Teori Bilangan PDF

Preview

Summary

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq TEORI BILANGAN wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui Nok Izatul Yazidah Era Dewi Kartika opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg Program Studi Pendidikan Matematika hjklzxcvbn...

Description

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx TEORI BILANGAN cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui Nok Izatul Yazidah Era Dewi Kartika opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas Program Studi Pendidikan Matematika IKIP Budi Utomo Malang 2019

Bilangan Bulat 2.1 Postulate Untuk Bilangan Bulat Postulat – Postulat untuk Himpunan

bilangan bulat.

1. Postulat Pejumlahan Operasi bilangan biner didefinisikan yang disebut sebagai penjumlahan yang dinotasikan dan mempunyai sifat-sifat a. Bilangan Bulat tertutup pada penjumlahan dimana dan adalah . b. Penjumlahan bersifat assosiatif c. Bilangan bulat menggunakan d. Invers penjumlahan

sebagai Element Identitas Penjumlahan

e. Penjumlahan Bersifat Komutatif 2. Postulate Perkalian Operasi bilangan biner didefinisikan yang disebut Perkalian. yang dinotaskan mempunyai sifat-sifat a. Bilangan Bulat tertutup pada perkalian b. Perkalian bersifat assosiatif c. dan sebagai Element Identitas Perkalian d. Perkalian Bersifat Komutatif 3. Distributif

dan

adalah bilangan bulat

4. Bilangan Bulat Positif a. Bilangan bulat positif tertutup pada penjumlahan b. Bilangan bulat positif tertutup pada perkalian c. Untuk Semua bilangan bulat i. ii. iii. 5. Postulate Induksi Jika

anggota a. b.

Sehingga

maka

dan

Teorema 2.1 Teorema Sifat Distributif

Bukti : Sifat Komutatif Sifat Distributif Sifat Komutatif Teorema 2.2 Invers Penjumlahan

Bukti :

– Lemma 2.3 Hukum konseliasi untuk Penjumlahan dan ,kemudian bukti :

Assosiatif Penjumlahan invers penjumlahan

Bukti dari teorema 2 : . Kita akan menunjukan bahwa kita punya,

oleh postulat 2.1 oleh postulat 1d oleh postulat 1c oleh postulat 1d oleh postulat 1b oleh postulat 2.1 oleh postulat 1c oleh postulat 1d

Definisi 2.4 Hubungan Kurang dari untuk Bilangan Bulat

dan Jika dan Hanya Jika

dimana Seperti biasa simbol dibaca “kurang dari”. Persamaan tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan definisi ini dan sifat-sifat dari . jika dan hanya jika Untuk

.

dan sebuah

, kita mendefenisikan

sebagai berikut :

untuk beberapa bilangan bulat positif

Teorema 2.5 Kuadrat Bilangan Bulat bukan 0 Untuk Bukti Jik

dalam , , dalam Bilangan Bulat. Oleh postulate 4. lainnya atau . Jika , kemudian di oleh postulate 4b dan jika , kemudian adalah di oleh postulate yang sama. Tapi .

di kemungkinan masalah yang mungkin, jika jadi adalah di dalam dan melengkapi bukti..

adalah

SOAL 1. Nyatakan pernyataan-pernyataan dibawah ini Benar atau salah a. tertutup pada pengurangan (Benar)

b. c.

= =

tertutup pada pengurangan (Salah) tertutup pada perkalian (Salah)

d. Jika 2. Buktikan

untuk semua

dan

adalah

, kemudian

( benar)

P.1c(Identitas Element Penjumlahan) P.1d(Invers Penjumlahan) P.1b(Assosiatif) Teorem2.1(distributif) P.1c(identitas penjumlahan) P.1d(invers penjumlahan) 3. P.1d(inverse penjumlahan) P.1b(Assosiatif) P.1c(identitas Penjumlahan) 4. P.1c(identitas Penjumlahan) P.1d(Invers Penjumlahan) P.1b(Assosiatif Penjumlahan) P1d(Invers Penjumlahan) Teorema2.2(Sifat Distributif) P.1c(Identitas penjumlahan) 5.

. .

P.1c (Identitas Elemen Penjumlahan) P.1d(Invers Penjumlahan) P.1d(.Teorema invers penjumlahan) Pembuktian soal no3 P.1c (Identitas Penjumlahahan)

e. P.1c(Identitas ElemenPenjumlahan) P.1d(Invers Penjumlahan) Teorem2.2(inverse) P.1b(Assosiatif)

P.1c(Identitas Penjumlahan) 2.2 INDUKSI MATEMATIKA.

STRATEGI Bukti dari Induksi Matematika. Dalam tipe pembuktian oleh induksi matematika untuk membuktikan benar untuk setiap nilangan bulat positif . Pembuktian terdiri dari 3 langkah 1. Asumsikan/Anggap pernyataan benar untuk 2. Asumsikan pernyataan Akan dibuktikan benar untuk 3. Dengan asumsi yang sudah dibuat, Buktikan pernyataan itu benar untuk Asumsi yang sudah dibuatt pada langkah ke 2 disebut Asumsi Induksi atau hipotesis induksi

Prinsip Induksi Matematika Logika dari metode itu a. Jika benar untuk b. Jika kebenaran dari

, dan selalu mengimplikasi bahwa

adalah benar

kemudian pernyaaan adalah benar untuk semuabilanganbulat positif . Logika ini membukikan bahwa postulate induksi sempurna jika kita lihat adalah himpunan semua bilangan bulat positif untuk tiap adalah benar. Kemudian postulate induksi digunakan dalam bagian ini. Yang biasanya disebut Prinsip Dari Induksi Matematika. Example 1 kita harus membuktikan bahwa

untuk setiap bilangan bulat positif n untuk bilangan bulat positif lain , Jika Pernyataan

Dalam tipe persamaan , diketahui

adalah persamaan terakhir di ruas kiri. Dimana

, dimana adalah hanya satu dan tidak ada penjumlahan lain yang benar-benar menunjukkan. dimana , Nilai dari ruas kiri adalah

dan nilai ruas kanan adalah

Jadi

adalah benar

Sekarang asumsikan

adalah benar, ini adalah asumsi dari persamaan

adalah benar, Dengan Asumsi yang dibuat, kita perlu untuk membuktikan bahwa benar. Oleh Penjumlahan

adalah

Untuk kedua ruas dari asumsi persamaan,

Jika

Ketika

dari persamaan terakhir bisa ditulis

digantikan oleh

, Maka

Itu berkaitan dengan postulate induksi bahwa

adalah benar kapanpun

adalah benar

benar untuk semuabilangan bulat positif .

Contoh 2 kita harus membuktikan bahwa bilangan genap bukan nol adalah positif. Ini, jika kemudian adalah bilanagn bulat positif untuk setiap bilangan bulat

di ,

Rumus kedua dari pernyataan adalah sesuai untuk dibuktikan oleh induksi di . untuk dan adalah positif oleh Theorema 2.5. Anggap pernyataan benar untuk ini, adalah positif. Untuk kita punya

Sejak

, ,

dan positif,hasilnya adalah positif oleh postulate 4b. Pernyaaan ini benar untuk . Ini pengertian dari postulate induksi Pernyataannya adalah benar untuk semua bilangan bulat positif.

SOAL 1. Buktikan benar untuk



Akan dibuktikan benar untuk

 Anggap benar untuk  Akan dibuktikan bahwa

= = = = 2. buktikan benar untuk 

Akan dibuktikan benar untuk n=1

1=1  Anggap benar untuk  Akan dibuktikan bahwa n = k + 1

= = =

3. buktikan benar untuk



Akan dibuktikan benar untuk n=1 =

 Anggap benar untuk n = k =  Akan dibuktikan bahwa n = k + 1

= = =

2.3 Keterbagian Tujuan utama kita pada bagian ini adalah mendapatkan algoritma pembagian (teorema 2.10). Untuk mencapai ini, kita membutuhkan konsekuensi penting sifat induksi, dikenal sebagai sifat terurut sempurna. Theorema 2,7 Sifat Terurut Sempurna Setiap himpunan tak kosong Artinya ada sehingga

dari bilangan bulat positif memiliki satu elemen terkecil. untuk semua elemen

Bukti Misalnya S hipunan tak kosong bilangan bulat positif. Jika , maka untuk semua , dari teorema 2.6. dalam kasus ini adalah anggota terkecil dari . dan misalkan menjadi himpunan semua Perhatikan pada kasus dimana bilangan bulat positif sehingga untuk semua , artinya

Karena , teorema 2.6 menyajikan kita bahwa . Kita akan tunjukkan bahwa ada suatu bilngan positif sehingga dan . Seandainya bukan dalam kasus ini. Kita punya maka dan dengan sifat induksi. Ini kontradiksi dengan

fakta bahwa sehingga

adalah tak kosong (Catatan bahwa . dan

. Untuk itu ada

sedemikian

Kita harus menunjukkan bahwa Kita memiliki untuk semua untuk semua (lihat latihan 28 diakhir bagian ini) jika selalu benar, maka akan ada di . Sehingga untuk semua adalah suatu unsur terkecil yang diinginkan di

jadi adalah dan

Definisi 2.8 Pembagian dan Kelipatan Misalkan dan adalah bilangan bulat. Kita menyebut sedemikian hingga

membagi

jika ada bilangan bulat

Jika membagi kita menulis . Kita menyebut bahwa adalah kelipatan dari adalah faktor/pembagi dari Jika bukan membagi Kita tulis .

atau

Contoh: 1. 3|12 karena ada bilangan bulat 4 sedemikian hingga 12=3.4 2.

karena tidak ada bilangan bulat c yang menyebabkan 7=2.c

3. Misal b adalah bilangan bulat tak non maka 4. Misal b adalah sebarang bilangan bulat maka 0 | b 5. Jika

dan

maka

Teorema 2.9 Pembagi 1 Pembagi 1 hanya 1 dan -1 Bukti: Misalkan adalahmembagi habis 1. Maka bulat . Persamaan mengharuskan sehinggan Kasus 1 dimana . Ini mengakibatkan sehingga dan 2.1), jadi kita memiliki dan , dengan teorema 2.6 sekarang dari latihan 18 bagian 2.1 karena Dan ini kontradiksi dengan

Karena itu,

hanya mungkin ketika

. Dari latihan 5 bagian 2.1 kita memiliki

Kasus 1 dimana Dan

, jadi

mengakibatkan dan

dari latihan 32 bagian 2.1 dari teorema 2.6.sekarang dari latihan 18 bagian 2.1

untuk suatu bilangan atau . ( lihat latihan 32 bagian

karena Dan

adalah kontradiksi dengan

. Oleh karena itu, 1=

hanya mungkin ketika

, dan kita memiiki dari latihan 3 bagan 2.1 karena Mengkombinasikan kasus-kasus dimana atau jika adalah pembagi 1

dan

kita daat menunjukkan bahwa

Contoh theorema 2.9 2|1 tidak mungkin karena tidak ada nilangan bulat yang memenuhi Teorema 2.10 Algoritma Pembagian Misalkan sehingga

dan

bilangan bulat dengan

. Maka ada bilangan bulat

dan

yang tunggal

dengan Eksistenti Bukti : Misalkan S himpunan semua bilangan bulat yang dapat ditulis dalam bentuk untuk Dan memisalkan lambang himpunan semua bilangan bulat tak negatif di S. Himpunan tak kosong. (lihat latihan 29 pada bagian akhir). Jika , kita memiliki untuk beberapa dan . Jika maka memiliki elemen terkecil dengan teorema terurut dan dimana adalah bilangan positif. Sekarang , Jadi , karena adalah unsur terkecil elemen di dan pasti benar bahwa adalah negatif. Berarti dan Gabungan dua kasus (dimana dan dimana ), kita memiliki dan KetunggalanUntuk membuktikan dan adalah tunggal, andaikan dimana dan . Kita dpat mengasumsikan bahwa tanpa kehilangan sifat umum. Ini berarti bahwa .

dan

Bagamanapaun kita selalu memiliki

Itu berarti adalah kepilatan nonegati dari b yang mana kurang dari b. Untuk sebarang bilangan bulat positif n, mengakibatkan . Untuk itu, dan . Jadi berlaku oleh , dimana . Ini mengakibatkan bahwa (lihat latihan 26 bagian 2.1). kita telah menunjukkan bahwa dan dan ini membuktikan bahwa q dan r adalah tunggal. Secara umum, untuk sebarng a,b bq + r dengan 0 |b|

;b

maka terdapat secara tungal q, r

sehingga a=

Kata algoritma dalam pengertian teorema 2.10 mungin sepintas kelihatan aneh, karena algoritma bisa menggunakan prosedur berulang untuk memperoleh hasil. Kegunaan kata itu adalah fakta bahwa anggota – dari ’dalam pembuktiandapat ditemukan dengan mengulang pengurangan b: –

dan seterusnya.

–

Pada algoritma pembagian, bilangan bulat disebut hasil bagi dan disebut sisa dalam pembagian dari oleh . kesimpulan teorema mungkin lebih dikenal dalam bentuk , Tetapi kita membatasi kerja kita disini jadi hanya bilangan bulat yang di dilibatkan. Contoh 1 Ketika dan adalah dua bilangan bulat positif, hasil bagi dan sisa dapat diperoleh dengan kebiasaan umum pembagian panjang (kebawah) sebagai contoh, jika dan , dengan pembagian panjang

Jadi

dan

pada

,dengan

Jika adalah negatif, sedikit penyesuaian minor (lihat latihan 30 bagian ini) dapat dibuat untuk mendapat hasil pada algoritma pembagian. Dengan a = -357 dan b = 13, persamaan sebelumnya dapat dikalikan dengan -1 untuk mendapat -357= 913)(-27) + (-6) Untuk mendapatkan hasil dengan sisa postif, kita hanya perlu mengurangi dan menjumlahkan 13 pada ruas kanan persamaan : -357=913)(-2) + (13)(-1) + (-6) +13=(13)(-28) + 7 Jadi q= -28 dan r= 7dalam algoritma pembagian, dengan a= -357 dn b= 13.

Exercises 1. Tentukan

dan sehingga memenuhi kondisi algoritma pembagian jika

a.

dan jawab : Algoritma pembagian harus memenuhi

dengan

dengan Jadi

dan

dan

b. jawab :

algoritma pembagian harus memenuhi

dengan

dengan Jadi

dan

1. Hal 85 no. 17 Buktikan jika

dan bilangan bulat sehingga

dan

maka

Jawab : artinya artinya

dengan

dan

bilangan bulat

artinya terbukti 2. Hal 85 no. 21 Buktikan jika

Jawab :

dan

bilangan bulat sehingga

dan

maka

atau

Misal ada sehingga

artinya

dan

artinya

Subtitusikan 2 persamaan tersebut sehingga

sehingga jika jika

maka maka

sehingga sehingga

Terbukti.

2.4 Faktor Prima dan Faktor Persekutuan Terbesar Pada bagian ini, kita menetapkan adanya faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan bulat jika paling sedikit satu dari bilangan itu tidak nol. Teorema Tunggal Faktorisasi, juga dikenal sebagai Teorema Fundamental dari Aritmatika. Definifi 2.11 Faktor Persekutuan Terbesar Sebuah bilangan bulat d adalah faktor persekutuan terbesar dari terpenuhi: 1.

dan

jika semua syarat

adalah bilangan bulat positis

2.

dan

3.

dan

maka

Teorema berikutnya mennjukkan bahwa faktor persekutuan terbesar dari dan b ada ketika setidaknya salah satu dari mereka tidak nol. Bukti kita juga menunjukkan bahwa adalah kombinasi linier dari dan , yaitu untuk bilangan bulat dan . Strategi Teknik pembuktian dengan menggunakan Teorema terurut Baik dalam teorema 2.12 harus dibandingkan dengan yang digunakan dalam bukti Algoritma Pembagian (teorema 2.10) Teorema 2.12 Faktor persekutuan terbesar Misalkan dan bilangan bulat paling sedikit satu dari mereka tidak . Kemudian terdapat faktor persekutuan terbesar yang tunggal dari dan . Selain itu, dapat ditulis sebagai

untuk bilangan bulat dan , dan ditulis dalam bentuk ini.

adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat

Eksistensi Bukti: Misalkan a dan b bilangan bulat, paling sedikit satu dari mereka tidak . Jika , maka , sehingga . Sangat mudah untuk melihat bahwa adlah faktor persekutuan terbesar dari a dan b dalam kasus ini, dan tepat salah satu atau . Misalkan sekarang bahwa . Dengan pertimbangan himpunan adalah semua bilangan bulat yang dapat ditulis dalam bentuk untuk beberapa dan bilangan bulat, misalkan adalah himpunan semua bilangan bulat poritif dalam mengandung dan , sehingga tidak kosong. Dengan teorema Terurut Baik , memiliki unsur terkecil

Kita memiliki positif, dan kita akan menunjukkan bahwa terbesar dari dan .

adalah faktor persekutuan

Dengan algoritma pembagian, terdapat bilangan bulat

sehingga

dan

dengan dari persamaan ini, –

– –

–

–

Jadi ada didalam , dan terkecil dari , it harus benar bahwa ditunjukkan bahwa . Jika dan karena itu,

, maka

. Dengan pilihan sebagai unsur dan . Demikian pula, dapat

dan

untuk bilangan bulat

dan . Oleh

, Dan ini menunjukkan bahwa . Dengan Definisi 2.11, adalah faktor persekutuan terbesar dari dan . Ini mengikuti dari pilihan sebagai element terkecil dari dimana adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat ditulis dalam bentuk ini.

Ketunggalan Untuk menunjukkan bahwa faktor persekutuan terbesar dari dan Adalah tunggal, menganggap bahwa dan adalah faktor persekutuan terbesar dari dan . Maka harus benar bahwa dan . dan adalah bilangan bulat positif, ini berarti bahwa ( lihat latihan 21 bagian 2.3). Setiap faktor persekutuan terbesar dari dan ada, kita akan menulis atau gcd untuk menunjukkan faktor persekutuan terbesar yang tunggal dari dan . Ketika setidaknya satu dari dan tidak , bukti dari teorema terakhir menetapkan keberadaan dari , tetapi mencari bilangan bulat positif terkecil di bukanlah metode yang sangat mudah untuk menemukan faktor persekutuan terbesar ini. Sebuah prosedur yang dikenal sebagai Algoritma Euclid memoles suatu metode sistematis untuk menentukan dimana . hal ini dapat juga digunakan untuk menentukan bilangan bulat dan sehinggan . Prosedur ini terdiri dari aplikasi berulang dari Algoritma pembagian menurut pola berikut, dimana dan adalah bilangan bulat dengan . Algoritma Euclid

⋮ Karena bilangan bulat terkecil n sehingga

Jika kita menempatkan persekutuan terbesar dari latihan.

⋮ menurun dan nonegatif semua, ada bilangan bulat

sisa terakhir yang bukan nol selalu menjadi faktor dan . Bukti dari pernyataan ini yang tersisa sebagai

Sebagai contoh, kita akan menemukan faktor persekutuan terbesar dari 1492 dan 1776. Contoh 1 Dengan melakukan aritmatika untuk algoritma euclid , kita memberoleh

) ) )

Dengan demikian sisa nol terakhir adalah , dan . Seperti disebutkan sebelumnya, Algoritma Euclid juga dapat digunakan untuk menemukan bilangan bulat dan sehingga

Kita dapat memperoleh bilangan bulat dengan memecahkan untuk sisa tidak nol terakhir dan mengganti sisanya dari persamaan sebelumnya berturut-turut sampai dan yang hadir dalam persamaan. Sehingga contoh, sisanya dalam contoh dapat dinyatakan sebagai

Mengganti sisa dari persamaan sebelumnya berturut-turut, kita memiliki:

setelah substitusi pertama

setelah substitusi kedua

setelah substitusi ketiga Jadi

dan

adalah bilangan bulat sedemikian sehingga .

Sisanya dicetak dengan huruf tebal di setiap langkah-langkah sebelumnya, dan kami dengan hati-hati menghindari melakukan perkalian yang melibatkan sisanya. m dan n tidak tunggal dalam persamaan

Untuk melihat ini, hanya menambah dan mengurangi perkalian –

:

Jadi sehingga

–

dan

Keterangan kondisi contoh penyangkal

–

adalah sepasang bilangan bulat sedemikian

tidak selalu mengakibatkan tetapi

. Sebagia

Definisi 2.13 Relatif Prima Bilangan Bulat Dua bilangan bulat adalah

dan

adalah relatif prima jika faktor persekutuan terbesarnya

Dalam dua bagian berikutnya dari bab ini kami membuktikan beberapa hasil yang menarik tentang bilangan bulat yang relatif prima dengan bilangan bulat n yang diberikan. Teorema 2.14 berguna dalam bukti dari hasil tersebut. Teorema 2.14 Jika

dan

relatif prima dan

maka

.

Bukti : Asumsikan bahwa bilangan bulat dan sehin...