Series-Laurent - matematica avanzada3 PDF

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Series de Laurent Gladys Cruz Yupanqui 8 de noviembre de 2017

1.

Sucesiones y Series

1.1.

Sucesi´ on compleja

Una sucesi´on de n´ umeros complejos es una funci´on de la forma {zn } : N −→ C tal que para cada n ≥ 1 se asocia un zn complejo. Si l´ımn−→∞ zn = L se dice que {zn } en convergente. Es decir, {zn } −→ L si para cada ǫ > 0 existe un N tal que |zn − L| < ǫ cuando n > N . Si una sucesi´on no es convergente, se dice que es divergente. Ejemplo 1.

1. {1 + in } = {1 + i, 0, 1 − i, 2, 1 + i, . . .}, la serie diverge.

2. {

−i 1 i −1 1 in+1 = {−1, , , , , . . .}} −→ 0 la serie converge. n 2 3 4 d5 6

3. {

2 2 3 + ni } −→ +i n + 2ni 5n 5n

1.2.

Series

Una serie o serie infinita ∞ X

zk = z1 + z2 + z3 + . . . + zn + . . .

(1.1)

k=1

converge si las sumas parciales {Sn } Sn = z 1 + z 2 + z 3 + . . . + z n convergen. Es decir, si Sn −→ L cuando n −→ ∞ si

1

(1.2) P∞

k=1

zk = L.

1.3.

Serie geom´ etrica

Una serie geom´etrica es de la forma ∞ X

az k−1 = a + az + az 2 + az 3 + . . . + az n−1 + . . .

(1.3)

k=1

el n-´esimo t´ermino de la suma parcial de Sn es Sn = a + az + az 2 + az 3 + . . . + az n−1

(1.4)

zSn = az + az 2 + az 3 + . . . + az n

(1.5)

y

Restando (1.4) y (1.5) se obtiene que Sn =

a(1 − z n ) 1−z

(1.6)

Pero z n −→ 0 cuando n −→ ∞ para |z| < 1. Por lo tanto, ∞ X

az k−1 =

k=1

a 1−z

y para |z| > 1 la serie geom´etrica diverge.

1.4. 1. 2.

Series especiales 1 = 1 + z + z2 + z3 + . . . 1−z

1 = 1 − z + z2 − z3 + . . . 1+z

Ambas series son v´alidas para |z| < 1.

1.5.

Convergencia P∞

Si k=1 zk converge entonces l´ımn−→∞ zk = 0 P∞ Si l´ımn−→∞ zk 6= 0 entonces k=1 zk diverge P∞ Una serie infinita z se dicePque es absolutamente convergente si k=1 k P∞ ∞ k=1 |zk | converge. Una serie infinita P∞ k=1 zk se dice que es condicionalmente convergente si ´esta converge pero k=1 |zk | diverge. 2

1.5.1.

Pruebas de Convergencia

Teorema 1. [Criterio de la Raz´on] Supongamos que la serie que zn+1 |=L l´ım | n−→∞ zn

P∞

k=1

zk es tal

(i) Si L < 1 entonces la serie converge absolutamente (ii) Si L > 1 o L = ∞ entonces la serie diverge (iii) Si L = 1 entonces la serie puede ser convergente o divergente. P Teorema 2. [Criterio de la Ra´ız] Supongamos que la serie ∞ k=1 zk es tal que p l´ım n |zk | = L n−→∞

(i) Si L < 1 entonces la serie converge absolutamente (ii) Si L > 1 o L = ∞ entonces la serie diverge (iii) Si L = 1 entonces la serie puede ser convergente o divergente.

1.6.

Series de Potencias

Una serie de la forma a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a)2 + · · · =

∞ X n=0

an (z − a)n

se llama serie de potencias en z − a. 1.6.1.

C´ırculo de Convergencia

Toda serie de potencias compleja tiene un c´ırculo de convergencia con centro en a y radio R, esto es |z − a| = R, y la serie converge en |z − a| < R y diverge en |z − a| > R. 1 Considerendo los criterios de convergencia, tomamos R = L

3

Figura 1: Regi´on de convergencia de una serie

2.

Serie de Taylor

2.1.

Series de Taylor

Sea f (z) anal´ıtica dentro y sobre una curva cerrada simple C. Sean a y h + a dos puntos de C. Entonces f (a + h) = f (a) + hf ′ (a) +

hn h2 ′′ f (a) + . . . + f (n) (a) 2! n!

escribiendo z = a + h, h = z − a, f (z) = f (a) + f ′ (a)(z − a) + =

∞ X f (k) (a) (z − a)k k! k=0

f ′′(a) f (n) (a) (z − a)2 + . . . + (z − a)n 2! n! (2.7)

Si a = 0, la serie de Taylor se llama serie Maclaurin, es decir, ∞ X f (k) (0) k z f (z) = k!

(2.8)

k=0

3.

Series de Laurent

Sea f (z) anal´ıtica dentro y sobre la regi´on limitada por el anillo C1 y C2 : R1 < |z − a| < R2 , luego f (z) se puede escribir como la serie de potencias 4

Figura 2: Regi´on de convergencia de la serie de Laurent

∞ X

n=−∞

n

an (z − a) =

donde

∞ X n=1

1 an = 2πi

∞

X a−n + an (z − a)n (z − a)n n=0

I

(3.9)

f (z) (z − a)n+1

C

C es cualquier c´ırculo conc´entrico entre C1 y C2 y n ∈ Z . El primer sumando de la serie (3.9) se llama parte principal (PP) de la serie y el segundo se llama parte ana´ılitica (PA) de la serie.

4.

Residuos El coeficiente a−1 del t´ermino

de f (z) en z = a, esto es, a−1

1 de la serie de Laurent se llama residuo z−a

1 = 2πi

I

f (z)dz

(4.10)

f (z)dz = 2πia−1

(4.11)

C

de donde I

C

5

4.0.1.

C´ alculo de residuos

Si z = a es un polo de orden k entonces el residuo de f (z) en z = a est´a dado por dk−1 1 {(z − a)k f (z )} z−→a (k − 1)! dz k−1

a−1 = l´ım 4.0.2.

(4.12)

Teorema del residuo

Sea f (z) un´ıvoca y anal´ıtica dentro y sobre una curva simple cerrada excepto en las singularidades a, b, c, . . . interiores a C con residuos dados por a−1 , b−1 , c−1 , . . .. Entonces el teorema del residuo dice que I f (z)dz = 2πi(a−1 + b−1 + c−1 + . . .) (4.13) C

3 , entonces 1−z

Ejemplo 2. Sea f (z) =

a−1 = Res(f (z), 1) = l´ım (z − 1) z−→1

y la integral

I

C

−3 = −3 z−1

3 dz = 2πi(−3) = −6πi 1−z EJERCICIOS

1. Determine si la sucesi´on dada converge o diverge n(1 + i)n 3ni + 2 } b) { } n+1 n + ni n + in ni + 2n { √ } d) { } 3ni + 5n n

a) { c)

2. Determine si la serie geom´etrica dada es convergente o divergente a) d)

P∞

k=0 (1

P∞

k=0

− i)k

1 4i( )k−1 e) 3

P i k ) b) ∞ k=1 ( 2 P∞ ik k=2

6

(i + 1)k−1

c)

P∞

k=0

3(

2 )k 1 + 2i

3. Halle el c´ırculo y radio de convergencia de la serie de potencias

a) c) e)

P∞ (−1)k 1 k (z − 2i) b) (z − 1 − i)k k=1 k=0 (1 − 2i)k+1 k2k P∞ P∞ 1 k k k ( )(z) d) k=0 (1 + 3i) (z − i) k=0 k 1+i P∞ P∞ (z − 4 − 3i)k (2k )! (z − i)2k f) k=0 k=0 2k 5 (k + 1)(k!)2

P∞

4. Desarrollar en una serie de Taylor alrededor del punto indicado y determinarla regi´on de convergencia f (z) = e−z ; z = 0 b) f (z) = cos z; z = π/2 1 ; z = 1 d) f (z) = ze2z ; z = −1 f (z) = 1+z z 1+z e) f (z) = ;z = i ; z = 0 f )f (z) = 1−z 1+z

a) c)

5. Halle una serie de Maclaurin para ln(1 − z ) 6. Desarrollar f (z) =

1 en una serie de Laurent v´ alida para z−3 a) |z | < 3 b) |z | > 3

7. Desarrolle en una serie de Laurent f (z) =

z v´alida para (z − 1)(2 − z)

a) |z| < 1 b) 1 < |z| < 2 c) |z| > 2 d) |z − 1| > 1 e) 0 < |z − 2| < 1 8. Halle la serie de Laurent de la funci´on f (z) = |z − 1| < 1.

3z − 3 en (2z − 1)(z − 2)

1 2

<

9. Desarrolle cada una de las siguientes funciones en una serie de Laurent al rededor de z = 0, clasificando las singularidades en cada caso 2

a) (1 − cos z)/z b) ez /z 3√ c) z −1 cosh z −1 4 d) z 2 e−z e) z sinh z

7

10. Halle la serie de Laurent de la funci´on a) c)

z (z + 1)(z + 2)

e2z z − sin z ; z = 0 b) ;z = 1 (z − 1)3 z3 2 ;z = 3 d) e−2/z ; z = 0

11. Use una serie de Laurent para encontrar el residuo indicado. 2 ; Res(f (z ), 1) (z − 1)(z + 4) 1 b) f (z) = 3 ; Res(f (z ), 0) z (1 − z ) 4z − 6 c) f (z) = ; Res(f (z), 0) z(2 − z)

a) f (z) =

2

d ) f (z) = e−2/z ; Res(f (z ), −3)

12. Use el teorema del residuo para evaluar las siguientes integrales z dz (z − 1)(z + 1)2 H z dz b) |z+1|=1/2 (z − 1)(z + 1)2 H 4z − 6 dz c) |z−1|=3 z(2 − z) H 2 dz en torno a z = 0. d) C 1 − ez a)

H

|z−1|=1/2

8...