan data + x :

Ukuran pemusatan + x :

Ukuran penyebaran TETAP TETAP x :

Catatan: - Yang termasuk ukuran pemusatan adalah: x , Mo, Me, Q1 . - Yang termasuk ukuran penyebaran adalah: J, H, Qd, S, R.

B. PELUANG Aturan Perkalian Misalkan terdapat n tempat tersedia dengan: n A1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat pertama. n A2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi. n A3 adalah banyak cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat pertama dan kedua terisi.  n An adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat pertama, kedua, ..., ke (n – 1) terisi. Banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia secara keseluruhan adalah:

1. Permutasi n Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutannya (AB ≠ BA) n Rumus dan notasi yang digunakan dalam permutasi adalah: - Banyaknya permutasi n unsur yang diambil dari n unsur adalah P(n, r) = n! - Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur: P(n, r ) = n

n! (n − r )!

Permutasi k unsur dengan terdapat m unsur yang sama, n unsur yang sama dan l unsur yang sama adalah: k! cara m!⋅ n!⋅ l!

n

Banyaknya permutasi siklis (lingkaran) dari n unsur adalah (n – 1)!

2. Kombinasi n Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur dengan cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutan-nya (AB = BA). n Kombinasi k unsur dari n unsur dilambangkan dengan nCk atau C (n, k) . n Banyaknya kombinasi k unsur yang diambil dari n unsur adalah C (n, k) =

n! (n − k)!k!

3. Peluang Kejadian Peluang kejadian A ditulis P(A), ditentukan dengan rumus: P(A) =

n(A) n(S)

n(S) = banyaknya anggota semesta n(A) = banyaknya anggota A P(A) = peluang kejadian A

[email protected]

4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian Misalkan Ac adalah komplemen kejadian A, maka

b. Kejadian Saling Lepas Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian saling lepas bila A dan B tidak punya irisan, yang berakibat P(A ∩ B) = 0, sehingga

P(Ac ) = 1 − P(A) 5. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian Frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah FH(A) = n × P(A)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) c. Kejadian Saling Bebas A dan B disebut dua kejadian saling bebas bila kejadian yang satu tidak dipengaruhi kejadian lainnya. P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)

6. Peluang Kejadian Majemuk a. Gabungan Dua Kejadian Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

BAB 7

TRIGONOMETRI

Dalam sebuah segitiga ABC berlaku hubungan: A b sin x = c c a cos x = b c b x tan x = C B a a

sin(90o - a) = cos a

sin(180o - a) = sin a

sin(90o + a) = cos a

sin(180o + a) = -sin a

cos(90o - a) = sina

cos(180o - a) = -cos a

cos(90o + a) = -sina

cos(180o + a) = -cos a

tan(90o - a) = cot a

tan(180o - a) = - tan a

tan(90o + a) = -cot a

tan(180o + a) = tan a

A. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA

sin(270o - a) = -cos a

sin(360o - a) = -sin a

sin(270o + a) = -cos a

sin(360o + a) = sin a

cos(270o - a) = -sin a

cos(360o - a) = cos a

cos(270o + a) = sin a

cos(360o + a) = cos a

tan(270o - a) = cot a

tan(360o - a) = - tan a

tan(270o + a) = -cot a

tan(360o + a) = tan a

Sin

0o 0

30o ½

Cos

1

½

3

Tan

0

1

3

3

45o ½

2

½

2

60o

1

B. SUDUT-SUDUT BERELASI

½

0

3

~

C. IDENTITAS TRIGONOMETRI

90o y Kuadran II Sin, Cosec 180o positif

Kuadran I Semua positif 0o

Kuadran III

Kuadran IV

Tan, Cot Positif

3

½

90o 1

Cos, Sec Positif 360o

Dalam trigonometri juga berlaku sifat-sifat: sin x 2 2 1. = tan x 4. tan x + 1 = sec x cos x 1 = sec x 2. sin2 x + cos2 x = 1 5. cos x 2 2 1 3. 6. 1 + cot x = cos ec x = co sec x sin x

[email protected]

D. ATURAN SINUS DAN COSINUS C

A

Pada setiap segitiga sembarang ABC berlaku aturan sinus, yaitu:

a

b c

2sin x cos y = sin(x + y) + sin(x - y)

B

a b c = = sin A sin B sinC

Pada tiap segitiga sembarang ABC berlaku aturan cosinus, yaitu: a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

2cos x sin y = sin(x + y) - sin(x - y) 2cos x cos y = cos(x + y) + cos(x - y) -2sin x sin y = cos(x + y) - cos(x - y)

H. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI a. Sinus sin x = sinα x1 = α + k.360o atau x1 = (180o − α ) + k.360o

b2 = a2 + c2 - 2ac cos B c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

b. Cosinus cos x = cosα x = ±α + k.360o

E. MENGHITUNG LUAS SEGITIGA Jika pada suatu segitiga ABC diketahui besar sudut dan dua sisi yang mengapit sudut, maka berlaku hubungan: 1 L = bc sin A C 2 1 a b L = ac sin B 2 1 B A L = ab sinC c 2

c. Tan tan x = tanα x = α + k.180o k = ..., –1, 0, 1, 2, …

F. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B tan A + tan B tan (A + B) = 1 − tan A ⋅ tan B tan A − tan B tan (A − B) = 1 + t...