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Ing. Mariagrazia Dotoli

Controlli Automatici NO (9 CFU)

Sistemi Dinamici del Secondo Ordine

SISTEMI DINAMICI DEL SECONDO ORDINE I sistemi dinamici del secondo ordine sono sistemi dinamici SISO rappresentati da equazioni differenziali lineari e a coefficienti costanti di ordine n=2:

a2

d 2 y( t ) dt 2

+ a1

dy( t ) d 2x ( t ) dx ( t ) a y ( t ) b + 0 = 2 + b1 + b 0x ( t ) 2 dt dt dt

dove si è indicato con x(t) il segnale ingresso e con y(t) l’uscita del sistema.

ESEMPIO

Vediamo la funzione di trasferimento della rete a ritardo e anticipo. R1 C1

x(t)=vi(t)

+ _

i(t)

C2 y(t)=vo(t) R2

Applichiamo alla rete elettrica la legge di Kirchoff delle tensioni e quella delle correnti, nonché le proprietà caratteristiche delle resistenze e dei condensatori: vo (t) = R 2 ⋅ i(t) + dove

1

1 t ∫ i( τ)d τ C2 0

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Sistemi Dinamici del Secondo Ordine

d ( vi (t) − vo (t)) v (t) − v o (t) i(t) = i + C1 . R1 dt Sostituendo la seconda nella prima si ha: d ( vi (t) − v o (t) ) 1 v (t) − v o (t) + R 2C1 + vo (t) = R 2 ⋅ i R1 dt C2

t v ( τ) − v ( τ) v (t) − v o(t) i o dτ + C 1 i ∫ R1 C2 0

o anche, derivando primo e secondo membro: R1C2

d ( vo (t)) d ( vi (t) − vo (t)) = R2 C2 + dt dt

+ R1R2 C1C2

d2 ( vi (t) − vo (t)) dt 2

+ ( vi (t) − vo (t)) + R1 C1

d ( vi (t) − vo (t)) dt

ossia R1C 2 ⋅ y' (t ) = (R1C1 + R 2C 2 ) ⋅ ( x ' (t ) − y' (t )) + R 1R 2C1C 2 ⋅ ( x ' ' (t ) − y' ' (t ) ) + (x (t ) − y(t ) )

e in definitiva R1 R2 C1 C2 ⋅ y' ' ( t) + ( R1 C2 + R1C1 + R2 C2 ) ⋅ y' (t ) + y(t ) = . = R1R2 C1C2 ⋅ x ' ' (t ) + (R1C1 + R 2 C2 )⋅ x ' ( t) + x (t )

Trasformando secondo Laplace l’equazione differenziale con condizioni iniziali nulle si ha in questo caso:

Y (s) R 1R 2C1C 2s 2 + (R1C1 + R 2 C2 )s + 1 = = X (s) R 1R 2C1C 2s 2 + (R1C1 + R 2 C2 )s + 1 + R1 C2 s (1 + R1C1s) ⋅ (1 + R 2 C2 s) (1 + τ1s) ⋅ (1 + τ2s) (1 + τ1s) ⋅ (1 + τ2s) = = = (1 + R 1C1s) ⋅ (1 + R 2C 2s) + R1C2s (1 + τ1s) ⋅ (1 + τ2s) + τ12s 1 + ( τ1 + τ 2 + τ12 )s + τ1τ2s 2

G (s) =

dove si è posto

τ1 = R 1C1,

τ 2 = R 2C 2,

2

τ12 = R1C2 .

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In alternativa, per determinare la funzione di trasferimento della rete a ritardo e anticipo facciamo uso delle impedenze dei componenti elettrici e della regola del partitore:

G(s) =

Y(s) = X(s)

R2 + 1 1 + sC1 R1

=

1 sC2

1 + R2 + sC 2

sR 2C 2 + 1

=

sC 2 1 + sC1 R1

=

+ sR 2C 2 + 1

sR 2C 2 + 1 (1 + sR 2C 2 )(1 + sR 1C 1) = sR1C2 + sR 2C 2 + 1 sR1C 2 + (1 + sR 2C 2 )(1 + sR 1C 1) 1 + sR1C1

che coincide con la funzione di trasferimento precedentemente determinata. La funzione di trasferimento è del secondo ordine, con m=2 zeri reali negativi in

z1 = −

1 , τ1

z2 = −

1 τ2

e n=2 poli p1 e p2 da determinare, che si dimostrano essere anch’essi reali negativi. In particolare, per le note proprietà dei polinomi del secondo ordine, si ha:

p1p2 =

1 τ1τ 2

che, confrontata con le precedenti, conduce al risultato:

p1p2 = z1z2 ossia z1 p 2 = . p1 z2 Tale relazione esprime il fatto che i poli sono disposti entrambi esternamente agli zeri o entrambi internamente agli zeri. Si verifica che la seconda condizione non è possibile, dunque detto 3

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p z α = 1 = 2 1 le radici sono reali e distinte. 1.A. Per δ>1 i poli sono reali negativi distinti. 1.B. Per δ...