Title | SISTEM BILANGAN RASIONAL |
---|---|
Author | Tajallah El-Yazid |
Pages | 4 |
File Size | 270.1 KB |
File Type | |
Total Downloads | 51 |
Total Views | 783 |
SISTEM BILANGAN RASIONAL A. Konsep Bilangan Rasional 1. Definisi Himpunan bilangan rasional adalah himpunan semua bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan , dengan a, b adalah bilangan bulat dan b tidak boleh nol. 2. Notasi Himpunan Bilangan Rasional: Himpunan bilangan rasional disimbolka...
SISTEM BILANGAN RASIONAL
A. Konsep Bilangan Rasional 1. Definisi Himpunan bilangan rasional adalah himpunan semua bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑎
pecahan 𝑏 , dengan a, b adalah bilangan bulat dan b tidak boleh nol. 2. Notasi Himpunan Bilangan Rasional: Himpunan bilangan rasional disimbolkan dengan huruf Q. Jadi diperoleh: 𝒂
Q={𝒃|a,b ∈ 𝒁, b ≠ 𝟎} Karena semua bilangan bulat a dapat dinyatakan sebagai
𝑎 1
, maka semua
bilangan bulat merupakan bilangan rasional, maka himpunan bilangan bulat merupakan subset dari himpunan bilangan rasional, atau ditulis Z ⊂ Q. 3. Bentuk-Bentuk Bilangan Rasional 𝑎
Bilangan rasional mempunyai bentuk 𝑏 , menggunakan konsep keterbagian, maka akan terdapat dua kasus yakni b membagi a atau b tidak membagi a. a. Bilangan bulat Jika b membagi a, maka a = bx, untuk bilangan bulat. Maka diperoleh 𝑎 𝑏
=
𝑏𝑥 𝑏
= 𝑥, jadi jika b membagi a, maka
𝑎 𝑏
dapat dinyatakan sebagai bilangan
bulat. Contoh: 4 15 = 2 𝑑𝑎𝑛 =5 2 3 b. Bilangan pecahan murni Jika b tidak membagi a, maka mengembangkan algoritma pembagian, akan diperoleh a=bq+r, dengan 0 < r < |b| dan q, r ∈ Z. Maka bilangan rasional 𝑎 𝑏
bukan bilangan bulat. Jika pembilang dari
𝑎 𝑏
lebih dari penyebut, maka bentuk pecahan ini
disebut bentuk pecahan murni. Contoh: 2 3.0 + 2 3.0 2 2 2 = = + = 0+ = 3 3 3 3 3 3 c. Bilangan pecahan campuran atau bilangan campuran.
Jika pembilang dari
𝑎 𝑏
kurang dari penyebut, maka bentuk pecahan ini
disebut bentuk pecahan campuran. Contoh: 20 3.6 + 2 3.6 2 2 2 = = + =6+ =6 3 3 3 3 3 3 Berkaitan dengan pecahan campuran, maka bilangan pecahan campuran 𝑐
𝑎 𝑏
dapat ditulis 𝑐
𝑎 𝑏
𝑎
𝑐𝑥𝑏
𝑏
𝑏
=𝑐+ =
𝑎
+ = 𝑏
𝑐 𝑥 𝑏 +𝑎 𝑏
, sebagai
contoh: 6
2 2 6.3 2 18 + 2 20 =6+ = + = = 3 3 3 3 3 3
B. Operasi Aljabar 𝑎
𝑐
Untuk bilangan 𝑏 dan 𝑑 maka didefinisikan:
1. 2. 3. 4.
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
𝑐
+
=
𝑑
𝑏𝑥𝑑
𝑐
𝑎𝑥𝑑 – 𝑏𝑥𝑐
𝑑
𝑏𝑥𝑑
− = 𝑐
𝑎𝑥𝑐
𝑑
𝑏𝑥𝑑
𝑥 = ∶
𝑎𝑥𝑑 + 𝑏𝑥𝑐
𝑐 𝑑
=
𝑎 𝑏
𝑑
𝑐
𝑐
𝑑
𝑥 , dengan syarat ≠ 0
Operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan rasional jika penyebut sama dapat dilakukan dengan rumus:
1. 2.
𝑎 𝑐 𝑎 𝑐
+ −
𝑏 𝑐 𝑏 𝑐
= =
𝑎+𝑏 𝑐 𝑎−𝑏 𝑐
C. Sifat-sifat Bilangan Rasional 1. Terhadap Operasi Penjumlahan. a. Sifat ketertutupan 𝑎 𝑐
Untuk semua 𝑏 , 𝑑 ∈ 𝑸, maka 𝑎 𝑐 + ∈𝑸 𝑏 𝑑
b. Sifat komutatif (sifat pertukaran) Untuk semua
𝑎 𝑐
, ∈ 𝑸, maka
𝑏 𝑑
𝑎 𝑐 + 𝑏 𝑑
=
𝑐 𝑎 + 𝑑 𝑏
c. Sifat assosiatif (pengelompokan) 𝑎
𝑐 𝑒
Untuk semua 𝑏 , 𝑑 , 𝑓 ∈ 𝑸, maka 𝑎 𝑐 𝑒 𝑎 𝑐 𝑒 + + = + + 𝑏 𝑑 𝑓 𝑏 𝑑 𝑓 d. Terdapat unsur identitas penjumlahan 𝑎
Untuk semua 𝑏 ∈ 𝑸, ada 0 ∈ 𝑸 sehingga 𝑎 𝑎 𝑎 + 0=0+ = 𝑏 𝑏 𝑏 0 disebut unsur satuan (identitas) penjumlahan. e. Terdapat invers penjumlahan 𝑎
𝑎
Untuk masing-masing 𝑏 ∈ 𝑸, ada − 𝑏 ∈ 𝑸 sehingga 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 + − = − + =0 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑎
𝑎
𝑎
− 𝑏 disebut invers penjumlahan dari 𝑏 , dan − 𝑏 = 2. Terhadap Operasi Perkalian a. Sifat ketertutupan 𝑎 𝑐
Untuk semua 𝑏 , 𝑑 ∈ 𝑸 maka 𝑎 𝑐 𝑥 ∈𝑸 𝑏 𝑑 b. Sifat komutatif (sifat pertukaran) 𝑎 𝑐
Untuk semua 𝑏 , 𝑏 ∈ 𝑸 maka 𝑎 𝑐 𝑐 𝑎 𝑥 = 𝑥 𝑏 𝑑 𝑑 𝑏 c. Sifat assosiatif (sifat pengelompokan) 𝑎
𝑐 𝑒
Untuk semua 𝑏 , 𝑑 , 𝑓 ∈ 𝑸, maka 𝑎 𝑐 𝑒 𝑎 𝑐 𝑒 𝑥 𝑥 = 𝑥 𝑥 𝑏 𝑑 𝑓 𝑏 𝑑 𝑓 d. Terdapat unsur identitas perkalian 𝑎
Untuk semua 𝑏 ∈ 𝑸, ada 1 ∈ 𝑸 sehingga
−𝑎 𝑏
𝑎
= −𝑏
𝑎 𝑎 𝑎 𝑥 1 = 1𝑥 = 𝑏 𝑏 𝑏 1 disebut unsur satuan (identitas) perkalian e. Terdapat invers perkalian 𝑎
𝑎
𝑏
Untuk masing-masing 𝑏 ∈ 𝑸, dengan 𝑏 ≠ 0ada 𝑎 ∈ 𝑸 sehingga 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 𝑥 = 𝑥 =1 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏
𝑎
disebut invers perkalian dari 𝑏 dan kadang ditulis 𝑎
𝑎 −1 𝑏
=
1 𝑎 𝑏
𝑏
=𝑎
3. Terhadap Operasi Perkalian dan Penjumlahan/Pengurangan a. Sifat distributif perkalian atas penjumlahan 𝑎
𝑐 𝑒
Untuk semua 𝑏 , 𝑑 , 𝑓 ∈ 𝑸, berlaku 𝑎 𝑐 𝑒 𝑎 𝑐 𝑎 𝑒 𝑥 + = 𝑥 + 𝑥 𝑏 𝑑 𝑓 𝑏 𝑑 𝑏 𝑓 Dan 𝑐 𝑒 𝑎 𝑐 𝑎 𝑒 𝑎 + 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 𝑑 𝑓 𝑏 𝑑 𝑏 𝑓 𝑏 b. Sifat distributif perkalian atas pengurangan 𝑎 𝑐 𝑒 𝑎 𝑐 𝑎 𝑒 𝑥 − = 𝑥 − 𝑥 𝑏 𝑑 𝑓 𝑏 𝑑 𝑏 𝑓 Dan 𝑐 𝑒 𝑎 𝑐 𝑎 𝑒 𝑎 − 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 𝑑 𝑓 𝑏 𝑑 𝑏 𝑓 𝑏
REFRENSI : Abdussakir.2009.MATEMATIKA 1:Kajian Integratif Matematika & Al-Qur’an.Malang:UIN Malang Press...