Seria 4 - Opracowanie serii przykładowych pytań na egzamin PDF

Preview

Summary

Opracowanie serii przykładowych pytań na egzamin...

Description

d2 x dx2

+ ω 0 2 x = 0 x – położenie ciała; t – czas ruchu; ω - częstość drgań

Przykłady: masa na sprężynie, wahadło matematyczne, obwód LC

I0

F θ =− mg · sinθ ≈− mgθ 2

− mgθ ≈ mL ddt2θ

g d2 θ 2 + Lθ = dt wychylenia θ )

ω0 ≡

√

0 (wynik przybliżony, prz małych kątach

g L

L0

a)

I = 13 mL0 2

T = 2π b)

√

I mgL0

√

I mgR

2

√

L0 3g

I = mR + mR = 2mR2

T = 2π

2

= 2π = 2π

√

2R g

F (x) =− k x 2

F = m ddt2x 2

− kx = m ddtx2 d2 x dt2

+ mk x = 0

√ T = 2π √

ω0 ≡

k m

k m

2

2

a) I = 12 mR + mR = 32 mR

√ = √

I mgR

√ = √

I mgR

T = 2π ω0

= 2π

√

2

3R 2g

2R 3g

d2 x 2R 2 + 3g x = 0 dx 2 2 2 b) I = 12 mR + 14 mR = 34 mR

T = 2π ω0 d2 x dx2

= 2π

√

3R 4g

4R 3g

+

4R 3g x

=0 g = 9, 81 m/s2

F θ =− mg · sinθ ≈− mgθ 2

− mgθ ≈ mL ddt2θ d2 θ dt2

g

+ Lθ = 0

T = 2π

√

L g

⇒L=

T 2g 4π 2

≈ 24, 85 m η F η =− 6πRvη

F =− kx F η =− 6πRvη 2

− k x − 6πR dx η = m d 2x dt dt

2

d x dt2

+ 2δ dx + ω 0 2x = 0 dt

ω0 = d2 x dt2

+

√

6π Rη dx m dt

k m

2δ =

6πRη m

+ mk x = 0 ω ω0

2

d x dt2

+ 2δ dx + ω 0 2x = 0 dt

x = Aeλt λ2 Aeλt + 2δλ Aeλt + ω 0 2 Aeλt = 0 λ2 + 2δλ + ω 0 2 = 0 a) Δ = 0

λ1 = λ2 =− δ x(t) = (C + F t)e−δt Ruch jest aperiodyczny – amplituda położenia monotonicznie maleje do wartości równowagowej b) Δ < 0

x(t) = D e(−δ−i√ω 0

2 −δ 2)t

+ E e(−δ+i√ω 0

2 −δ 2 )t

√ λ =− δ + i√ω − δ Parametry D i E można wyznaczyć z warunków λ1 =− δ − i ω 0 2 − δ 2 2

początkowych

0

2

2

Częstość drgań własnych oscylatora tłumionego jest mniejsza niż oscylatora swobodnego (bez tłumienia).Zależy od intensywności wprowadzonego oporu. c) Δ > 0

x(t) = D e(−δ−i√ω 0

2 −δ 2)t

+ E e(−δ+i√ω 0

2 −δ 2 )t

√ λ =− δ + i√ω − δ Parametry D i E można wyznaczyć z warunków początkowych λ1 =− δ − i ω 0 2 − δ 2 2

0

2

2

Ruch jest aperiodyczny – amplituda położenia monotonicznie maleje do wartości równowagowej

Rzeczywisty oscylator harmoniczny jest tłumiony, bo np. sprężyna nie drga w nieskończoność, tylko po pewnym czasie wytraca swoją energię. A więc, w rzeczywistości będziemy obserwować ruch oscylacyjny złożony z zanikiem wykładniczym, czyli po prostu drgania o coraz mniejszej amplitudzie. Jeśli na oscylator działa dodatkowo zewnętrzna siła (również o oscylującej wartości), to mamy do czynienia z jego drganiami wymuszonymi, taki układ nazywamy oscylatorem harmonicznym tłumionym z periodyczną siłą wymuszającą. Wzór:

d 2x dt2

+ ω0 2 x = + 2δ dx dt

Fw m sin(Ωt)

Przykład:

ω0 Ω

δ

A(ω)

Częstość rezonansowa jest zależna od współczynnika tłumienia. Gdy δ 2 ≥ ω 0 2 zjawisko rezonansu przestaje zachodzić. a)ze słabym tłumieniem

| Fw || | 2 | A = A(Ω) = m (ω 2−Ω 2) +δ 2 | | √ 0 |

Przy b. słabym tłumieniu ( δ...