Mechanika ogólna I - budownictwo - opracowanie teorii na egzamin PDF

Preview

Summary

1. Zasady(aksjomaty) statyki. 1. Zasada P1 i P2 jednej R na ten sam punkt, ABCD zbudowanego na wektorach P1 i P2. Z zasady tej wynika, P1 i P2 jest wypadkowej R, wyznaczamy: R P12 P22 2 P1 P2 cos . W przypadku, gdy te jednej prostej i zgodnie skierowane wypadkowej: R P1 P2 , gdy przeciwnie skierowan...

Description

1.1. Zasady(aksjomaty) statyki. 1. Zasada równoległoboku: Działanie dwóch sił P1 i P2 można zastąpić działaniem jednej siły R działającej na ten sam punkt, będącej przekątną równoległoboku ABCD zbudowanego na wektorach sił P1 i P2. Z zasady tej wynika, że działanie sił P1 i P2 równoważne jest działaniu wypadkowej R, której wartość wyznaczamy:

R  P12  P22  2 P1P2 cos  . W przypadku, gdy siły te działają wzdłuż jednej prostej i są zgodnie skierowane wartość wypadkowej: R  P1  P2 , gdy zaś są przeciwnie skierowane i P2>P1: R  P2  P1 2. Jeżeli do ciała przyłożone są dwie siły, to równoważą się one tylko wtedy, gdy mają tę samą linię działania, te same wartości liczbowe i przeciwne zwroty: P1   P2 , P1  P2 . Na podstawie tej zasady można wyprowadzić pojęcie siły zerowej i siły przeciwnej do P1, której bezwzględna wartość i linie działanie są takie same, ale zwrot jest przeciwny. 3. Skutek działania dowolnego układu sił, przyłożonego do ciała nie zmieni się, jeśli do tego układu dodamy lub odejmiemy dowolny układ równoważących się sił, czyli tzw. układ zerowy. Z zasady tej wynika, że każdą siłę działającą na ciało sztywne można przesunąć dowolnie wzdłuż jej linii działania. 4. Zasada zesztywnienia: Jeżeli ciało odkształcalne znajduje się w równowadze pod działaniem pewnego układu sił, to również pozostanie w równowadze ciało doskonale sztywne(nieodkształcalne) identyczne z poprzednim pod działaniem tego samego układu sił. Z zasady tej wynika, że warunek konieczny i wystarczający dla równowagi ciała sztywnego jest tylko warunkiem koniecznym dla równowagi ciała odkształcalnego. 5. Zasada działania i przeciwdziałania: Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości o przeciwnym zwrocie i leżące na tej samej prostej przeciwdziałanie. 6. Zasada oswobodzenia od więzów: Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić z więzów, zastępując ich działania reakcjami, a następnie rozpatrywać jako ciało swobodne znajdujące się pod działaniem sił czynnych i biernych(reakcji więzów). 1.2. Stopnie swobody, więzy. Każde ciało doskonale sztywne mogące poruszać się w przestrzeni nazywamy ciałem swobodnym. Stopniem swobody(l) nazywa się możliwość wykonania ruchu ciała niezależnego od innych ruchów. Ciało L. stopni swobody Punkt materialny na 2 płaszczyźnie Punkt materialny w przestrzeni

3

Ciało doskonale sztywne na płaszczyźnie

3

Dwa przesunięcia w kierunkach osi x i y i obrót w płaszczyźnie Oxy.

Ciało doskonale sztywne w przestrzeni

6

Trzy przesunięcia w kierunkach x, y i z oraz obrót wokół tych osi.

Więzami(f) nazywamy warunki ograniczające ruch ciała w przestrzeni 1.3. Rachunek wektorowy. Skalar – wielkość, którą można określić za pomocą jednej liczby rzeczywistej. Np. masa, temperatura, czas, praca, energia kinetyczna. Wektor – wielkość określona liczbą oraz mająca kierunek i zwrot w przestrzeni. Np. siła, prędkość, przyspieszenie. Rodzaje wektorów: -związane z punktem(uczepione) – do określenia tego wektora potrzeba: linii działania, modułu, zwrotu i położenia początku wektora. Nie można go przenosić z miejsca, ani przesuwać wzdłuż prostej działania. -związane z prostą – do określenia potrzeba: linii działania, modułu i zwrotu. Można przesuwać go wzdłuż prostej działania. -swobodne - do określenia potrzeba: kierunek równoległy do linii działania, modułu, zwrotu. Wyróżniamy wektory swobodne równoległe, równe, przeciwne, równoważne, zerowe i jednostkowe(wersory).

Wektor we współrzędnych kartezjańskich jest określony równaniem: a  a x i  a y j  a z k . Wartość(moduł) wektora: a  a x 2  a y 2  a z 2 Cosinusy kątów, jakie wektor a tworzy z osiami współrzędnych:

cos 

a ax a , cos  y , cos  z . a a a

Działania na wektorach swobodnych:

1. Dodawanie i odejmowanie(reguła równoległoboku, przesuwanie równoległe): a  b b  a - przemienność dodawania a  b  c a  (b  c) -łączność dodawania a b (a xi a y j a zk )  b( xi b y j b zk ) a(

b x i)  a(

x

b

y

y

)j  a(

z

b z k)  c xi c y j c z k c

2. Mnożenie wektorów: Iloczyn skalarny dwóch wektorów a b jest to skalar równy iloczynowi modułów wektorów składowych przez cosinus kąta zawartego między nimi: a b ab cos( a, b) . Własności: a b b a - przemienność, (a  b) c a c  b c - rozdzielność, m( a b) ( m a ) b  a (m b ) - łączność mnożenia przez liczbę m. Przypadek Wartość cosinusa Wartość iloczynu Wektory równoległe 1 ab Wektory przeciwne -1 -ab Wektory prostopadłe 0 0 Wektory równe 1 a2 Kąt między dwoma wektorami: cos( a, b) 

a xb x  a yb y  a zb z

.

ab

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów ( a b ) jest to wektor , którego moduł równa się iloczynowi modułów wektorów składowych przez sinus kąta zawartego między nimi: a b c, c ab sin( a, b) . i

j

k

a b  ax

ay by

az bz

bx

Własności: Wektor c jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez wektory składowe, a jego zwrot określamy regułą śruby prawoskrętnej. Wektor a obracamy o najmniejszy kąt α pokrycia się z wektorem b. Zwrot wektora c wskaże ruch końca śruby obracającej się w takim samym kierunku. a b   b a - nieprzemienność, (a  b ) c a c  b c c (a  b ) c a  c b m ( a b) (m a ) b a (m b )

Moduł iloczynu wektorowego równa się liczbowo polu równoległoboku zbudowanego na wektorach składowych. Przypadek Wartość sinusa Wartość iloczynu Wektory równoległe 0 0 Wektory prostopadłe 1 ab Wektory równe 0 0 1.4. Płaski układ sił zbieżnych. Płaski układ n sił zbieżnych przyłożonych do punktu O można zastąpić siłą wypadkową P równą sumie geometrycznej tych sił i przyłożoną również w punkcie O. Sposoby wyznaczania wypadkowej P: -analityczny – tw. o rzucie sumy wektorów. Wyznaczamy kąty nachylenia wektorów sił do osi układu OX, składowe wypadkowej mają postać: n

Px P1 cos 1  P2 cos  2  ...  Pn cos  n  Pix i1

n

(1)

Py P1 sin 1  P2 sin  2  ...  Pn sin  n  Piy i 1

Wartość liczbowa wypadkowej i jej kąt nachylenia do osi OX:

P  Px2  Py2 tg 

Py Px

(2)

-geometryczny – budujemy wielobok sił, w którym wektory sił odkładamy równolegle do ich linii działania. Z punktu O odkładamy wektor P1, z jego końca P2 i tak do Pn. Wektor poprowadzony z początku wektora P1 do końca wektora Pn jest wypadkową układu sił zbieżnych. Rozkładając wektor siły na składowe wykorzystujemy sumy rzutów wg wzorów (1) uwzględniając znaki związane z przyjętym układem OXY. Przy metodzie geometrycznej siły przenosimy równolegle do linii ich działania wykorzystując miary kątów. 1.5. Równowaga płaskiego układu sił zbieżnych.

Analityczny warunek równowagi płaskiego układu sił zbieżnych: Aby siły zbieżne leżące w jednej płaszczyźnie były w równowadze, sumy rzutów tych sił na osie układu współrzędnych muszą być równe zeru: n

 Pix  0 i 1

n

P

iy

0

i 1

Geometryczny warunek równowagi płaskiego układu sił zbieżnych: Aby układ sił zbieżnych działających w jednej płaszczyźnie znajdował się w równowadze, wielobok utworzony ze wszystkich sił tego układu musi być zamknięty. Twierdzenie o trzech siłach: Trzy nierównoległe siły na płaszczyźnie są w równowadze tylko wtedy, gdy tworzą trójkąt zamknięty, a linie ich działania przecinają się w jednym punkcie. 1.6. Przestrzenny układ sił zbieżnych. Przestrzenny układ n sił zbieżnych przyłożonych do punktu O można zastąpić siłą wypadkową P równą sumie geometrycznej tych sił i przyłożoną również w punkcie O. Sposoby wyznaczania wypadkowej P: -analityczny – wygodniejszy. Wyznaczamy składowe wypadkowej P – Px, Py, Pz w prostokątnym układzie współrzędnych OXYZ: n

n

i1

i 1

n

n

Px  Pix  Pi cos  i Py   Piy  Pi cos  i (1) i1

i1

n

n

i1

i 1

Pz  Piz  Pi cos i Wartość liczbowa wypadkowej i jej cosinusy kierunkowe:

P  Px2  Py2  Pz2 Py Px P (2) , cos   , cos   z P P P -geometryczny – budujemy wielobok sił, w którym wektory sił odkładamy równolegle do ich linii działania. Z punktu O odkładamy wektor P1, z jego końca P2 i tak do Pn. Wektor poprowadzony z początku wektora P1 do końca wektora Pn jest wypadkową układu sił zbieżnych. cos  

1.7. Równowaga przestrzennego układu sił zbieżnych. Analityczny warunek równowagi przestrzennego układu sił zbieżnych sprowadza się do trzech równań rzutów sił na dowolne trzy nierównoległe do jednej płaszczyzny osie. n

P

ix

i1

n

  Pi cos  i 0 i 1

n

n

i1

i 1

n

n

i1

i 1

 Piy  Pi cos  i 0  Piz  Pi cos i 0 Geometryczny warunek równowagi płaskiego układu sił zbieżnych jest spełniony, gdy wypadkowa tych sił będzie równa zeru. Wielobok sił jest wtedy zamknięty i ma zgodny obieg wektorów sił. 2.1. Moment siły względem punktu. Momentem siły P względem punktu O nazywamy odłożony z punktu O wektor M O, równy iloczynowi wektorowemu promienia wektora r i wektora siły P. M O r P

Własności momentu siły względem punktu: -wektor momentu jest prostopadły do płaszczyzny określonej wektorami r i P o zwrocie określonym regułą śruby prawoskrętnej, -symbol momentu musi być opatrzony indeksem wskazującym punkt, względem którego jest obliczany, ponieważ moment zależy od wyboru punktu, -wartość momentu jako moduł wektora jest określona wzorem: M O Pr sin   Ph 2E

α – kąt między wektorami r i P sprowadzonymi do wspólnego punktu, h r sin  - najkrótsza odległość od linii działania siły do punktu(ramię siły P względem punktu O), E – pole zakreskowanego trójkąta OAB. i M O  rx Px

j ry Py

k rz (r y Pz  rz Py )i  (rz Px  rx Pz ) j  (rx Py  r y Px )k Pz

MO M x i  M y j  M z k

Wartość momentu siły względem punktu O, nieleżącego na jej linii działania równa się iloczynowi wartości siły P i ramienia siły h. Moment siły P względem punktu O równa się zeru, gdy punkt O leży na linii działania siły. Moment MO wypadkowej P układu n sił zbieżnych względem dowolnego punktu O, jeśli OA r będzie równy: n

M O  r P  r   Pi i1

Można również zapisać: M O 

n

n

i 1

i 1

 ( r Pi )   M iO .

Z ostatniego wzoru wynika twierdzenie Varignona – Moment siły wypadkowej P przestrzennego układu sił zbieżnych względem dowolnego punktu O równy jest sumie geometrycznej momentów tych sił względem tego samego punktu. 2.2. Moment siły względem osi. Momentem siły względem osi nazywamy rzut wektora momentu siły względem dowolnego punktu osi na tę oś. Wykonajmy rzut siły P na dowolną płaszczyznę Π prostopadłą do osi l. Oznaczmy otrzymany rzut przez P’, a punkt O’ przebicia płaszczyzny przez oś l. Momentem siły P względem osi l nazywamy moment siły P’ względem punktu O’.

M l  P ' h' 2 E ' h’ – odległość punktów A i O na płaszczyźnie prostopadłej do osi l. Wartość(moduł) momentu siły P względem osi l równa się iloczynowi modułu tej siły P i jej odległości h od osi l, pomnożonemu przez sinus kąta zawartego między siłą P a prostą l.

M l  P' h sin  h – prostopadła odległość osi l od linii działania siły P. Moment siły P względem osi l jest równy zeru, gdy: -wartość siły P=0, -linia działania siły P przecina się z osią l(h=0), -siła P jest równoległa do osi. Rozkładając siłę P dowolnie skierowaną w przestrzeni na składowe równoległe do osi układu i wyznaczając jej moment względem układu współrzędnych, otrzymamy: i M O r P  x Px

j y Py

k z ( yPz  zPy )i  ( zPx  xPz ) j  ( xPy  yPx )k Pz

Wynika stąd, że składowe momentu MO są momentami siły P względem osi x, y, z układu współrzędnych. Analityczne wzory na momenty siły względem osi: M x  yPz  zPy , M y  zPx  xPz , M z  xPy  yPx 2.3. Siły równoległe. Redukcja sił równoległych zgodnie skierowanych: Wypadkowa sił równoległych jest sumą algebraiczną tych sił i ma ich kierunek działania. Wyznaczenie wypadkowej sił równoległych sprowadza się więc do wyznaczenia jej położenia, czyli odległości od którejkolwiek z sił składowych, której położenie jest znane. Siły P1 i P2 są przyłożone do punktów A i B, działają wzdłuż prostych l1 i l2. Prowadzimy prostą l3 przechodzącą przez punkty przyłożenia sił A i B i przykładamy w tych punktach na zewnątrz układu wzajemnie równoważące się siły S1 i S2 o dowolnych, równych sobie wartościach. Następnie wyznaczamy wypadkowe sił P1 i S1 – R1 oraz P2 i S2 – R2. R1  P 1  S 1 R 2  P 2  S 2 Przesuwamy te wypadkowe wzdłuż linii ich działania do punktu C, w którym się spotykają i zastępujemy je wypadkową R, leżącą na prostej l, równoległej do l1 i l2. R  R 1  R2  P 1  S 1  P 2  S 2  P 1  P 2 O wartości liczbowej: R  P1  P2 Punkt D przecięcia prostej l z prostą l3 to punkt, do którego przesuwamy wypadkową R. Wypadkowa dwóch sił równoległych zgodnie skierowanych działa równolegle do tych sił i ma zwrot zgodny ze zwrotami tych sił. Jej wartość jest równa sumie wartości tych sił, a jej linia działania dzieli wewnętrznie odległości między liniami działania sił w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do wartości tych sił:

AD  AB

P2 P1 , BD  AB , gdzie AB  AD  BD . P1  P2 P1  P2

Redukcja sił równoległych przeciwnie skierowanych: Załóżmy, że siła P1, przyłożona w punkcie A ma większą wartość liczbową P1>P2. Przez punkty przyłożenia sił A i B prowadzimy prostą l3 oraz przykładamy w tych punktach wzajemnie równoważące się siły S1 i S2, do wewnątrz układu. Zastępujemy siły P1 i S1 wypadkową R1 i P2 i S2 – R2: R  R 1  R2  P 1  S 1  P 2  S 2  P1  P2 .

Przesuwamy te wypadkowe wzdłuż ich linii działania do punktu spotkania C i zastępujemy je wypadkową R leżącą na prostej l, równoległej do prostych l1 i l2: R  R 1  R2  P1  S 1  P 2  S 2  P1  P2 . Wartość liczbowa wypadkowej R: R  P1  P2 A jej zwrot jest zgodny ze zwrotem siły o większej wartości. Punkt D przecięcia prostej l z prostą l3 to punkt, do którego przesuwamy wypadkową R. Wypadkowa dwóch sił równoległych przeciwnie skierowanych działa równolegle do tych sił i ma zwrot zgodny ze zwrotem siły o większej wartości. Jej wartość jest różnicą wartości tych sił, a jej linia działania dzieli zewnętrznie odległości między liniami działania sił w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do wartości tych sił i leży po stronie większej siły:

AD  AB

P2 P1 , BD  AB , gdzie AB  AD  BD . P1  P2 P1  P2

Korzystając z tych zależności można rozłożyć jedną siłę P na dwie równoległe do niej składowe, działające wzdłuż prostych przechodzących przez określone dwa punkty A i B leżące po przeciwnych stronach linii działania danej siły, bądź po jednej stronie. 2.4. Para sił i jej moment. Równoległe przesunięcie siły. Układ dwóch sił o równych wartościach, lecz różnych zwrotach nazywamy parą sił. Płaszczyzna, w której leżą obie siły jest płaszczyzną pary sił. Ramieniem pary sił jest odległość między liniami działania obu sił. Suma momentów obu sił względem dowolnego punktu O wynosi: M O r1 P  r2 P . Drugi wyraz jest ujemny, ponieważ siła przyłożona w punkcie B ma zwrot przeciwny. r1 r2  r0 , stąd r2 r1  r0 . M O  r1 P  (r1  r0 ) P r0 P  M .

Wartość momentu wynosi: M O  r0 P sin  gdzie φ to kąt między liniami działania sił, a wektorem r0(taki sam, bo siły mają takie równoległe linie działania). Wektor momentu pary sił M jest prostopadły do płaszczyzny działania obu sił, a jego zwrot określa zasada śruby prawoskrętnej. Moment pary sił jest niezależny od wyboru punktu O i jest wielkością stałą, a jego wartość równa się iloczynowi wartości jednej z sił pary i odległości między nimi. 2.5. Twierdzenia o parach sił. 1. Dwie pary sił o tej samej płaszczyźnie działania są sobie statycznie równoważne, gdy mają równe momenty. Dowód: Dana jest para sił P1 i –P1 o liniach działania l1 i l2. Moment pary sił wynosi M1=P1a. Przeprowadzamy dwie dowolne proste m1 i m2, równoległe do siebie. Otrzymamy punkty C, D, E i F przecięcia tych prostych z prostymi l1 i l2. Siły P1 i –P1 zaczepione w punktach A i B możemy przesunąć wzdłuż linii ich działania do punktów C i D. Na prostej przechodzącej przez punkty C i D przykładamy układ sił R i –R równoważny zeru. Po złożeniu sił P1 i –R i –P1 i R otrzymamy siły wypadkowe P2 i –P2 leżące na prostych m1 i m2. Z równowagi równoległoboków sił zbudowanych w punktach C i D, wynika że siły P2 i –P2 tworzą parę sił równoważną parze sił P1 i –P1, ponieważ różnią się tylko o układ zerowy: M 2 P2 b  P1a M 1

2. Zachowując niezmieniony moment, parę sił można przenieść do dowolnej płaszczyzny równoległej do jej płaszczyzny działania. Dowód: Dana jest para sił P1 i –P1 w odległości h, leżąca w płaszczyźnie π1. Na płaszczyźnie π2 równoległej umieszczamy dwa układy równoważne zeru sił P2 i –P2 w tej samej odległości h. Zakładamy, że siły P2 i –P2 są równe siłom P1 i –P1. Wypadkowa sił jednakowo zwróconych P1 i P2 wynosi (P1+P2) i przyłożona jest w punkcie O. Podobnie wypadkowa sił –P1 i –P2 równa –(P1+P2) jest również przyłożona w punkcie O. Siły wypadkowe równoważą się tworząc w punkcie O układ równoważny zeru. Z całego układu pozostają wtedy siły P2 i –P2, tworzące parę się równoważną parze P1 i –P1 na płaszczyźnie π2.

3. Dwie pary sił działające w jednej płaszczyźnie można zastąpić przez jedną parę sił działającą w tej płaszczyźnie o momencie równym sumie momentów danych par. Dowód: Dane są dwie pary sił P1 i –P1 i P2 i –P2. Siły te możemy przesunąć wzdłuż ich linii działania l1 i l2 oraz m1 i m2 do punktów A i B. Po złożeniu sił P1 i P2 oraz –P1 i –P2 otrzymamy wypadkowe P i –P: P  P1  P2  P  P1  P2 . Siły P i –P stanowią parę sił, jest to para równoważna parom P1 i –P1 oraz P2 i –P2. Oznaczając przez momenty tych par M1, M2, M, a odległość AB r można zapisać:

M r P r ( P1  P2 ) r P1  r P2 M 1  M 2

4. Dwie pary sił działające w przecinających się płaszczyznach są równoważne jednej parze sił o momencie równym wektorowej sumie momentów tych par. Dowód: Dane są dwie pary sił P1 i –P1 i P2 i –P2 o momentach M1 i M2 działające odpowiednio w płaszczyznach π1 i π2, przecinających się wzdłuż prostej l. Siły P1 i P2 przyłożone do punktu A zastępujemy wypadkową P, a siły –P1 i –P2 w punkcie B wypadkową –P: P  P1  P2  P  P1  P2 Siły P i –P są więc parą sił równoważną układowi dwóch par. Oznaczając przez M moment tej pary, a przez r odległość AB otrzymujemy: M r P r ( P1  P2 ) r P1  r P2 M 1  M 2

2.6. Redukcja i równowaga układu par sił.

N par sił działających na ciało sztywne o momentach odpowiednio M1, M2, …, M n możemy zredukować do wypadkowej pary sił (P, -P), o momencie równym wektorowej sumie momentów wszystkich danych par sił. n

M  M1  M2  ...  M n   M i i1

Moment wypadkowy uzyskać można metodą geometryczną, przez stworzenie wieloboku. Wypadkowa będzie bokiem domykającym wielobok. Wypadkową parę sił możemy umieścić w dowolnej płaszczyźnie prostopadłej do wektora momentu. Mając dane składowe wektorów momentów par sił znajdujemy składowe wektora momentu wypadkowego: n

M x  M 1x  M 2 x  ...  M nx   M ix i 1 n

My  M1y  M2 y  ...  Mny  Miy i 1 n

M z  M1 z  M 2 z  ...  M nz   M iz i1

Wartość momentu i cosinusy kierunkowe:

M  M cos 

2

x

M

2

y

M

2

z

My Mx M , cos , cos  z M M M

Układ par sił będzie w równowadze tylko wtedy, gdy ...