S05.S2 Capacitancia Ejercicios I PDF

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Capacitancia y Dieléctricos SEMANA 05

Sesión 02

Ejercicios 1. Si se tiene un capacitor de placas paralelas que miden 15 𝑐𝑚 × 3,0 𝑐𝑚, realice lo siguiente: a) Calcule la capacitancia si están separadas por una capa de aire de 1,0 𝑚𝑚 de espesor. b) Estime el área requerida de las placas para conseguir una capacitancia de 1,0 𝐹, dada la misma separación de aire 𝑑 . c) ¿Cuál es la carga en cada placa si se conecta una batería de 12 𝑉 a través de las dos placas? d) ¿Cuál es el campo eléctrico entre las placas? 𝐴 = 0,15 × 0,30 𝑚2 = 0,045 𝑚2 𝑑 = 10−3 𝑚

𝐴

a. 𝐶 = 𝜀0 𝑑

𝐴

b. 𝐶 = 𝜀0 𝑑

𝐴=

𝐶. 𝑑 𝜀0

c. 𝑄 = 𝐶. 𝑉 d. 𝑉 = 𝐸. 𝑑 2. En la figura considerando que 𝐶𝑖 = 3,0 µ𝐹 y que el voltaje es 4,0 𝑉 a) Determine la capacitancia equivalente b) La carga total del sistema c) La carga de 𝐶1 y el voltaje. d) El voltaje en 𝐶2 y 𝐶3 e) Las cargas en 𝐶2 y 𝐶3 a) Conexión en paralelo 𝐶𝑒1 = 𝐶2 + 𝐶3 Conexión en serie 1 1 1 = + 𝐶 𝑒𝑡 𝐶𝑒1 𝐶1 b) 𝑄𝑡 = 𝐶𝑒𝑡 ∙ 𝑉 c) Como la última conexión fue en serie: 𝑄𝑡 = 𝑄1 𝑉1 = 𝑄1 /𝐶1 d) Como están en paralelo 𝐶2 y 𝐶3 , tienen el mismo voltaje 1

𝑉2 = 𝑉𝑡 − 𝑉1 e) Se conoce el voltaje para los capacitores, 𝑄2 = 𝐶2 ∙ 𝑉2 ; 𝑄3 = 𝐶3 ∙ 𝑉3 3. En la figura se muestra dos capacitores, 𝐶1 = 2,2 µ𝐹 y 𝐶2 = 1,2 µ𝐹, están conectados en paralelo a una fuente de 24 𝑉 . Después de cargarse, se desconectan los capacitores de la fuente y entre sí, luego se reconectan directamente uno a otro con las placas de signos opuestos. Encuentre la carga en cada capacitor y el potencial a través de cada uno después de que se establece el equilibrio.

Antes 𝑄1 = 𝐶1 ∙ 𝑉; 𝑄2 = 𝐶2 ∙ 𝑉 Después Cuando se reconecten con polos opuestos, las cargas se van a recombinar hasta formar una configuración de capacitores conectados en paralelo con el mismo voltaje en sus extremos. 𝑄𝑡 = 𝑄1 − 𝑄2 La conexión ahora será en paralelo, lo que significa que se puede calcular un voltaje total común. 𝑉𝑡 = En paralelo, 𝐶𝑡 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑉𝑡 =

𝑄𝑡 𝐶𝑡

24 𝜇𝐶 3,4 𝜇𝐹

Como las capacitancias dependen de la geometría y del medio, éstas no van a cambiar. 𝑄1 = 𝐶1 𝑉𝑡 𝑄2 = 𝐶2 𝑉𝑡 4. Un capacitor consiste en dos cilindros coaxiales huecos separados por un vacío, y posee una capacidad por unidad de longitud de 31,5 𝑝𝐹/𝑚. a) Encuentre la relación entre los radios de los conductores interior y exterior. b) Considerando que la diferencia de potencial entre los conductores interior y exterior es de 2,60 𝑉, ¿Cuál es la magnitud de la carga por unidad de longitud de los conductores? a. A partir de la expresión

2

𝐶 𝐿

=

2𝜋𝜀0 𝑟 ln ( 𝑏 ) 𝑟𝑎

Se deduce la relación entre radios 2𝜋𝜀0 𝑟𝑏 = 𝑒 𝐶/𝐿 𝑟𝑎

b. La fórmula 𝐶 = 𝑄/𝑉 se completa dividiendo por 𝐿. 𝐶 𝑄 1 = ∙ 𝐿 𝐿 𝑉

5. Un capacitor esférico consta de dos corazas esféricas conductoras esféricas concéntricas separadas por un vacío. La esfera interior tiene un radio de 15,0 𝑐𝑚. y la capacitancia es de 116 𝑝𝐹. a) ¿Cuál es el radio de la esfera exterior? b) Si la diferencia de potencial entre las dos esferas es de 220 𝑉 , ¿Cuál es la magnitud de la carga de cada esfera? a. Se parte de la definición de Capacitancia para esferas 𝐶= b. De la definición de 𝑄: 𝑄 = 𝐶𝑉

1 1 1 𝑘 (𝑟 − ) 𝑟 𝑎 𝑏

6. El flash de una cámara almacena energía en un capacitor de 150 µ𝐹 a 200 𝑉.

a) ¿Cuánta energía eléctrica puede almacenarse? b) ¿Cuál es la potencia de salida si toda esta energía se libera prácticamente en 1,0 𝑚𝑠? a. Se parte de la ecuación

b. La potencia es 𝑃 = 𝑈/𝑡

1 𝑈 = . 𝐶. 𝑉 2 2

7. Mediante un generador se aplica entre los extremos A y B del circuito de la figura una diferencia de potencial de 100 𝑉 . Calcule la energía almacenada por cada condensador.

a. En la parte superior se puede calcular directamente la energía. 𝑉 = 100 𝑉

3

b. En la parte inferior se debe calcular la capacitancia equivalente 𝐶𝑒1. Luego, la carga de esa rama, la cual será la misma para los dos capacitores. Para finalmente, calcular la energía almacenada en cada uno. 𝑉 = 100 𝑉

8. En la figura mostrada:𝐶1 = 6,9 𝜇𝐹 y 𝐶2 = 4,6 𝜇𝐹. Calcule la carga de cada uno de los tres capacitores más próximos a los puntos a y b, cuando V ab = 420 V.

Por estar en serie los puntos más próximos a “𝑎” y “𝑏”, las cargas serán iguales a la carga total del sistema. Por ello, se calcula la capacitancia equivalente total. A continuación, la carga total. 𝐶𝑒 = 2,3 𝜇𝐹 𝑄𝑡 = 𝐶𝑒 𝑉 Conociendo la carga de C1 cercanos a “𝑎” y “𝑏”, se calculan las diferencias de potencial, y restando del total, se halla la diferencia de potencial de 𝐶2 próximo a 𝑎 y 𝑏. Con ese valor, se puede hallar la carga. 𝑉𝐶1 = 0,97 𝑚𝐶/6,9 𝜇𝐹 Por lo que el voltaje en el primer capacitor 𝐶2 cercano a 𝑎 y 𝑏 será: 𝑉𝐶2 = 𝑉𝑡 − 2𝑉𝐶1 De aquí la carga será: 𝑄𝐶2 = 𝐶2 . 𝑉𝐶2 9. Un capacitor de placas paralelas, lleno con un dieléctrico con K= 3,4, se conecta a una batería de 100 V. Después de que el capacitor se carga por completo, se desconecta de la batería. Las placas tienen área A = 5,0 m2 y están separadas por d = 4,0 mm. a) Calcule la capacitancia, la carga en el capacitor, la intensidad de campo eléctrico y la energía almacenada en el capacitor. b) Si se retira el dieléctrico con cuidado (sin cambiar la separación entre las placas y sin que ninguna carga abandone el capacitor), determine los nuevos valores de la capacitancia, la intensidad del campo eléctrico, el voltaje entre las placas y la energía almacenada en el capacitor. 4

𝐴 𝑑 𝐴 𝐶𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 𝐾𝜀0 𝑑 𝑄 = 𝐶𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 . 𝑉 𝐶𝑣𝑎𝑐í𝑜 = 𝜀0

Si se retira con cuidado, la capacitancia disminuye, pero no la cantidad de carga que había almacenado puesto que no se pone en contacto con ningún otro dispositivo. 10. La figura muestra un capacitor de placas paralelas y cada placa tiene área 𝐴 = 250 𝑐𝑚2 y separación 𝑑 = 2,0 𝑚𝑚. El capacitor se carga a una diferencia de potencial 𝑉0 = 140 𝑉. Si se desconecta la batería (la carga Q en las placas no cambiará) y se coloca entre las placas una hoja dieléctrica (K = 3,50) de la misma área A, determine a) la capacitancia inicial en el capacitor lleno de aire, b) la carga en cada placa antes de que el dieléctrico sea insertado, c) la carga inducida en cada cara del dieléctrico tras haberse insertado, d) el campo eléctrico en el espacio entre cada placa y el dieléctrico (vacío), e) el campo eléctrico en el dieléctrico, g) la diferencia de potencial entre las placas después de que se agregó el dieléctrico, y g) la capacitancia luego de colocar el dieléctrico. a. 𝐶𝑣𝑎𝑐í𝑜 = 𝜀0

𝐴 𝑑

b. 𝑄0 = 𝐶𝑣𝑎𝑐í𝑜 . 𝑉

1

c. 𝑄𝑖𝑛𝑑 = 𝑄0 (1 − 𝐾) d. 𝐸0 = 𝜀

𝑄

0𝐴

e. 𝐸𝑑𝑖𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 = f.

𝐸0 𝐾

𝑉 = 𝐸𝑜 . 𝑑𝑎𝑖𝑟𝑒 + 𝐸𝐷 𝑑𝑑𝑖𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜

5

6...