Ringkasan Materi UN Matematika IPS SMA PDF

Preview

Summary

Ringkasan Materi Matematika 28 Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com Pelajaran Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 1 Kelas X Semester 1 n n a a Standar Kompetensi Kompetensi Dasar 5)   = n b b Memecahkan  Menggunakan 6) a0 = 1 masalah yang aturan pangkat, akar, berkaitan dengan dan lo...

Description

Accelerat ing t he world's research.

Ringkasan Materi UN Matematika IPS SMA Au Kuroro

Related papers

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

Ringkasan Mat eri Mat emat ika kart ika sandra dewi 3-silabus-mat emat ika-sma chot hy t iet iek 3-silabus-mat emat ika-sma-150501080719-conversion-gat e01 Hendra Mat hemat ic

Ring kasan Mat eri Matematika

28

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

Pelaj aran

1 Kelas X Semester 1 Standar Kompetensi Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma.

n a a =   n b b n

Kompetensi Dasar

 Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma.  Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma.

A. Bentuk Pangkat

5) 6)

a0 = 1

7)

a−n =

B. Bentuk Akar Pada bentuk akar berlaku: 1) 2)

an = a × a × a × ... × a sebanyak n faktor

am = a n

m

m a ×n b = m×n a×b m a m a = n b n b

4)

m

Secara umum perpangkatan bulat positif suatu bilangan real dideinisikan:

n

3)

Bentuk pangkat meliputi: pangkat bulat positif, pangkat bulat negatif, dan pangkat nol.

1 an

a × n a = mn an × a m

a mn an = n am b

m

5)

C. Logaritma Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan, sehingga dapat dideinisikan sebagai

Sifat-sifat bilangan berpangkat bilangan bulat untuk

a, b ∈ R; m, n ∈ B ; a ≠ 0, b ≠ 0 (R = himpunan bilangan

berikut. x = an ⇔ alog x = n

real dan B = himpunan bilangan bulat) berikut.

3)

am × an = am +n am = am − n an (am)n = am × n

4)

(ab)n = an × bn

1) 2)

untuk a > 0, a ≠ 1 dan x > 0. Keterangan: a = bilangan pokok atau basis logaritma x

= numerus, bilangan yang dicari logaritmanya, x>0

n = hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau negatif

29

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Sifat-sifat logaritma: 1)

a

2)

a

3)

a

4)

a

5)

a

6)

a

log a = 1 log 1 = 0 log x + alog y = alog (x . y) log x – alog y = alog

log xn = n . alog x c

7)

log x log a 1 a log x = x log a

log x =

a log x

8)

a

9)

an

c

=x

m log x m = . a log x n 1 a a 10) log = − log x x 1 11) a log x = − a log x 12) alog x . xlog y = alog y 13) alog an = n 14) log2x = log x . log x 1 15) log-1 x = log x

30

x y

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Persamaan kuadrat dan Fungsi

Pelaj aran

2 Kelas X Semester 1 Standar Kompetensi Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat.

B. Persamaan Kuadrat Kompetensi Dasar

 Memahami konsep fungsi.  Menggambar graik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat.

Bentuk umum persamaan kuadrat:

ax2 + bx + c = 0 ; a, b, c ∈ R, a ≠ 0

Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan: 

memfaktorkan;

 melengkapkan bentuk kuadrat sempurna;  menggunakan rumus abc: x1,2 =

A. Pengertian Relasi dan Fungsi

−b ± b2 − 4 ac 2a

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah

Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat:

pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan

1)

anggota-anggota himpunan B. Sedangkan suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

2)

Fungsi f dari himpunan A ke B ditulis:

f:A→B (dibaca: fungsi f memetakan A ke B)

2) 3)

Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis Df. Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) dari f. Himpunan dari semua peta f di B disebut daerah hasil (range) dari fungsi tersebut, ditulis Rf.

x1 + x2 = −

b a

hasil kali akar-akar persamaan kuadrat: c x1 . x2 = a

C. Fungsi Kuadrat Bentuk umum fungsi kuadrat: f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, a, b, c ∈ R

Pada fungsi f : A → B berlaku: 1)

jumlah akar-akar persamaan kuadrat:

Cara-cara menentukan fungsi kuadrat: a.

jika diketahui titik potong dengan sumbu x di (x1, 0) dan (x2, 0)maka y = f(x) = a (x – x1) (x – x2);

b.

jika diketahui koordinat titik puncak (titik balik) nya P (p,q), maka y = f(x) = a(x – p)2 + q;

c.

jika melalui tiga titik yang diketahui, digunakan y = ax2 + bx + c.

31

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelaj aran

Sistem Persamaan

3 2)

Kelas X Semester 1 Standar Kompetensi Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu variabel.

Bentuk umumnya:

Kompetensi Dasar

 Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel.  Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear.  Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan penafsirannya.

Sistem persamaan linear dengan tiga variabel.  ax + by + cz = d  kx + ly + mz = n ;  px + qy + rz = s 

a, b, c, d, k, l, m, n, p, q, r, s = bilangan real. Sistem persamaan linear dengan persamaan kuadrat. Bentuk umumnya:  y = ax + b  2  y = px + qx + r

; a, b, p, q, r = bilangan real.

Sistem persamaan kuadrat dengan dua variabel. Bentuk umumnya:

2  y = ax + bx + c ; a, b, c, p, q, r = bilangan real.  2  y = px + qx + r

B. Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Untuk mencari himpunan penyelesaian sistem

A. Sistem Persamaan Linear Sistem persamaan linear terdiri atas dua atau

persamaan linear dengan dua variabel dan persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan

lebih persamaan linear. Sistem persamaan linear

beberapa cara, yaitu:

terbagi atas:

1)

substitusi,

1)

Sistem persamaan linear dengan dua variabel.

2)

eliminasi, dan

Bentuk umumnya:

3)

gabungan substitusi dan eliminasi.

ax + by = c ; a, b, c, p, q, r = bilangan real.   px + qy = r

32

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelaj aran

Pertidaksamaan

4

1)

Kelas X Semester 1 Standar Kompetensi Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat.

samaan yang mempunyai variabel pangkat

Kompetensi Dasar

 Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar.  Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel.  Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya.

A. Pengertian Pertidaksamaan Pertidaksamaan adalah suatu kalimat terbuka yang memuat satu variabel (peubah) atau lebih dan tandatanda ketidaksamaan (, ≤, atau ≥). B. Jenis-Jenis Pertidaksamaan dan Penyelesai-

Pertidaksamaan linear, yaitu suatu pertidaksatu. Contoh: x + 4 < 2x + 7

2)

Pertidaksamaan kuadrat, yaitu suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel pangkat dua. Contoh: x2 – 2x + 4 < 7

3)

Pertidaksamaan pecahan, yaitu suatu pertidaksamaan yang mempunyai bentuk pecahan dan mengandung variabel x pada penyebutnya. Contoh:

4)

2x + 3 >0 1 − 2x

Pertidaksamaan nilai mutlak (harga mutlak), yaitu suatu pertidaksamaan yang mempunyai tanda mutlak. Pada pertidaksamaan nilai mutlak berlaku:

x > 0 sama artinya –a < x < a. x < 0 sama artinya x < –a atau x > a.

5)

Pertidaksamaan bentuk akar, yaitu pertidaksamaan yang variabelnya terletak di bawah tanda akar. Cara penyelesaiannya diawali dengan menguadratkan kedua ruas. Contoh:

x −1 < 0

annya Berdasarkan pangkat dari variabelnya (bentuk pertidaksamaan), pertidaksamaan dapat dibagi atas:

33

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelaj aran

Logika Matematika

5 Kelas X Semester 2 Standar Kompetensi Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.

A. Kalimat Terbuka, Pernyataan, dan Negasinya Kompetensi Dasar

 Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkaran atau negasinya.  Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.  Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan.  Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah

Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memuat variabel, nilai kebenarannya belum dapat ditentukan, apakah bernilai benar atau salah. Pernyataan adalah suatu kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau salah, tetapi tidak dapat terjadi benar dan salah bersamaan. Ingkaran pernyataan (negasi penyataan) adalah kebalikan dari penyataan. Jika pernyataan benar, ingkarannya salah, dan sebaliknya. Ingkaran dari p dinotasikan dengan ~p, dibaca: tidak p atau bukan p atau tidak benar bahwa p atau non-p. Contoh: p

= Bandung adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat. (benar/B) Ingkarannya:

~ p = Bandung bukan ibu kota Provinsi Jawa Barat. (salah/S) ~ p = Tidak benar bahwa Bandung adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat. (salah/S) Penyataan Majemuk Pernyataan majemuk adalah penyataan yang terdiri dari dua pernyataan atau lebih dapat

34

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Tabel kebenaran implikasi:

dihubungkan dengan kata hubung, yaitu: ... dan ... , ... atau ... , jika ... maka ..., dan ... jika dan hanya jika ... .

p

q

p⇒ q

Contoh: Hari ini mendung atau langit berwarna

B

B

B

biru.

B

S

S

S

B

B

S

S

B

Jenis-Jenis Kalimat Majemuk Ada empat pernyataan majemuk, yaitu: 1)

Konjungsi, yaitu gabungan antara dua

4)

pernyataan dengan memakai kata hubung

Biimplikasi, dibentuk dari (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), dinotasikan: p⇔q

”dan”, dinotasikan: p ∧ q dibaca: p dan q Tabel kebenaran konjungsi:

2)

3)

dibaca: p jika dan hanya jika q, p syarat cukup dan perlu untuk q,

p

q

p∧ q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

p ekuivalen dengan q Tabel kebenaran biimplikasi: p q p⇒q q⇒p B B B B B S S B S B B S S S B B

p⇔q B S S B

Disjungsi, yaitu gabungan antara dua pernyataan dengan memakai kata hubung ”atau”, dinotasi-

B. Ingkaran Pernyataan Majemuk

kan:

Ingkaran pernyataan majemuk terbagi atas. p ∨ q dibaca: p atau q.

1)

Ingkaran dari konjungsi, berlaku:

Tabel kebenaran disjungsi:

Ingkaran dari disjungsi, berlaku:

~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

p

q

p∨q

2)

B

B

B

3)

Ingkaran dari implikasi, berlaku:

B

S

B

S

B

B

4)

Ingkaran dari biimplikasi, berlaku:

S

S

S

~(p ∨ q) ≡ ~p ∨ ~q

~(p → q) ≡ p ∧ ~q

~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)

C. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

dengan memakai kata hubung ”jika …maka…”,

Dari implikasi p ⇒ q dapat dibentuk implikasi baru,

dinotasikan:

yaitu:

Implikasi, yaitu gabungan antara dua pernyataan

p → q dibaca: jika p maka q, p hanya jika q,p syarat cukup untuk q,

 Konvers: q ⇒ p





Invers: ~p ⇒ ~q dan

Kontraposisi: ~q ⇒ ~p

q syarat perlu untuk p, atau q jika p

35

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

b) Aturan Tollens, berlaku:

D. Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya Pernyataan berkuantor terdiri atas: 1)

Jika p ⇒ q benar dan ~q benar maka

Pernyataan berkuantor universal, dinotasikan:

pernyataan ~p bernilai benar. p⇒q

∀p(x) (dibaca: “Untuk semua x, berlaku-

~p

∴ ~q

lah p(x)”) Ingkarannya: ~(“∀ p(x)) ≡ ∃x ~p(x) (dibaca: “ingkaran

c)

Silogisme, berlaku: Jika p ⇒ q dan q ⇒ r keduanya

untuk semua x yang berlaku p(x) adalah

benar maka p ⇒ r juga benar.

ada x yang bukan p(x)”). 2)

p⇒q

q⇒r

Pernyataan berkuantor eksistensial, dinotasi-

∴ p⇒r

kan: ∃(x) p(x) (dibaca: “Ada x sehingga berlaku p(x)”) Ingkarannya: ~(∃x p(x)) ≡ ∀x ~p(x) (dibaca: “ingkaran beberapa x berlaku p(x) adalah semua x bukan p(x)”). E.

Penarikan Kesimpulan

Penarikan kesimpulan terbagi atas: 1)

Penarikan kesimpulan dari pernyataan majemuk, dengan aturan: a)

Modus Ponens, berlaku:

Jika p ⇒ q benar dan p benar maka pernyataan q bernilai benar.

p⇒q p

∴ q

36

2)

Penarikan kesimpulan dari pernyataan berkuantor Contoh: p(x) : Jika suatu segitiga merupakan segitiga sama kaki maka mempunyai dua sudut sama besar.

≡ Setiap segitiga sama kaki mempunyai dua sudut sama besar.

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelaj aran

Trigonometri

6

A. Perbandingan Trigonometri

Kelas X Semester 2 Standar Kompetensi Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah

.

Kompetensi Dasar

 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri.  Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri.  Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, dan penafsirannya.

Rumus-rumus perbandingan trigonometri 1)

sin α =

panjang sisi depan y = panjang sisi miring r

cos α = panjang sisi apit = x panjang sisi miring

r

tan α = panjang sisi depan = y panjang sisi apit x 2)

sec α =

r

y x

α

1 1 ; cosec α = ; cos α sin α

cotan α =

1 cos α ; cosec α = ; tan α sin α

Perbandingan trigonometri sudut α dengan (90o– α) 3)

sin (90° – α) = cos α cos (90° – α) = sin α

tan (90° – α) = cotan α

cotan (90° – α) = tan α cosec (90° – α) = sec α

sec (90° – α) = cosec α

Perbandingan trigonometri sudut α dengan (180o– α) 4)

sin (180° – α) = sin α

cos (180° – α) = –cos α

tan (180° – α) = –tan α

cotan (180° – α) = –cotan α cosec (180° – α) = sec α sec (180° – α) = -cot α

37

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com Perbandingan trigonometri sudut α dengan (180o+ α) 5)

sin (180° + α) = –sin α

C.

cos (180° + α) = –cos α

Contoh identitas trigonometri:

tan (180° + α) = tan α

1)

sin2 a + cos2 a = 1

cotan (180° + α) = cotan α

2)

1 + tan2 a = sec2 a

cosec (180° + α) = -cosec α

sec (180° + α) = -sec α

D. Persamaan Trigonometri

Identitas Trigonometri

Untuk k∈B (B = himpunan bilangan bulat), diperoleh persamaan sebagai berikut. 1)

90°

x1 = a + k . 360°

Kuadran I semua positif

Kuadran II sinus positif

2) 3)

Kuadran IV kosinus positif

x2 = –a + k . 360°

Jika tan x = tan a, maka: x = a + k . 180°

4) 270°

B.

x2 = (180° – a) + k . 360°

Jika cos x = cos a, maka: x1 = a + k . 360°

0°

180° Kuadran III tangan positif

Jika sin x = sin a, maka:

Jika cotan x = cotan a, maka: x = a + k . 180°

E.

Fungsi Trigonometri

Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Rumus

Fungsi trigonometri dapat berbentuk sebagai

Segitiga

berikut.

Aturan sinus: a b c = = sin A sin B sin C

1)

f(x) = a sin (kx + b) Periode =

360° 2p = k k

nilai maksimum = a 2)

nilai minimum = – a

360° 2p = k k

nilai maksimum = a 3)

Aturan kosinus:

f(x) = a cos (kx + b) Periode =

= f(x) = a tan (kx + b) ∆

Periode =

1)

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

2)

b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

3)

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

b

A

a

c

B

Luas segitiga:

nilai minimum = – a ∆

=

1 2

180° p = k k

Tidak ada nilai maksimum dan minimum.

38

C

1 L∆ABC = b.c sin A 2

1 L∆ABC = a.b sin C 2

1 L∆ABC = ac sin B 2

∆

=

1 2

Downloaded from http://pak-anang.blogspot.com

Pelaj aran

Ruang Dimensi Tiga

7 Kelas X Semester 2 Standar Kompetensi Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.

Kedudukan suatu garis terhadap garis lain (dua garis) Kompetensi Dasar

 Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.  Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga.  Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga.

dibedakan atas: 1)

Berimpit

3) berpotongan

2)

Sejajar

4) bersilangan

Kedudukan suatu bidang terhadap bidang lain (dua bidang) dibedakan atas: 1)

Berimpit

2)<...