Rt3 aufgabensammlung student PDF

Preview

Summary

Aufgabensammlung...

Description

Systemdynamik und Regelungstechnik III Prof. Dr.-Ing. J. Adamy

Aufgabensammlung

WS 2017/2018

www.rmr.tu-darmstadt.de/lehre rmr/vorlesungen rmr/wintersemester/systemdynamik rt3

urgen Adamy Prof. Dr.-Ing. J¨

¨ Ubungsaufgaben zur Vorlesung Systemdynamik und Regelungstechnik III

Layout:

Dipl.-Ing. M. Schneider Dipl.-Ing. C. Voigt Dipl.-Ing. B. Jasniewicz cand.-ing. T. Schaal

Druck und Bindung:

citycopies Holzstraße 5 64283 Darmstadt www.citycopies.de

c Darmstadt 2017 

Technische Universit¨at Darmstadt Institut f¨ur Automatisierungstechnik und Mechatronik Fachgebiet f¨ur Regelungsmethoden und Robotik D–64283 Darmstadt, Landgraf-Georg-Straße 4 http://www.rmr.tu-darmstadt.de

v

Vorwort Diese Aufgabensammlung dient der Vertiefung der Inhalte aus der Vorlesung • Adamy, J.: Systemdynamik und Regelungstechnik III Die Sammlung entstand aus der Vorlesung Systemdynamik und Regelungstechnik III“ und besteht ” zum Teil auch aus bekannten Aufgaben, wie sie sich in vielen Lehrb¨uchern der deutschen wie auch englischen Literatur finden.

Darmstadt, Oktober 2007

J¨urgen Adamy

INHALTSVERZEICHNIS

1 Grundlagen nichtlinearer Systeme

1

1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2 Harmonische Balance

29

2.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Absolute Stabilit¨ at und Popov-Kriterium

37 45

3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Direkte Methode von Ljapunov

53 57

4.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2 L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Zeitoptimale Steuerung und Anti-Wind-Up

67 77

5.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.2 L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Gain-Scheduling-Regler

83 91

6.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.2 L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Exakte Linearisierung

97 103

7.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.2 L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

vii

viii

INHALTSVERZEICHNIS

8 Control-Ljapunov-Funktionen und Backstepping

121

8.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 8.2 L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 9 Beobachter f¨ ur nichtlineare Systeme

131

9.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.2 L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

¨ Ubungsklausuren 10 Klausuren

138 139

10.1 Diplomklausur WS 07/08 mit Ergebnissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.2 Diplomklausur SS 08 mit Ergebnissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 10.3 Masterklausur WS 12/13 mit Ergebnissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 10.4 Masterklausur WS 14/15 mit Ergebnissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

KAPITEL

1 Grundlagen nichtlinearer Systeme

1

ABSCHNITT

1.1

Aufgaben 1. Aufgabe Es werden zwei Regler f¨ur den untenstehenden Regelkreis betrachtet: 1) Gr (s) = Kr 2) Gr (s) = Kr

w=W 0

P-Regler 1 + 3s 1 + 0 .3 s e

realer PD-Regler

G R (s)

-

1

u1 -1

-1

u2 1

y

2 s (1+s)(1+3 s)

a) Man bestimme den Ruhezustand des nichtlinearen Regelkreises in Abh¨angigkeit von w0 . b) Man beschreibe den Regelkreis in Abweichungen vom Ruhezustand und skizziere den zugeh¨origen Standardregelkreis. c) Warum verliert der PD-Regler bei großen sprungf¨ormigen Sollwert¨anderungen seine dynamischen Vorz¨ uge gegen¨uber dem P-Regler?

2. Aufgabe Gegeben ist der folgende Regelkreis: t w() 3 w

1

e -

-1

-1

x1 1

x2= y

1 s

4 −3 3

8 12

t

4

1. Grundlagen nichtlinearer Systeme

a) Zeichnen Sie ausgehend von x2 (0) = y = 0, x1 = y(0) ˙ = 0 den Trajektorienverlauf in der x1 , x2 -Ebene. b) Geben Sie den zugeh¨origen Verlauf f¨ur y(t) an.

3. Aufgabe Das Stabilit¨ atsverhalten des unten dargestellten Regelkreises mit Zweipunktglied und instabilem linearen Teilsystem ist in der Zustandsebene zu untersuchen.

w=0

e

1

u −1

1 · 1 s+1 s−1

x1 = y

a) Berechnen Sie die Schar der m¨oglichen Trajektorien f¨ur die auftretenden F¨ alle und skizzieren Sie die Verl¨ aufe in der x1 , x2 -Ebene. b) Wo treten Ruhelagen auf und welche Stabilit¨atseigenschaft haben sie jeweils? c) Welchen Einfluß hat die Wahl des Startpunkts auf das Stabilit¨atsverhalten?

4. Aufgabe a) Wie kann man oft die Ruhelagen eines nichtlinearen Systems x˙ = f (x, u) bestimmen? w f   Aus der Anschauung heraus.   Man bestimmt die Eigenwerte der Systemmatrix A.   Mit Hilfe numerischer Verfahren.   Man l¨ ost die implizite Gleichung f (x, u = 0) = 0 nach x auf.   Man plottet die Trajektorien eines Systems in der Zustandsebene und kann die Ruhelagen direkt ablesen.   Man regt ein System mit einem Sprung an und bestimmt den station¨ aren Endwert. b) Welche Eigenschaften hat eine Ruhelage, deren Einzugsgebiet ein Teilraum von IR ist? w f   Die Ruhelage ist lokal attraktiv.   Sie ist global attraktiv.   Sie ist stabil im Sinne von Ljapunov.   Sie ist asymptotisch stabil.   Sie ist global asymptotisch stabil.   Sie ist semistabil.

1.1 Aufgaben

7. Aufgabe

5

5. Aufgabe ¨ bertragungsglieder in Reihe geschaltet, so ist es m¨oglich, ihre Reihenfolge zu verWerden lineare U tauschen, ohne daß sich am Gesamt¨ ubertragungsverhalten etwas ¨andert. Dies gilt nicht, wenn nichtlineare Glieder in der Schaltung sind. ¨ bertragungsgliedes wird im Zeitpunkt t = 0 eine Schwingung der Art Auf den Eingang eines U y(t) = A cos ωt geschaltet. Der in der Schaltung vorhandene Integrator habe den Anfangswert 0. Man trage untereinander f¨ur Zeiten t > 0 den Eingang und die Ausg¨ange des Integrators an und des Zweipunktschalters f¨ ur folgende Konfigurationen auf:

i.) y

u

K

a

x −a

ii.)

a

y

u

x

K

−a

6. Aufgabe Gegeben ist der untenstehende Regelkreis mit einer S¨attigungskennlinie und einer linearen Regelstrecke. Die F¨uhrungsgr¨ oße w sei Null. u e -

1

1 1

e

y

1 + s2

Berechnen Sie die Trajektorien, auf denen sich das System in der Zustandsebene mit den Zust¨ anden x1 = y und x2 = x˙ 1 bewegt. a) Skizzieren Sie in der Zustandsebene die Bereiche, in denen u verschiedene Werte annimmt. b) Stellen Sie die Differentialgleichungen auf und geben Sie deren L¨osung f¨ur die verschiedenen Bereiche an. c) Um welche Kurventypen handelt es sich jeweils?

6

1. Grundlagen nichtlinearer Systeme

d) Skizzieren Sie die Trajektorien f¨ur die folgenden Anfangswerte: x1 (0) =

1√ 2 2

x1 (0) = 4

x2 (0) = 0 x2 (0) = 0

7. Aufgabe Im Regelkreis aus Aufgabe 1 wird die Begrenzungskennlinie durch folgendes Dreipunktglied ersetzt 1

u

-0.2 0.2

e

-1

und Gr (s) = Kr gesetzt. Wie wirkt sich das auf die bleibende Regelabweichung aus?

8. Aufgabe Ein Pendel kann durch folgende nicht lineare Gleichung beschrieben werden:

Θ l m ¨ = −mg sin Θ − klΘ. ˙ ml Θ Hierbei ist l die L¨ange, m die Masse und Θ die Auslenkung des Pendels. a) W¨ahlen Sie geeignete Werte f¨ur den Zustandsvektor und schreiben Sie die Zustandsgleichungen auf. b) Finden Sie alle Ruhelagen des Systemes. c) Linearisieren Sie das System um die Ruhelagen und bestimmen Sie, ob die Ruhelagen stabil sind.

1.1 Aufgaben

10. Aufgabe

7

9. Aufgabe Gegeben ist ein System mit einem Motor und einem nichtlinearen Ventil. Das Ventil kann durch ur x < 0) beschrieben werden. f (x) = x2 (unrealistisch f¨

Motor r −

Ventil

1 s

Prozess 1 (s+1)2

y

a) W¨ahlen Sie die Zustandsvariablen und bestimmen die die Zustandsgleichungen. b) F¨ur welche konstanten Eingangsamplituden r > 0 ist das System stabil? c) Was w¨are ein realistischeres Modell f¨ ur das Ventil f¨ur x < 0?

10. Aufgabe Die Lorenzgleichungen sind: d x = σ(x2 − x1 ) dt 1 d x = rx1 − x2 − x1 x3 dt 2 d x = x1 x2 − bx3 dt 3

mit den Konstanten σ, r, b > 0. a) Finden Sie alle Ruhelagen. b) Linearisieren Sie die Gleichungen um den Punkt x = 0 und bestimmen Sie, f¨ur welche Werte von σ, r und b die Ruhelagen stabil sind.

8

1. Grundlagen nichtlinearer Systeme

11. Aufgabe Finden und klassifizieren Sie die Ruhelagen f¨ ur die angegebenen Systeme. a) x˙ 1 = x2

,

x3 x˙2 = −x1 + 1 − x2 6

x˙2 = 0, 1x1 − 2x2 − x2 − 0, 1x3 1 1 2 2 = x2 , x˙2 = −x1 + x2 (1 − 3x − 2x ) 1 2 = −x1 + x2 (1 + x1 ) , x˙2 = −x1 (1 + x1 )

b) x˙ 1 = −x1 + x2 c) x˙ 1 d) x˙ 1

,

e) x˙ 1 = (x1 − x2 )(x2 + x2 − 1) , 2 1

x˙ 2 = (x1 + x2 )(x2 + x2 − 1) 2 1

12. Aufgabe Ordnen Sie die Trajektorien den Eigenwerten zu. 2.5

Trajektorien f¨ ur lineares System

2 1.5 1

Zustandsgr¨oße x 2

2 1 s1

s2

−2 −1 −1 a

1

2 Re {s}

0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2

−2 Im {s}

−2.5

−2

1 2.5

−1

0

Zustandsgr¨ oße x

1

2

1

Trajektorien f¨ ur lineares System

2 1.5 1

2

Zustandsgr¨oße x 2

s1

1 −2 −1 −1 b

s2 −2 Im {s}

1

2 Re {s}

0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5

2

−2

−1

0

Zustandsgr¨ oße x

1 1

2

1.1 Aufgaben

12. Aufgabe

9

2.5

Trajektorien f¨ ur lineares System

2 1.5 1

Zustandsgr¨oße x

2

2 1 s1

s2

−2 −1 −1 c

1

2 Re {s}

0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2

−2 Im {s}

−2.5 −2

3 2.5

−1

0

Zustandsgr¨oße x 1

1

2

Trajektorien f¨ ur lineares System

2 1.5 1

Zustandsgr¨oße x 2

2 1 s1,2 −2 −1 −1 d

1

2 Re {s}

0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2

−2 Im {s}

−2.5

−2

4 2.5

−1

0

Zustandsgr¨oße x 1

1

2

Trajektorien f¨ ur lineares System

2 1.5 1

1 −2 −1 −1 e

−2 Im {s}

Zustandsgr¨oße x 2

2 s1

s2

1

2 Re {s}

0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5

5

−2

−1

0

Zustandsgr¨oße x 1

1

2

10

1. Grundlagen nichtlinearer Systeme

2.5

Trajektorien f¨ ur lineares System

2 1.5

s1

2

1

Zustandsgr¨oße x

2 1 −2 −1 −1

0 −0.5 −1 −1.5 −2

s2

−2 Im {s}

f

2 Re {s}

1

0.5

−2.5 −2

6 2.5

−1

0

Zustandsgr¨ oße x

1

2

1

Trajektorien f¨ ur lineares System

2 1.5 1

Zustandsgr¨oße x 2

2 1

g

s1

s2

−2 −1 −1

1

2 Re {s}

0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2

−2 Im {s}

−2.5

−2

7 2.5

−1

0

Zustandsgr¨ oße x

1

2

1

Trajektorien f¨ ur lineares System

2 1.5 1

1 −2 −1 −1 h

−2 Im {s}

s1

s2

1

2 Re {s}

Zustandsgr¨oße x 2

2

0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5

8

−2

−1

0

Zustandsgr¨ oße x

1 1

2

1.1 Aufgaben

15. Aufgabe

11

13. Aufgabe Als ein einfaches Modell f¨ur eine Magnetlagerung kann die nichtlineare Differenzialgleichung ¨z = −

i2 (z + 1)2

+ 1,

mit der Position z > −1 und dem Strom durch die Spule des Elektromagneten i > 0, angenommen werden. a) Geben Sie das nichtlineare Zustandsraummodell mit xT = [z, ˙z] an. b) Berechnen Sie yAP in Abh¨angigkeit von uAP . c) Berechnen Sie das linearisierte Zustandsraummodell in Abh¨angigkeit des Arbeitspunktes. d) Kann das linearisierte Modell mit einer einfachen Ausgangsr¨uckf¨ uhrung ∆u = −k∆y asympto¨ des linearisierten tisch stabilisiert werden? (Hinweis: Betrachten Sie die Ubertragungsfunktion Systems.)

14. Aufgabe Zweck der Aufgabe ist es, den Rechenaufwand von verschiedenen L¨ osungsalgorithmen f¨ ur gew¨ohnliche Differentialgleichungen zu erfassen. Betrachten Sie dazu den funktionalen Zusammenhang zwischen dem relativen Fehler εrel und der Schrittweite h f¨ur die verschiedenen L¨osungsverfahren f¨ ur die gew¨ohnliche Differentialgleichung x˙ = −x auf Seite 65 im Vorlesungsskript. Die Ergebnisse sind tabellarisch f¨ur die L¨osungsverfahren zu erfassen. a) Welche Steigungen mi haben die doppeltlogarithmisch aufgezeichneten Kurven in der Grafik? Betrachten Sie dabei nur den ann¨ ahernd linearen Teil der Kurven in der Auftragung. In welchem Zusammenhang stehen die Steigungen mit der Fehlerordnung qi der L¨ osungsverfahren? b) Welche Schrittweite ist in den einzelnen Verfahren f¨ur das gegebene Beispiel zu w¨ ahlen, um den relativen Fehler auf ε = 10−6 zu begrenzen? Extrapolieren Sie gegebenenfalls die in der Grafik gegebenen Kurven. c) Die Zeit f¨ur die Auswertung der Funktion f (x, u) dominiert in der Regel den Zeitbedarf f¨ur die Simulation einer gew¨ohnlichen Differentialgleichung. Sch¨atzen Sie ab, wie oft die Funktionsosung der Differentialgleichung x˙ = −x im vorschrift f (., .) aufgerufen werden muss, um die L¨ Zeitintervall [0, 10] zu ermitteln, wenn dabei der relative Fehler unter 10−6 gehalten werden soll. d) Warum kann man alleine aus dem Vergleich der Fehlerordnungen von L¨osungsverfahren nicht zwangsl¨ aufig ersehen, welches Verfahren das geeigneteste ist. Welches ist das geeigneteste Einschrittverfahren? Welches L¨ osungsverfahren w¨urden Sie nach der obigen detaillierten Analyse f¨ ur ¨ahnliche Probleme verwenden?

12

1. Grundlagen nichtlinearer Systeme

15. Aufgabe a) Das Standardverfahren von Runge-Kutta 4. Ordnung eignet sich besonders gut zur L¨osung gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen, weil w f   die Eingangsgr¨ oße u nur zu ganzzahligen Abtastschritten i, i + 1, ... bekannt sein muss.   die Fehlerordnung im Vergleich zum Euler-Cauchy-Verfahren recht hoch ist.   es im Vergleich zu anderen Verfahren (z.B. von Adams-Moulton) wenige Funktionsaufrufe ben¨ otigt, um zu vergleichbar genauen Ergebnissen zu kommen. b) Das Verfahren von Euler-Cauchy eignet sich besonders gut zur L¨ osung gew¨ohnlicher Differentialgleichungen, weil w f   es einfach zu implementieren ist.   eine einfache Schrittweitensteuerung daf¨ ur existiert.   die Fehlerordnung recht hoch ist.   es im Vergleich zu anderen Verfahren (z.B. von Adams-Moulton) wenige Funktionsaufrufe ben¨ otigt, um zu vergleichbar genauen Ergebnissen zu kommen. c) Das Verfahren von Adams-Moulton eignet sich besonders gut zur L¨osung gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen, weil w f   es eines der einfachsten L¨ osungsverfahren ist.   sich einfach eine Schrittweitensteuerung daf¨ ur entwerfen l¨ asst.   es ein Einschrittverfahren ist.   es eine hohe Fehlerordnung hat.

16. Aufgabe Gegeben ist das folgende Zustandsraummodell x˙ = A · x + b · u eines elektrischen Parallelschwingkreises mit dem Spulenstrom x1 und der Kondensatorspannung x2 als Zustandsgr¨ oßen, einer parallelgeschalteten Spannungsquelle mit der Spannung u als Eingangsgr¨ o ße und den Systemparametern " # " # 0 0.2 0 A= . ,b= 4 −2 −1 F¨ur das lineare Modell soll ein LQR-Regler entworfen werden. Dabei soll das G¨ utefunktional J = " # ∞ R 4 0 (xt Ax + Ru2 )dt mit den Parametern Q = und R = 1 minimiert werden. 0 4 0 Wie aus der Vorlesung bekannt ist, muss in einem Schritt des Reglerentwurfs die RicattidP(t) ost Differentialgleichung + AT P(t) + P(t)A − P(t)BR−1 BT P(t) = −Q r¨uckw¨arts in der Zeit gel¨ dt werden. Um das Problem mit Standardverfahren in positiver Zeitrichtung l¨osen zu k¨onnen, muss es umgeformt werden. Das geschieht wie folgt: Man kann den zu erwartenden Zeitverlauf einfach an der Zeitachse spiegeln, was durch die Operation P(t) → P(−t) erreicht wird. Dann lautet die Differentialgleichung

1.1 Aufgaben

17. Aufgabe

13

dP(−t) + AT P(−t) + P(−t)A − P(−t)BR−1 BT P(−t) = −Q. Durch die Substitution −t → τ l¨asst sie dt dP(τ) sich schreiben als − + AT P(τ) + P(τ)A − P(τ)BR−1 BT P(τ) = −Q und nach Aufl¨osen nach dτ der Ableitung: dP(τ) = AT P(τ) + P(τ)A − P(τ)BR−1 BT P(τ) + Q. dτ

(1)

Da die Differentialgleichung f¨ur sinnvolle Parameter gegen einen konstanten Endwert konvergiert, reicht ein einfaches L¨osungsverfahren aus. Finden Sie die station¨are L¨osung der Differentialgleichung (1) mit dem Eulerverfahren (oder einem anderen Verfahren Ihrer Wahl). W¨ ahlen Sie dazu eine Schrittweite von h = 0.01, w¨ahlen Sie die Nullmatrix f¨ur P(0) als Startwert und simulieren Sie so lang bis sich zwei aufeinanderfolgende Matrizen P(τ) und P(τ + h) in keiner Komponente um mehr als 0.00001 unterscheiden. Bestimmen Sie anschließend den Reglervektor k f¨ur den sich ergebenden Zustandsregler.

17. Aufgabe Simulieren Sie die H¨upfbewegungen einer Stahlkugel auf einem plasto-elastischen Untergrund. Die H¨upfbewegungen lassen sich durch die folgende Differentialgleichung beschreiben: x˙ 1 =

(2)

x2

  −1   x˙ 2 =   −1 − 50(1 − e10x1 )x − 500x  2 1

f¨ur x1 > 0 . ur x1 ≤ 0 f¨

...