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Problemas resueltos Capítulos 2, 3, 4, 5. Texto:

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Editorial:

ANALISIS VECTORIAL

MURRAY R. SPIEGEL

Mc- Graw Hill

*Antes de iniciar una serie de problemas para resolver, es recomendable dar una breve introduccion a los mismos. Señalando el tema y por que de este, o las teorias que se consideran. (Palabras repetidas hallar demostar).* Problemas Capitulo 2 Ejercicios: 1.Demostrar que A  B  B  A Solución: A  B  AB cos   BA cos   B  A Por consiguiente, el producto escalar goza de la propiedad conmutativa 2.Demostrar que A  B es igual a la proyección de A sobre B , siendo k el valor unitario en la dirección y sentido de B (FIGURA)

Como indica la figura de planos perpendiculares A B trazados por el origen y el extremo de A cortan a aquel en los puntos G y H , respctivamente, por lo tanto. Por lo tanto , la proyección de A sobre B es igual GH  EF  A cos   A  b 3.-(Lleva figura) Demostrar que A  B  C  A  B  A  C Sea a el vector unitario en la dirección y sentido de A  proyección de C sobre A B  C  a  B  a  C  a Multiplicando por A. B  C  Aa  B  Aa  C  Aa y B  C  A  B  A  C  A Teniendo en cuenta la propiedad del voltaje en magnitud escalar A  B  C  A  B  A  C Luego el producto escalar goza de la propiedad distributiva respecto de la suma 4.-Demostrar que A  B  C  D  A  C  A  D  B  C  B  D del problema 3, A  B  C  D  A  C  D  B  C  D  A  C  A  D  B  C  B  D luego el producto escalar goza de las propiedades de algebra ordinaria. 5.Hallar los escalares siguientes:     a  i  i  i i cos 0   11 1   1     b  j  k  j k cos 90  1 10   0     c  k  j  k j cos 90  11 0   0       d j  2i  3 j  kk  2j  i  3 i  i  j  k  0  3              e 2 i  j  3 i  k  6 i  i  2 i  k  3 j  i  j  k  6  0  0  0  6 6.-

     Si A  A1 i  A  j  AK y B  B  i  B  j  B  k, demostrar que A  B  A 1 B1  A 2 B2  A 3B 3       A  B  A 1 i  A 2 j  A 3k  B 1 i B 2 j B 3k        A1 i B 1 i  A2 j B2 j  A3kB 3k   i A 1B 1   j A2 B2   kA3B 3   A1B 1  A 2B 2  A3 B3       Ya que i  i  j  j  k  k  1 y todos los demas productos escalares son nulos    7.-Siendo A  A i  A 2 j  A 3 k, demostrar que A  A  A  A 2  A 22  A 23 A  A  AA cos 0  A 2  luego A  A  A      Tambien, A  A  A 1 i  A2 j  A3k  A 1 i  A 2 j  A 3k  A 1A 1   A 2 A 2  A 3 A3   A21  A 22  A 23 Del problema 6 tomamos B  A Por lo tanto, A  A  A  A21  A 22  A23 es le modelo de A 8.      Hallar el angulo formado por los vectores A  2i  2 j  2 k y B  6 i  3 j  2 k A  B  AB cos , A  2 2  2 2  1 2  3, B  6 2  3 2  22  7 A  B  26  2 3   12  12  6  2  4 Por lo tanto, cos  AABB  3 4 7   214  0. 1905 de donde   79  , aproximadamente 9.Si A  B  0, A y B son distintos de 0, demostrar que A es perpendicular a B Si A  B  AB cos   0, entonces cos   0, 0 sin   90  aproximadamente;   90 ; A  B  0 10.      Hallar el valor de ade forma que A  2i  a j  k y B  4 i  2 j  2k sean perpendiculares. Del problema 9, A y B son perpendiculares si A  B  0 Por lo tanto, A  B  24   0 2   1 2  8  2a  2  0, de donde, a es igual a 3. 2a  8  2 a  6 2 a3 11.         Demostrar que los vectores A  3 i  2j  k, B  i  3 j  5k, C  2 i  j  4 k forman un triangulo rectángulo

(GRÁFICA)

Primero demostraremos que los vectores forman un triangulo, por lo que deducimos lo siguiente d Por ejemplo uno de los vectores 3 es la resultante de los otros dos 1  y 2 b La resultante de los vectores 1  2  3 es el vector nulo. Como indican las figuras, pueden ocurrir que dos vectores tengan el extremo común o bien, que ninguno de los dos extremos coincidan, es trivial que A  B  C y, por lo tanto, los vectores forman un triangulo. Como A  B  31  23   1 5  14, A  C  32  21  14  0, y B  C  1 2   3 1   5 4   21, se deduce que A y C son perpendiculares y que ...................................

12.   Hallar los angulos que forma el vector A  3i  6 j  2 k con los ejes coordenados Sean x,  y los angulos que forma A con los semiejes positivos x, y, z respectivamente. .................................................................................

13.   Hallar la proyección del vector A  i  2 j  ksegún la dirección de B  4i  4j  7k .................................................................................. 14.Demostrar el teorema del coseno de un trinagulo cualquiera ............................................... 15.Demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares.......................................... 16.   Hallar el vector unitario perpendicular al plano formado por A  2i  6 j  3 k y    B  4 i  3 j  k.

Solución. Sea C  C1i  C 2j  C 3 k un vector perpendicular al plano formado por A y B. El vector C es perpendicular a A y a B. Luego C  A  2C 1  6C 2  3C 3  0, o sea 12C 1  6C 2  3C 3 C  B  4C 1  3C 2  C3  0, o sea 24C1  3C 2  C 3 c C

C

 C23



3 1 2

1i  1 j  k 2 3 2

2

  13

12



3 7

 i 

2 7

 j 

6 7

 k

Multiplicar por 2 en 2 2C 1  6C2  3C 3 8C 1  6C2  2C 3 10C1  5C3 C1 

1 2

C3 1 C 3 3

C2    C  C3 12 i 

1 3

  j k

17.   Hallar el trabajo realizado por la fuerza de F  2 i  j  k al desplazar un sólido puntual a lo    largo de un vector r  3 i  2 j  5 k. Solución: Trabajo realizado:(Módulo de la fuerza en la dirección y sentido del moviemiento.)*(Desplazamiento)  F cos   F          25 i  j  k  3 i  2 j  5 k  6  2  5  9 (IMAGEN) 18.   Hallar la ecuación del plano perpendicular al vector A  2i  3 j  6k y que pasa por el extremo del vector   B  i  5 j  3k f  g  bz  Sea el vector de posición del puntoP, y Q el extremo de B como PQ  B   es perpendicular a A, B    A  0, o sea,   A  B  Aes la ecuación vectorial del plano buscado. En coordenadas   rectangulares,          x i  y j  z k  2 i  3 j  6k  i  5 j  3 k  2 i  3 j  6k 2x  3y  6z  2  15  18  35 2x  3y  6z  35 19.Del problema 18 (anterior) hallar la distancia del origen al plano. La distancia del origen al plano es igual a la proyeción de B sobre A el vector unitario en la dirección y sentido de A es

8

A A



   2 i 3 j 6 k 2

2

2



2 7

 i 

3 7

 j 

6 7

 k.

2  3 6     Luego la proyección de B sobre A  B  a  i  5 j  3 k  27 i   27  15  187  357  5 7

3 7

 j 

6 7

 k

20.      Siendo A un vector cualquiera, demostrar que A  A  i i  A  j j  A  k k           Como A  A 1 i  A 2j  A 3 k, A  i  A1 i  j  A 2 j  i  A 3k  i  A1  j  A 2; A  k  A 3   A        A  A 1 i  A 2 j  A3 k  A  i i  A  j j  A  k k. 21.Demostrar que A  B  B  A (GRAFICA) El modulo de A  B  C es Ab sin  y su dirección y sentido son tales que A, B y C forman un triedro a derechas A El modulo de B  A  D es BA sin  y su direccion y sentido son tales que B, A y D forman un triedor a izquierdas B Por lo tanto D tiene el mismo sentido contrario, es decir C  D, o sea , A  B  B  A El producto vectorial no goza de la propiedad conmutativa.

22.Siendo A  B  0 y A y B no nulos demostrar que A es paralelo a B. Solución: Si A  B  AB sin  u  0, se tiene , sin   0 y   0 ó 180  23.Demostrar que |A  B|2  |A  B| 2  |A|2 |B |2 |A  B | 2  |A  B| 2  |AB sin u| 2  |AB cos |2  A2 B 2 sin 2  A 2B2 cos2   A2 B2  |A|2 |B | 2 24.Hallar los productos vectoriales siguientes:

  i  j (a)   (b)j  k (c) k  i   (d) k  j   (e) i  i

  k   i  j   i 0

  (f) j j  0  (g) i k   j   (h) 2 j  3 k  6 i    (i) 3 i  2 k  6j     (j) 2 j  i  3 k  5k

25.Demostrar que A  B  C  A  B  A  C en el caso en que A es perpendicular a B y tambien cuando lo sea en C. (GRAFICA) Como A es perpendicular a AB, A  B es un vector perpendicular al plano formado por A y B y cuyo modulo es AB sin 90   AB, o sea, el modulo de AB. Esto equivale a multiplicar el vector B por A y girar el vector resultante un angulo de 90 Hasta la posicion que se indica en la figura. A  C es el vector que se obtiene multiplicando C por A y al girar al vector resultante un angulo de 90 hasta la posición indicada en la figura. De la misma A  B  C es resuleto el vector que se obtiene. 26.Demostrar que A  B  C  A B  A  C en el caso general en que A, B, y C no sean coplanares ni paralelos. Descomponiendo B en sus componentes, peprpendiculares a A, B1, y paralelo a A, B11 , se tiene, B  B1  B 11 Llamando  al angulo formado por A y B, B1  B sin , por lo tanto, el modulo de A  B, es AB sin , es decir, igual que el de A  B. la dirección ysentido de A  B, son tambien las mismas de A  B. Por consiguiente, A  B1  A  B. Análogamente si se descompone en C en los vectores C11 y C 1paralelo y perpendicular, respectivamente a A se obtiene, A  C 1  A  C. Tambien, como B  C  B1  B11  C1  C11  B 1  C1   B 11  C 11  se deduce, A  B 1  C1   A  B  C

Ahora tambien, B, y C, son vectores perpendiculares a A y, A  B1  C1   A  B 1  A  C 1 A  B  C  A  B  A  C Por lo tanto, que expresa que el producto vectorial goza de la propiedad distributiva respecto de la suma. Multiplicando por 1, y teniendo en cuenta , B  C  A  B  A  C  A       27.-Siendo A  A 1 i  A2 j  A3 k y B  B 1 i  B2 j  B3 k, demostrar que  i AB 

 j

 k

A1 A 2 A3 B1 B 2 B3

      A  B  A 1 i  A 2 j  A 3 k  B 1 i  B 2 j  B 3k              A 1 i B1 i  B 2 j  B 3k  A 2 j  B 1 i  B 2 j  B 3 k  A3 k B 1 i  B2 j  B3 k               A 1 B1 i  i  A 1B 2 i  j  A1 B3 i  k  A 2B 1 j  i  A2B2 j  j  A 2B3 j  k  A 3B 1k         A 1 B2 k  A 1B 3 j  A 2 B1k  A 2B 3 i  A 3 B 1 j  A 3B 2 i    k i j     A 2B 3  A 3B 2 i  A3 B1  A1 B3  j  A1 B 2  A 2 B1  k  A1 A2 A 3 B1 B2 B 3 28.      Dados A  2 i  3 j  k y B  i  4 j  2 k, hallar a A  B, b B  A, cA  B  A  B , aA  B     i j k           2 i  3 j  k  i  4 j  2 k  2 3 1  i 6  4  j 4  1  k8  3  10 i  1

b B  A 

4

      i  4 j  2k  2 i  3 j  k

2



 i

 j

 k

1

4

2

2 3 1 cA  B A  B     A  B  3 i  j  3 k, A  B  i  7 j  k

    i 4  6  j 1  4  k3

A  B  A  B 

   3i  j  3 k

    i  7j  k



  i j

 k

3

1

3

1 7

1

   i 1  21  j 3  3 

29.         Si A  3 i  j  2k, B  2 i  j  k y C  i  2 j  2k, hallar a A  B  C, b A  B  C aA  B  AB 

      3 i  j  2k  2 i  j  k



 j

3

1 2

2

A  B  C 

       i  7j  5k  i  2j  2 k

 k

 i

1

1

  j k

 i 

1 1

    i 1  2  j 3  4  k3  2 

7

5

    i 14  10  j 2  5  k2

2 2

b A  B  C

BC 

      2 i  j  k  i  2j  2 k

A  B  C 



 i

 j

 k

2

1

1

1 2

2

     3 i  j  2 k  5 j  5k

 j

 k

3 1

2

 i 

    i 2  2  j 4  1  k4  1  5

    i 5  10  j 15  k15

0 5 5 30.Demostrar que el área de un paralelogramo de lados A y B es |A  B|. Area del Paralelogramo  h|B|  |A|sin |B|  |A  B| El área del triangulo que tiene por lados A y B es igual a

(dibujo de paralelogramo)

1 2

|A  B |

31.Hallar el area del trinagulo cuyos vertices son los puntos P1, 3, 2 , Q2, 1, 3 , R1, 2, 3        PQ  2  1 i  1  3j  1  2k  i  4 j  k PR  1  1 i  2  3 j  3  2 k  2 i  j  k 1 2

Area del triangulo 

|PQ  PR|   i



1 2

1

 j

1 2

 k

4 1

2 1

   i  4j  k



1 2

    2 i  j  k

   5 i  j  9k 

1 2

52  1 2  92 

1

32.Determinar al plano formado por  el vector  perpendicular    unitario A  2 i  6 j  3k y B  4 i  3 j  k A  B Es un vector perpendicular al plano formado por A y B  i AB 

 j

 k

2 6 3 4

3

       i 6  9  j 2  12  k6  24   15 i  10 j  30 k

1

El vector unitario en la dirección y sentido de A  B es    10  30  2  15 i 10 j 30k A B   15 i  35 j  35 k  7 i  35 |AB| 2 2 2 15 10 30

2 7

 j 

6 7

 k

33.Deducir el teorema de los senos en un triangulo plano Sean a, b, y c los lados del triangulo ABC que se representa en la figura en estas condiciones a  b  c  0. Multiplicando por ax, bx, cx, sucesivamente, se obitiene: ab  bc  ca es decir, ab sin C  bc sin A  ca sin B o bien,

sin A a



sin B b



(Dibujo)

sin C c

34.Considerandoun tetraedro de caras F1 , F 2 , F3 , F4 , y sean V 1, V 2, V 3 , V 4, los vectores cuyos

1 2

107

modulos son respectivamente, las áreas de F 1, F 2 , F 3, F 4, cuyas direcciones son perpendiculares a dichas caras y de sentido hacia el exterior de tetraedro. Demostrar que: V 1  V2  V 3  V4  0 El area de un triangulo de lados R y S es: 1 |R  S | 2 Los vectores asociados con c/u de las caras del tetraedro son: V1  12 A  B, V 2  12 B  C, V 3  12 C  A, V 4  12 C  A  B  A Luego V 1  V 2  V 3  V 4  1 2

1 2

A  B  B  C  C  A  C  A  B  A 

A  B  B  C  C  A  C  B  C  A  A  B  A  A 

35.Hallar el momento de una fuerza F respecto de un punto P. El modulo del momento M de una fuerza F respecto de un punto P es igual al modulo de la fuerza F, multiplicando por la distancia del punto P a la directriz de F. Por lo tanto, llamando r al vector que une P con el origen Q de F, resulta, M  Fr sin   rF sin   |r  F| El sentido de F corresponde al avance de un sacacorchos en P con el sentido de rotacion tal que lleve a coincidir el primer vector con el segundo, por el menor de los angulos que lo forman. (Dibujo)

36.Un sólido rígido gira alrededor de un eje que pasa por D con una velocidad angular . Demostrar que la velocidad lineal v de un punto P del sólido cuyo vector de posición es r viene dada por v    r, siendo  un vector de modulo  y cuya dirección y sentido son las del avance de un sacacorchos que gira en el sentido del movimiento. Como el punto P describe una circunferencia de radio r sea , el modulo de la velocidad lineal r es r sin   |  r| por consiguiente, v es perpendicular a  y a r de forma que r, , v, formen un triedro a derechas. Luego viene el mismo modulo, direccion y sentido que   r, es decir, v    r. El vector  se llama velocidad angular

instantanea. (Dibujo) 37.Demostrar que el valor absoluto de A  B  C es igual al volumen de un paralelepípedo de aristas A, B, y C. Sea n el vector unitario perpendicular al paralelogramo I con la misma direccion y sentido que B  C, y h la distancia del extremo de A al paralelogramo I Volumen del paralelepípedo  harea del paralelegramo I  A  n|B  C|  A  |B  C|n  A  B  C Si A, B y C no forman un triedro a derechas, A  n  0 y el volumen  |AB  C| 38.         A  A1 i  A 2 j  A 3k, B  B 1 i  B2 j  B 3 k, C  C1 i  C2 j  C 3 k. Demostrar que: A 1 A2 A 3 ABC   i BC 

 j

 k

B 1 B 2 B3

B 1 B2 B 3 C 1 C2 C 3

    i B 2C 3  B 3 C2   j B1C3  B 3C1   kB1C 2  B 2 C 1 

C 1 C 2 C3       A  B  C  A 1 i  A 2 j  A 3k  B2 C3  B 3C 2 i  B1 C3  B 3 C1 j  B1 C 2  B 2 C1 k  A 1 A2 A3 A1 B 2C3  B 3C 2  A 2B 1C 3  B3 C1   A3 B 1C2  B2 C 1 

B 1 B2 B3 C 1 C2 C3

39.       Hallar 2 i  3 j  i  j  k  3i  k    i j k       1 1 1  i 1  j 1  3  k3   i  2j  3 k 3 0 1      2i  3j   i  2j  3k

 2  6  4

40.Demostrar que A  B  C  C  A  B  A  B  C En el producto A  B  C se puede suprimir el parentesis y escribir A  B  C, ya que en este caso no existe ambigüedad y las unicas interpretaciones posibles son de A  B  C y A  B  C, pero esta ultima carece de sentido ya que no esta definido el producto vectorial C. La igualdad A  B  C  A  B  C se puede expresar diciendo que los productos escalar y vectorial son permutables. 41.A1 A 2 A3 Demostrar que A  B  C 

B1 B 2 B3

C1 C 2 C 3 Teniendo en cuenta que un determinante si se permuan entre si dos lineas A 1 A2 A3

B 1 B2 A 3

B 1 B2 B3

  A 1 A2 B 3

C 1 C2 C3

C 1 C2 C 3

A1 A 2 A3

A 1 A2 A3

C 1 C2 C 3

C1 C2 C3

B 1 B2 B3

  B 1 B2 B 3

C 1 C2 C3

A 1 A2 A 3

B1 B 2 B3 



C1 C2 C3

A1 A 2 A3

 B  C  A

 C  A  B

B1 B 2 B3

42.Demostrar que AA  C  A  A  C  0 43.Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que los vectores A, B, y C sean coplanarios es que A  B  C  0 A  B  C  A  B  C Si A, B, y C son coplanarios, en el volumen del paralelepipedoformado por los vectores A, B y C, el cero, y por lo tanto los vectores son coplanarios. 44.         Sean r1  x 1 i  y1 j  z 1 k, r2  x2 i  y 2 j  z 2 k, r 3  x 3 i  y3 j  z 3 k, los vectores de posición de los puntos P1 x1, y 1, z 1 , P2 x 2, y 2, z2 , P3 x3, y 3 , z3  hallar la ecuación del plano que pasa por P1, P 2 y P 3. Supongamos que P 1, P2 y P 3no estan alineados, es decir, que determinaron un plano.

   Sea r  x i  yj  z k el vector de posición de un punto génerico del plano. Considerando los vectores P 1P2  r 2  r 1, P1 P 3  r 3  r1 y P 1P  r  r 1. que son complementarios. En coordenadas rectangulares,        x  x 1 i  y  y 1 j  z  z1 k  x 2  x 1  i  y2 ...