Seminario 2. Igualdad de Parseval, Convergencia uniforme de Series de Fourier, Caso particular del Fenómeno de Gibbs, Polinomio de Hermite, Demostración del polinomio de Laguerre PDF

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Summary

Es un seminario Grupal y obligatorio para la Cátedra de Métodos Matemáticos II, en el cual se tenia que elaborar un informe y defenderlo oralmente, el mismo contiene los siguientes temas:
Igualdad de Parseval, Convergencia uniforme de Series de Fourier, Caso particular del Fenómeno de Gibbs, P...

Description

Universidad Nacional de Catamarca – FACEN DEPARTAMENTO DE FÍSICA (Plan 2005) Carrera: Licenciatura en Física: ALUMNOS: 

Décima, Santiago. M.U.N°: 618.



Ulik, Ana Rebeca. M.U.N°: 567.



Melendez Ariza, Leonardo Gabriel. M.U.N°: 614. DESARROLLO Corolario de la Igualdad de Parseval

Desigualdad de Bessel e Igualdad de Parseval: Se enuncia el siguiente teorema: Teorema 1: Sea e 1 , e 2 , … un conjunto ortonormal de vectores en un espacio euclideano V , de dimensión infinita, y sea x un vector arbitrario en V . Entonces:



∞

∑ ( x ∙ ek ) 2 ≤|x | (Desigualdad de Bessel) 2

k=1

Más aún, e 1 , e 2 , …

es una base para V

si, y solamente si:

∞

∑ ( x ∙ ek ) 2 =|x|2 (Igualdad de Parseval) k=1

En particular, si e 1 , e 2 , … convierte en: 2

∞

|x| =∑ 2

k=1

( x ∙ e k ) ek ∙ e k

es una base arbitraria para ∞

=∑ k=1

V , la igualdad de Parseval se

2

( x ∙ e k )

|e k|

2

Finalmente, el desarrollo en serie de un vector, en términos de una base arbitraria, es: ∞

x ∙ e k

k=1

|ek|2

x =∑

e k

Donde los: x ∙ek

|ek |

2

Son los coeficientes generalizados de Fourier de es cualquier función en

Corolario: Si f 2

π

x

con respecto a

e 1 , e 2 , … .

PC [− π , π ] , entonces:

∞

a0 1 2 f ( x ) dx= + ∑ ( a k 2 +b k2 ) (1) ∫ π −π 2 k=1 Donde los a k

y bk

son los coeficientes de Fourier de

f .

Demostración del corolario: Dado a que f está en PC [−π , π ] , se puede realizar un desarrollo en serie de Fourier para f , a partir del conjunto ortonormal 1, cos x , sin x , cos 2 x ,sin 2 x , … . Este desarrollo es: f ( x )=

a0 ∞ + ∑ ( a cos kx +b k sin kx )(2) 2 k=1 k 1|Página

Universidad Nacional de Catamarca – FACEN DEPARTAMENTO DE FÍSICA (Plan 2005) Carrera: Licenciatura en Física: Cuyos coeficientes a k y bk son: π

a k=

π

1 1 ∫ f ( x ) cos kx dx; b k = π ∫ f ( x ) sin kx dx (3) π −π −π

Multiplicando (2) por f ( x ) : 2

f (x) =

∞ a0 f ( x )+ ∑ ( a k f ( x ) cos kx +b k f ( x ) sin kx ) 2 k=1

Si a esta nueva expresión le multiplicamos ∞

dx y

1 : π

(

a0 1 2 1 1 1 f ( x ) dx= f ( x ) dx + ∑ a k f ( x ) cos kx dx+ bk f ( x ) sin kx dx 2 π π π π k=1

E integrando entre – π

)

y π :

(

π π π ∞ a0 1 π 1 1 1 2 ∫ f ( x ) dx= 2 π ∫ f ( x ) dx +∑ ak π ∫ f ( x ) cos kx dx+bk π ∫ f ( x ) sin kxdx π −π k=1 −π −π −π

)

En el segundo miembro se logra observar que tenemos los coeficientes de Fourier de la expresión (3). De esta manera, reemplazando estos coeficientes, se concluye que: π ∞ a0 1 2 ( ) dx= x f a + ∑ ( a a +b b ) ∫ 2 0 k=1 k k k k π −π π

2

∞

a 1 f ( x ) 2 dx= 0 + ∑ ( a k 2 +b k2 ) ∫ π −π 2 k=1 Por lo que queda demostrado el corolario de la Igualdad de Parseval. A la expresión (1) se la suele denominar Identidad de Parseval. Convergencia uniforme de Series de Fourier de

f

Si tenemos funciones que sean continuas, para garantizar tanto uniformidad cuanto convergencia absolutas: Afirmación que se prueba como: 

Teorema 2: Sea f una función continua en (−∞ , ∞ ) con periodo 2 π , y supóngase que f tiene una primera derivada continua por tramos. Entonces, la serie de Fourier para f converge uniforme y absolutamente a f en cada intervalo cerrado del eje x .

Demostración del Teorema 2: Sean: f ( x )=

a0 ∞ + ∑ ( a cos kx +b k sin kx) 2 k=1 k

Y f ' ( x )=

a0 ' ∞ + ∑ ( a ' cos kx+b k ' sin kx ) 2 k=1 k

Las series de Fourier para f y la primera derivada de Entonces, ya que f es periódica con período 2 π :

f , respectivamente.

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Universidad Nacional de Catamarca – FACEN DEPARTAMENTO DE FÍSICA (Plan 2005) Carrera: Licenciatura en Física: π

' 0

a=

1 ∫ f ' ( x ) dx= 1π [ f ( π )−f ( −π )]=0 π −π

Dado a que f ( π )=f (−π ) . Mientras que para

k >0 :

π

1 a = ∫ f ' ( x ) cos kx dx π −π ' k

Se puede integrar por partes:

∫ udv =uv −∫ vdu u=cos kx ;dv=f ' (x) dx Entonces: a'k =

[

π

1 f (x ) cos kx| π ∫ f ( x ) sin kx dx π −π + k −π

]

π

'

a k =k

1 ∫ f ( x )sin kx dx π −π

a'k =k b k Y: π

b'k =

1 ∫ f ' ( x ) sin kx dx π −π

Nuevamente, integrando por partes: u=sin kx ; dv =f ' (x) dx '

bk =

[

π

1 f (x ) sin kx| π ∫ f ( x ) cos kx dx π −π−k −π

]

π

bk' =−k

1 ∫ f ( x ) cos kx dx π −π

'

bk =−k a k Más aún, por la desigualdad de Bessel, se tiene: π

∞

( a +b'k 2) ≤ 1π ∫ f ' ( x )2 dx < ∞ ∑ k=1 −π '2 k

Así: 2

2 2 '2 '2 a k =k bk ; bk =k a k

2

a k +b k =k ( ak2 + bk 2 ) '2

'2

2

'2 '2 a k +b k =[ k √ a k + bk 2

]

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Universidad Nacional de Catamarca – FACEN DEPARTAMENTO DE FÍSICA (Plan 2005) Carrera: Licenciatura en Física: ∞

2

( ak'2 +b'k 2)= [k √ ak 2+ bk2 ]...