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TEMA: FORMAS INDETERMINADAS Y DERIVADAS IMPLÍCITAS CURSO: CÁLCULO 1 SEMANA: 3 GUÍA DE ESTUDIO 1. Formas indeterminadas y regla de L’Hôpital El objetivo de la siguiente sesión es evaluar límites de expresiones racionales utilizando la derivada. Para ello, introduciremos algunos conceptos iniciales Definición: Si 𝑓 y 𝑔 son dos funciones tales que lím 𝑓(𝑥) = 0 y lím 𝑔(𝑥) = 0 entonces 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) tiene 𝑥→𝑐

la forma indeterminada 0/0 en 𝑥 = 𝑐.

𝑥→𝑐

Por ejemplos, las expresiones 𝑒𝑥 − 1 𝑥 2 − 𝑥 sen 𝑥 , 𝑦 𝑥 𝑥 𝑥

Tienen la forma indeterminada 0/0 en 𝑥 = 0.

Definición: Si 𝑓 y 𝑔 son dos funciones tales que lím |𝑓(𝑥)| = ∞ y lím|𝑔(𝑥)| = ∞ entonces 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) tiene la forma indeterminada ∞/∞ en 𝑥 = 𝑐.

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

Por ejemplos, las expresiones 𝑥 3 + 4𝑥 − 7 𝑒 𝑥 ln 𝑥 , 𝑦 𝑥 𝑥 2𝑥 3 + 3𝑥 − 5

Tienen la forma indeterminada ∞/∞ en 𝑥 = 𝑐.

Nuestro objetivo es calcular límites de la forma lím

𝑓(𝑥)

𝑥→𝑐 𝑔(𝑥)

cuando se tiene una forma indeterminada

0/0 o ∞/∞ en 𝑥 = 𝑐 . Para ello tenemos la siguiente regla

REGLA DE L’HÔPITAL: Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones derivables en un intervalo abierto ]𝑎; 𝑏 [ excepto posiblemente en 𝑐 de ]𝑎; 𝑏 [ y que para toda 𝑥 ≠ 𝑐 en ]𝑎; 𝑏 [ se tiene que 𝑔′ (𝑥) ≠ 0. Si el límite 𝑓(𝑥)

𝑓 ′ (𝑥)

lím 𝑔(𝑥) es una forma indeterminada y lím 𝑔′(𝑥) = 𝐿 o es la misma forma indeterminada entonces 𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

𝑓 ′ (𝑥 ) 𝑓(𝑥) = lím ′ 𝑥→𝑐 𝑔 (𝑥) 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) lím

El número 𝑐 puede ser reemplazado por ±∞. Ahora veamos algunos ejemplos del uso de la regla de L’Hôpital.

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EJEMPLOS: Determine el valor de los siguientes límites: 1. lím 𝑥→0

sen 𝑥 𝑥

, tenemos que la expresión es de la forma indeterminada 0/0. Aplicando la regla de

L’Hôpital: De esta manera lím

2. lím

𝑥 3 −3𝑥+2

𝑥→1 1−𝑥+ln 𝑥

𝑥→0

sen 𝑥

=1

𝑥

lím

𝑥→0

sen 𝑥 cos 𝑥 = lím =1 𝑥→0 𝑥 1

tenemos que este limite tiene la forma indeterminada 0/0, podemos aplicar la regla

de L’Hôpital

𝑥 3 − 3𝑥 + 2 3𝑥 2 − 3 = lim 𝑥→1 1 − 𝑥 + ln 𝑥 𝑥→1 −1 + 1 lím

𝑥

Pero éste último límite también es de la forma indeterminada 0/0; luego podemos aplicar nuevamente la regla de L’Hôpital 𝑥 3 − 3𝑥 + 2 6𝑥 3𝑥 2 − 3 = lím lím = lím 1 = −6. 1 𝑥→1 1 − 𝑥 + ln 𝑥 𝑥→1 𝑥→1 − −1 +

De esta manera, lím 3.

4.

lím

3𝑥 2 +1

𝑥→−∞ 2𝑥 3 −3

𝑥 3 −3𝑥+2

𝑥→1 1−𝑥+ln 𝑥

𝑥2

𝑥

= −6

, tenemos que lím 3𝑥 2 + 1 = ∞ y lím 2𝑥 3 − 3 = −∞, luego este límite posee la 𝑥→−∞

𝑥→−∞

forma indeterminada ∞/∞. Aplicando la regla de L’Hôpital 3𝑥 2 + 1 6𝑥 1 lím = lím = lim = 0 𝑥→−∞ 2𝑥 3 − 3 𝑥→−∞ 6𝑥 2 𝑥→−∞ 𝑥 3𝑥 2 +1 De este modo, lím 3 = 0 𝑥2 , lím 𝑥→+∞ 𝑒 3𝑥

𝑥→−∞ 2𝑥 −3

tenemos que lím 𝑥 2 = +∞ y lím 𝑒 3𝑥 = +∞, luego este límite posee la forma 𝑥→+∞

𝑥→+∞

indeterminada ∞/∞. Aplicando la regla de L’Hôpital 2 2𝑥 𝑥2 lím 3𝑥 = lím =0 = lím 𝑥→+∞ 9𝑒 3𝑥 𝑥→+∞ 3𝑒 3𝑥 𝑥→+∞ 𝑒 De este modo, lím

𝑥2

𝑥→+∞ 𝑒 3𝑥

=0

2. Otras formas indeterminadas Existen otras formas indeterminadas, adicional a 0/0 y ∞/∞ las cuales son: ∞ − ∞,

0 ⋅ ∞,

00 ,

∞0

𝑦

1∞

Afortunadamente todas estas formas indeterminadas se pueden llevar a las dos formas básicas estudiadas anteriormente y de este modo, la estrategia para resolver estos límites es transforma las expresiones para obtener una forma indeterminada básica. Para este estudio las dividiremos en dos grupos, el primer grupo esta formado por las formas ∞ − ∞ 𝑦 0 ⋅ ∞ y el segundo grupo esta conformado por 00 , ∞0 𝑦 1∞ . La razón de esta división se verá con los ejemplos.

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Ejemplos: (formas indeterminadas ∞ − ∞, 0 ⋅ ∞) Para resolver estos límites se recomienda realizar todas las operaciones que se encuentran indicadas en la expresión y transformar la expresión en un cociente. Veamos ejemplos de esta situación. Determine el valor de los siguientes límites. 1.

1

1

lím ( 𝑒 𝑥 −1 − ), como lím+ 𝑥

𝑥→0+

𝑥→0

1

𝑒 𝑥 −1

1

= +∞ y lím+ 𝑥 = +∞, este límite es de la forma indeterminada 𝑥→0

∞ − ∞. Para resolverlo, realizamos la resta con el fin de conseguir un único cociente 1 𝑥 − 𝑒𝑥 + 1 1 lím+ ( 𝑥 − ) = lím+ 𝑥 𝑥→0 𝑥→0 (𝑒 − 1)𝑥 𝑒 −1 𝑥

Este límite tiene la forma indeterminada 0/0, y de esta forma podemos aplicar la regla de L’Hôpital sucesivamente:

Luego

2.

1 lím ( 𝑥 𝑥→0+ 𝑒 −1

lím+

𝑥→0 1

1 − 𝑒𝑥 −𝑒 𝑥 1 1 = lím =− =− 𝑥 𝑥 + 𝑥 𝑥 𝑥 (𝑒 )𝑥 + (𝑒 − 1) 𝑥→0 𝑒 + 𝑥𝑒 + 𝑒 2 1+0+1

− 𝑥) = −

1

2

lím+ 𝑥 ln 𝑥, como lím+ 𝑥 = 0 y lím+ ln 𝑥 = −∞. Este límite es de la forma 0 ⋅ ∞, en este sentido,

𝑥→0

𝑥→0

𝑥→0

realizamos el siguiente cambio (𝑥 =

1

1 𝑥

). lím+ 𝑥 ln 𝑥 = lím+ 𝑥→0

𝑥→0

ln 𝑥 1 𝑥

De esta forma, tenemos una expresión con la forma indeterminada ∞/∞. Aplicando la regla de L’Hôpital. lím+

𝑥→0

ln 𝑥

De este modo, lím+ 𝑥 ln 𝑥 = 0. 𝑥→0

1

𝑥

=

1 lím 𝑥 𝑥→0+ − 1 𝑥2

= lím+ − 𝑥→0

𝑥2 𝑥

= lím+ (−𝑥) = 0 𝑥→0

Ejemplos: (formas indeterminadas 00 , ∞0 𝑦 1∞ )

Para resolver estos límites (de la forma lím 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ) se utiliza la siguiente propiedad del logaritmo natural y su relación con los límites

𝑥→𝑐

“Sean 𝑓, 𝑔 dos funciones continuas salvo posiblemente en 𝑥 = 𝑐 tales que lím 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝐿, 𝐿 > 0 y

𝑓(𝑥) > 0 para algún intervalo 𝐼 que contiene a c, entonces

𝑥→𝑐

ln 𝐿 = ln (lím 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ) = lím𝑔(𝑥) ln 𝑓(𝑥)” 𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

Usaremos esta propiedad en la determinación de los siguientes límites: 3.

lím 𝑥 𝑥 , Este límite tiene la forma indeterminada 00 , para determinar su valor aplicamos la

𝑥→0+

propiedad anterior, llamemos 𝑦 = lím+ 𝑥 𝑥

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𝑥→0

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ln 𝑦 = ln ( lím 𝑥 𝑥 ) = lím ln(𝑥 𝑥 ) = lím 𝑥 ln(𝑥) + + + 𝑥→0

𝑥→0

𝑥→0

El último límite tiene la forma indeterminada 0 ⋅ ∞, aplicando, la regla de L’Hôpital. ln 𝑦 = lím+ 𝑥 ln(𝑥) = lím+ 𝑥→0

𝑥→0

ln 𝑥 1 𝑥

1 lím 𝑥 𝑥→0+ − 1 𝑥2

=

= lím+ − 𝑥→0

𝑥2 = lím (−𝑥) = 0 𝑥 𝑥→0+

Eso quiere decir que ln 𝑦 = 0. Por tanto, 𝑦 = 1 y de esta manera lím+ 𝑥 𝑥 = 1

4.

1

lím (1 + 𝑥 2 )𝑥 , 𝑥→+∞

este límite es de la forma 1 𝑥

por 𝑦 = lím (1 + 𝑥2 ) , tenemos 𝑥→+∞

∞0 ,

𝑥→0

aplicando la propiedad antes vista y denotando

1 ln(1 + 𝑥2 ) 𝑥 Este último límite tiene la forma indeterminada ∞/∞. Aplicando la regla de L’Hôpital tenemos 1

1

ln 𝑦 = ln ( lím (1 + 𝑥 2 )𝑥 ) = lím ln(1 + 𝑥 2 ) 𝑥 = lím 𝑥→+∞

𝑥→+∞

𝑥→+∞

1

( 1+𝑥2) (2𝑥) 2 2𝑥 ln(1 + 𝑥 2 ) ln 𝑦 = lím = lím = lím = lím =0 2 𝑥→+∞ 2𝑥 𝑥→+∞ 1 + 𝑥 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑥 1 1

De este modo ln 𝑦 = 0 y por tanto 𝑦 = 1. De esta forma concluimos que lím (1 + 𝑥 2 )𝑥 = 1.

5.

1 𝑥 lím (1 + 𝑥) , 𝑥→+∞

𝑥→∞

este límite es de la forma 1∞, aplicando la propiedad antes vista y denotando por

1 𝑥

𝑦 = lím (1 + ) 𝑥 𝑥→+∞

1 1 𝑥 1 𝑥 ln 𝑦 = ln ( lím (1 + ) ) = lím ln (1 + ) = lím 𝑥 ln (1 + ) 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑥 𝑥 𝑥 Este último límite es de la forma indeterminada 0 ⋅ ∞, de este modo 1 ln 𝑦 = lím 𝑥 ln (1 + ) = lím 𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑥

1

ln (1 + 𝑥) 1/𝑥

= lím

𝑥→+∞

(

1

) (−1/𝑥2 )

1

1+𝑥

−1/𝑥 2

1 𝑥

= lím

𝑥→+∞

De este modo, ln 𝑦 = 1 y por tanto 𝑦 = 𝑒. De esta manera lím (1 + 𝑥) = 𝑒.

3.

𝑥→+∞

Derivadas implícitas

1

1

1+𝑥

=1

Definición Si tenemos algunas funciones de la forma 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 con 𝑦 = 𝑓(𝑥) en la cual la variable dependiente y no está despejada en términos de x entonces y se llama función implícita de x. Ejemplos:

x 2  y 2  25  0 , y 2  x  0 ,

x3  y 3  9 xy  0 ,

x2 y  2 y 3  3x  2 y .

En la ecuación

y3  7y  x3 No podemos despejar y en términos de x. Sin embargo, aún puede ser el caso de que exista exactamente una y correspondiente a cada x. Por ejemplo, podemos preguntas que valores de y (si existe alguno) corresponden a x=2. Para responder esta pregunta, debemos resolver

y3  7 y  8 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

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Desde luego, y=1 es una solución, y resulta que y=1 es la única solución real. Dado x=2, la ecuación

y 3  7 y  x 3 determina un correspondiente valor de y. Decimos que la ecuación define a y como una función implícita de x. El nuevo elemento es que no tenemos una ecuación de la forma y  f (x). Suponemos que y es alguna función desconocida de x, luego, si denotamos a esta función como y(x), podemos escribir la ecuación como

 y( x)3  7 y( x)  x3 Aunque no tenemos una fórmula para y(x) , podemos, a pesar de eso, obtener una relación entre x,

y(x) y y' ( x) , mediante la derivación, respecto a x, de ambos lados de la ecuación. Recordando aplicar la regla de la cadena, obtenemos:

d 3 d d ( y )  (7 y)  ( x 3 ) dx dx dx dy dy 7  3x 2 3y 2 dx dx dy (3 y 2  7)  3 x 2 dx Obsérvese que nuestra expresión para dy / dx incluye tanto a x como a y, un hecho con frecuencia es una molestia. Pero si sólo deseamos determinar la pendiente en un punto en donde conocemos ambas coordenadas, no existe dificultad. En (2,1)

dy 3(2) 2 12 6    2 dx 3(1)  7 10 5 El método que se acaba de ilustrar para determinar dy / dx sin despejar primero la y – de manera explícita de la ecuación dada – en términos de x se denomina derivación implícita. Procedimiento de diferenciación implícita Para una ecuación que supuestamente define a 𝑦 de manera implícita como una función diferenciable de 𝑥 la derivada

puede encontrarse como sigue: 1.

Diferencie cada término de la ecuación respecto de

2.

Agrupe todos los términos que contengan derecho.

3. 4.

𝑑𝑦

𝑑𝑥

x y y . Cuando se hace respecto a y se le agrega 𝑑𝑦𝑑𝑥.

Despeje

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥

.

, tome en cuenta las restricciones.

Ejemplos: 1.

2 2 Dado que 4x  9 y  36 . Determine dy / dx

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𝑑𝑥

en el lado izquierdo del igual y agrupe los demás términos en el lado

El lado izquierdo de la ecuación se factoriza por termino común, el cual es 𝑑𝑦

𝑑𝑦

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Solución

d 4 x 2  9 y 2   d 36 dx dx

 

 

d d 4x 2  9y2  0 dx dx 8 x  18 y

dy 0 dx

dy  8 x 4x   dx 18 y 9y 2.

2 3 Derivar 3x y  7 xy  4x  8y

Solución





d d 3 x 2 y  7 xy3  4x  8 y  dx dx









d d d d 3x 2 y  7 xy3  4 x  8 y dx dx dx dx

6 xy  3x 2

dy  3 dy  dy   7 y  7 x 3 y 2   4  8 dx  dx  dx 

6 xy  3x 2

dy dy dy  7 y 3  21xy 2  4 8 dx dx dx

3x 2

dy dy dy  21xy 2 8  4  7 y 3  6 xy dx dx dx

3x

 21xy 2  8

2

 dy  4  7 y dx

3

 6 xy

dy 4  7 y3  6 xy  2 dx 3 x  21 xy2  8 3.

Dada 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 0 . Calcular

Solución

𝑑𝑦 . 𝑑𝑥

d x cos y   d  y cos x  d 1  d 0 dx dx dx dx 1. cos y  x( seny

dy dy ) . cosx  y (senx )  0  0 dx dx

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1. cos y  xseny

dy dy dy  . cos x  ysenx  0 cos x  xseny   ysenx cos y dx dx dx

dy ysenx  cos y  dx cosx  xseny NOTA ADICIONAL Una ecuación de dos variables 𝑥 e 𝑦 puede ser denotada por la relación 𝐹(𝑥; 𝑦) = 0

𝑑𝑦

En este caso, la derivada 𝑑𝑥 puede ser obtenida mediante la fórmula 𝐹𝑥 (𝑥; 𝑦 ) 𝑑𝑦 =− 𝑑𝑥 𝐹𝑦 (𝑥; 𝑦)

Donde: 𝐹𝑥 (𝑥; 𝑦) es la derivada de 𝐹 (𝑥; 𝑦) respecto a 𝑥, considerando a 𝑦 constante.

𝐹𝑦 (𝑥; 𝑦) es la derivada de 𝐹(𝑥; 𝑦) respecto a 𝑦, considerando a 𝑥 constante.

Ejemplo. En la siguiente ecuación 𝑥 3 + 𝑦 3 − 3𝑥𝑦 = 0 determine

𝑑𝑦 . 𝑑𝑥

Resolución. Considere 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 𝑦 3 − 3𝑥𝑦 luego aplicamos la propiedad dada anteriormente 𝐹𝑥 (𝑥; 𝑦) 𝑑𝑦 𝑦 − 𝑥2 3𝑥 2 − 3𝑦 =− = 2 =− 2 𝑑𝑥 𝑦 −𝑥 3𝑦 − 3𝑥 𝐹𝑦 (𝑥; 𝑦) ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y NORMAL Dada una curva expresada en su forma implícita 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 se desea determinar la ecuación de la recta tangente en el punto (𝑥0 , 𝑦0 ) la cual está dada por medio de la siguiente relación 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚𝑡 (𝑥 − 𝑥0 )

Donde 𝑚𝑡 es la pendiente, utilizando la derivada implícita tenemos que 𝑚𝑡 =

𝑑𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ). 𝑑𝑥

De manera similar se tiene la ecuación de la recta normal a la curva en el punto (𝑥0 , 𝑦0 ) dada por 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚𝑛 (𝑥 − 𝑥0 )

Donde 𝑚𝑛 es la pendiente la cual está dada por 𝑚𝑛 = −

1 𝑚𝑡

Ejemplo. Considere una curva dada por 𝑥 3 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 6 = 0, determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto (−1; 3). Resolución. Derivando implícitamente 3𝑥2 + 2𝑦

𝑑𝑦 +2 𝑑𝑥

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=0 ®UPN

Despejando tenemos Luego tenemos 𝑚𝑡 =

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

−2−3𝑥 2 2𝑦

𝑑𝑦 (−1; 3) 𝑑𝑥

=

, note que el punto dado (−1; 3) cumple con la ecuación dada. −5 6

también 𝑚𝑛 =

6 5

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es 𝑦 − 3 = La ecuación de la recta normal es

5𝑥 + 6𝑦 − 13 = 0

−5 6

(𝑥 − (−1)) luego simplificando tenemos

6𝑥 − 5𝑦 + 21 = 0

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TEMA: FORMAS INDETERMINADAS Y DERIVADAS IMPLÍCITAS CURSO: CALCULO 1 SEMANA: 3 HOJA DE TRABAJO CONOCIMIENTO / COMPRENSIÓN 𝟎

1. Identifique las formas indeterminadas o 𝟎

ln 𝑥 𝑥→1 𝑥 2 −1

a) lím

tan 𝑥 𝑥→0 2𝑥

b) lím c)

lím

𝑥→+∞

∞

∞

en los siguientes límites: d) lím

𝑥→∞

−2𝑥 3 +𝑥 𝑒𝑥

2

𝑡𝑔𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥→0 𝑥 2 −𝑠𝑒𝑛𝑥

e) lím

𝑒𝑥

f)

3𝑥 2 +𝑥+2

ln 𝑥 3 3 𝑥→+∞ 𝑥

lím

2. Indique si las siguientes expresiones pueden ser transformadas a una forma explícita, justifique su respuesta. a) 2𝑦 2 − 3𝑥𝑦 + 2𝑒 𝑦 = 2𝑥 3 − 5𝑦

b) 2𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0

APLICACIÓN / ANÁLISIS 3. Determine los siguientes límites aplicando la regla de L’Hôpital. a) lím

𝑥→3

𝑥 2 −𝑥−6 𝑥−3 𝑥

b) lím

𝑥→∞ 𝑥 3 +1

c) lím

1−cos 𝑥 𝑥

e)

𝑥→1 𝑥 2 −1

f)

𝑥→0

d) lím

ln 𝑥

lím

𝑥→0

arcsin 𝑥 𝑥

𝑥 2 −2𝑥+1 ln 𝑥 𝑥→1

lím

4. Aplique la regla de L’Hôpital sucesivamente en los siguientes límites. a) lím

𝑥→0

b)

1−cos 𝑥

lím

3𝑥 2 𝑥3

𝑥→+∞ 𝑒 2𝑥

c)

lím

𝑥→+∞

d) lím

5𝑥 2 +3𝑥−1

𝑠𝑒𝑛2

𝒙 𝒚 −𝒚 𝟑

=4

d) yey  e x 1

𝑥

𝑥→0 ln(cos 𝑥)

5. En cada una de las siguientes funciones, determine a)

6𝑥 2 −7

𝑑𝑦 𝑑𝑥

f)

lím+

𝑥→0

lím

𝑥2

ln2 (1+3𝑥) 𝑥 3 −𝑥 2

𝑥→0 𝑐𝑜𝑠(𝑥)−1

mediante derivación implícita.

b) 𝑦 3 − 2𝑥𝑦 + 7 = 3𝑥 + 1 e) x  ln  xy   31y  0

e)

c) (2𝑦 2 + 8)4 = 5𝑥 3 + 2𝑥

f) 𝑥 2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 = 𝑦 2 − cos 𝑦

6. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) definida implícitamente por la ecuación

y  xy2  5 en el punto (4; 1).

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7. Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función definida implícitamente por la ecuación xy  e x  e y  2 . Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥), en el punto (0; 0).

8. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva √1 + 𝑥2 𝑦 − 𝑥𝑦 2 + 5 = 0 en el punto (2; 2).

SÍNTESIS / EVALUACIÓN 9. Suponga que el volumen de ventas “𝑦” de una compañía (en miles de dólares) se relaciona con los gastos de publicidad “𝑥” (en miles de dólares) de acuerdo con 𝑥𝑦 − 20𝑥 + 10𝑦 = 0. Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas respecto al gasto en publicidad cuando 𝑥 = 10 (miles de dólares). 10. Suponga que la producción semanal de una compañía relaciona las horas de trabajo, 𝑥 , y los dólares de inversión de capital, 𝑦 , por medio de 30𝑥1/3 𝑦 2/3 = 384 000 Encuentre la razón de cambio de la inversión de capital con respecto a las horas de trabajo, cuando las horas de trabajo son 512 y la inversión de capital es de $64 000. 11. Cuando el precio de cierto artículo es “𝑝” dólares la unidad, el fabricante está dispuesto a ofrecer “𝑥” miles de unidades, donde 𝑥 2 − 2𝑥√𝑝 − 𝑝2 = −16.

a) ¿Con qué rapidez cambia el precio cuando se ofrece x miles de unidades? b) ¿con qué rapidez cambia el precio cuando se ofrece 20 miles de unidades a un precio de 16 dólares por unidad? 12. Una mujer conduce hacia una señal en la carretera. Sea 𝜃 su ángulo de visión de la

señal y sea 𝑥 su distancia (medida en pies) a esa señal. Si el nivel de sus ojos está a 4 pies de la superficie. a) Demuestre que tan 𝜃 =

𝑥2

4𝑥 + 252

b) Encuentre la razón de cambio 𝜃 respecto a 𝑥 y determine cuándo dicha razón es igual a cero.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS CÓDIGO UPN

AUTOR/TÍTULO

515.15 LARS 2011

Larson, R., Edwards, B. (2011). Cálculo I de una variable. McGRAWHILL.

515 STEW/C 2012 510 HAR/M 2015

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. CENGAGE Learning. Haeussler, E., Paul, R., Woods, R. (2014). Matemáticas para administración y economía. PEARSON.

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