SİNYALLER ve SİSTEMLER PDF

Preview

Summary

SİNYALLER ve SİSTEMLER 1. Sinyallerin Sınıflandırılması 1.1 Sürekli Zamanlı ve Ayrık Zamanlı Sinyaller 1.2 Analog ve Sayısal Sinyaller Herhangi bir (a,b) reel sayı aralığında bir sinyali sonsuz değer alıyorsa bu sinyal analog sinyal diye adlandırılır. Ayrık zamanlı [�] sinyali ise belirli bir aralık...

Description

SİNYALLER ve SİSTEMLER 1. Sinyallerin Sınıflandırılması 1.1 Sürekli Zamanlı ve Ayrık Zamanlı Sinyaller

1.2 Analog ve Sayısal Sinyaller Herhangi bir (a,b) reel sayı aralığında bir sinyali sonsuz değer alıyorsa bu sinyal analog sinyal diye adlandırılır. Ayrık zamanlı [�] sinyali ise belirli bir aralıkta sınırlı değer alan sinyallerdir. 1.3 Gerçek ve Karmaşık Sinyaller

Bir sinyal sadece reel sayılardan oluşmuşsa gerçek sinyal, sanal (imajiner) kısım içeriyorsa da karmaşık sinyal olarak adlandırılır. 1.4 Belirli ve Rastgele Sinyaller Herhangi bir sinyalin hangi zaman aralığında hangi değerlerini alacağını biliyorsak bu sinyal belirli bir sinyal olmuş olur. Rastgele sinyal ise zamanla nasıl değiştiğini, hangi değerleri hangi zamanda alacağını bilemediğimiz sinyallerdir; örneğin toplamsal beyaz gürültü. Rasgele sinyallerin karakteristik özelliklerini istatistiksel olarak ifade edebiliriz. 1.5 Tek ve Çift Sinyaller

1.6 Periyodik ve Periyodik Olmayan Sinyaller

1

+� =

1.7 Enerji ve Güç Sinyalleri Sonsuz değer alan sinyallerin enerjileri de sonsuz olacağından bu sinyallerin gücünden bahsedilir ve bu sinyallere güç sinyali denir. Eğer sonsuz değer almıyor ve enerjisi bir reel sayıya eşit oluyorsa bu tür sinyallere de enerji sinyali denir. ∞

= ∑ | � | =−∞

  

� = lim

�→∞

∞

∑ | � |

�+

=−∞

< < ∞, Enerji sinyali, böylece � = . < � < ∞, Güç sinyali, böylece = . Bu iki koşula uymayan sinyaller ne enerji sinyalidir ne de güç.

2. Birim Darbe Fonksiyonu Birim darbe fonksiyonu � , Dirak delta fonksiyonu olarak da adlandırılır. Bu sinyal sistem analizinde merkezi bir rol oynamaktadır.

� �

� −

=

|�|

=�

2

�

.�

3. Karmaşık Üstel Sinyaller

= =

.� �0 �

Karmaşık üstel sinyal Euler formülüne göre aşağıdaki biçimde ifade edilir. =

Temel periyot;

�0 �

= cos � =

4. Sinüzoidal Sinyaller

+

�

�

Sürekli zamanlı bir sinüzoidal sinyal aşağıdaki biçimde ifade edilebilir, = �. cos⁡

A: Genlik (Volt) �:

+�

Açısal frekans (rad)

�: Faz açısı (rad) Temel periyot;

� =

Temel frekans; =

�

⁡�

�

� ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡

3

= � ⁡

KONVOLÜSYON Birim darbe fonksiyonu tüm frekansları içerir. Dolayısıyla sistemlerin darbe cevapları bu fonksiyon kullanılarak elde edilir.

Aşağıdaki şekilde lineer zamanla değişmeyen (LTI) bir sistem verilmiştir. Bu sistemin girişine birim darbe fonksiyonu uygulanırsa ( =� ) , çıkıştan alınan sinyal ( =ℎ � ) sistemin darbe cevabı olur. (Ayrık zamanlı sinyallerde “t” yerine “n” kullanılır.)

LTI Sistemin girişine birim darbe sinyali uygulanırsa sistemin darbe cevabı ℎ � elde edilir.

* Peki, bir sistemde ℎ � biliniyorsa ve sistemin girişine bilinen bir sistemin çıkışı ne olur? 4

� sinyali uygularsak

Verilen giriş sinyalini birim darbe fonksiyonu cinsinden yazalım. � = .� � + + .� � + + .� � −

+ .� � +

+ � � + .� � −

+ .� � −

� = .ℎ � + + .ℎ � + + .ℎ � −

+ .ℎ � +

+ ℎ � + .ℎ � −

+ .ℎ � −

Girişe � � uyguladığımızda çıkışın ℎ � olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla verilen de birim darbelerden oluştuğu için sistemin çıkışını ℎ � cinsinden yazabiliriz. Bu elde ettiğimiz ifade çıkış işaretidir. Bunu genelleştirmek için değerlerini değil de kendisini yerine yazalım. � =

− .ℎ � + + − .ℎ � + + + .ℎ � − + .ℎ � −

Bu ifadeyi aşağıdaki gibi genel biçimde yazabiliriz. � =

∞

� ∗� � = ∑

�=∞

�

− .ℎ � + + + .ℎ � − � .� � − �

� sinyali

giriş sinyalinin .ℎ �

Bu toplama konvolüsyon toplamı denir. Sürekli zamanlı sinyallerde ise konvolüsyon integrali aşağıdaki biçimdedir. � =

� ∗� � =

Konvolüsyon Toplamının Özellikleri

∞

∫

�=−∞

� . � � − � . ��

1.Değişme özelliği

2.Birleşme özelliği

[�] ∗ ℎ[�] = ℎ[�] ∗ [�]

3.Dağılma özelliği

{ [�] ∗ ℎ [�]} ∗ ℎ [�] = [�] ∗ {ℎ [�] ∗ ℎ [�]} 5

[�] ∗ {⁡ℎ [�] ⁡ + ⁡ ℎ [�]⁡} = [�] ∗ ℎ [�] + [�] ∗ ℎ [�]

Örnek 1. Darbe cevabı ℎ olan sürekli zamanlı bir LTI sistemin girişine uygulandığında, sistemin çıkışındaki sinyali ne olur? =

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ℎ

−��

=

.

sinyali

⁡⁡⁡⁡⁡� >

Çözüm 1: Sürekli zamanlı olduğu için konvolüsyon integralinin kullanılması gerekmektedir. =

� ve ℎ

∗ℎ

=

∞

∫

�=−∞

− � fonksiyonlarının grafikleri, <

Şekilden de görüldüğü gibi çakışmamaktadır ( < ⁡ ç �⁡ sonuca ulaşırız. �

=∫ .

� .ℎ

−� . �

durumları için şekilde verilmiştir.

ve >

� ve ℎ − � fonksiyonları < durumu için üst üste = ). Bu durumda integrali sadece > durumu için alırsak

−� �−�

−��

. �= =

.∫ .

−

�

�

−��

��

. �=

−��

.(

.

��

− )⁡ �

Örnek 2. Sürekli zamanlı LTI bir sistemin darbe cevabı ve giriş sinyali aşağıda verilmiştir. Sistemin çıkış sinyalini bulunuz. Çözüm 2:

=

��

=

.

− ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ℎ ∗ℎ

=

= ∞

∫

�=−∞

−��

.

� .ℎ

⁡⁡⁡⁡� > −� . �

Şekildeki grafiklere bakıldığında � ve ℎ − � fonksiyonları < ve > için üst üste çakışmaktadır. Dolayısıyla iki faklı aralıkta integral almamız gerekmektedir. < için,⁡� = −∞’dan ⁡⁡� = ’ye kadar ilk integrali alalım; 6

�

>

= ∫

−∞

��

.

−� �−�

. �=

��

�

. ∫

−∞

��

. �=

için, � = −∞’dan ⁡⁡� = ’a kadar ikinci integrali alalım; = ∫

−∞

��

Çıkış sinyali aşağıda verilmiştir.

.

−� �−�

. �=

��

. ∫

−∞

��

. �=

�

�

��

−��

Örnek 3. Ayrık zamanlı LTI bir sistemin darbe cevabı ℎ[�] aşağıda verilmiştir. Bu sistemin girişine şekilde verilen [�] sinyali uygulanırsa çıkış sinyali [�] ne olur?

Çözüm 3: 1.Yol: Ayrık zamanlı LTI sisteme �[�] uygulandığında ℎ[�] sinyalinin elde edildiğini biliyoruz. [�] sinyalini birim darbe fonksiyonu cinsinden yazıp, sistemin darbe cevabını kullanarak çıkış sinyalini elde edebiliriz. Verilen [�] sinyalini birim darbeler cinsinden yazalım,

[�] = �[� + ] + . �[� + ] + . �[� + ] + . �[� + ] + . �[�] + . �[� − ] + . �[� − ] + . �[� − ]

�[�] uygulandığında ℎ[�], �. �[� ± ] uygulandığında da �. ℎ[� ± ] elde edilir. Dolayısıyla; [�] = ℎ[� + ] + . ℎ[� + ] + . ℎ[� + ] + . ℎ[� + ] + . ℎ[�] + . ℎ[� − ] + . ℎ[� − ] + . ℎ[� − ]

görülen çıkış sinyali elde edilir. Artık bu ifadeyi kullanarak çıkış sinyalinin değerlerini elde edebiliriz. 7

[− ] = ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] [− ] =

NOT: Darbe cevabı sadece -1,0,1 değerlerinde sıfırdan farklıdır, geri kalan tüm tam sayı değerlerinde sıfırdır. [− ] = ℎ[ ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] [− ] =

+

=

[− ] = ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] [− ] =

+ . +

=

[− ] = ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] [− ] = . + . + . =

[− ] = ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] [− ] = . + . + . =

[ ] = ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] [ ]= . + . + . =

[ ] = ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[− ] + . ℎ[− ] [ ]= . + . + . =

[ ] = ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[− ] [ ]= . + . + . =

[ ] = ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] [ ]= . + . =

[ ] = ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] + . ℎ[ ] [ ]=

Çıkış sinyalinin tüm değerlerini elde etmiş olduk. Şimdi bunu grafikte gösterelim.

8

2.Yol: Konvolüsyon toplamı kullanarak çıkış sinyali bulunabilir. � =

∞

� ∗ℎ � = ∑

=∞

.ℎ � −

Bu yöntemde öncelikle ℎ[�] sinyali ters çevrilerek ℎ[−�] sinyali elde edilir. Ardından birer birim kaydırılarak baştan sona tüm [�] değerleri ile toplanır ve çıkış sinyali [�] elde edilir. ℎ[�] = [ ⁡ ⁡ ],⁡⁡⁡ℎ[−�] = [ ⁡ ⁡ ]

3.Yol: MATLAB programını kullanarak konvolüsyon alalım. Bu işlem MATLAB’ta “conv” komutu ile yapılır. 9

FOURİER SERİLERİ ve AYRIK SPEKTRUM A. Kompleks Üstel Fourier Serileri sinyalini karmaşık üstel

Temel periyodu � olan periyodik bir sinyali olsun. Biz bu Fourier serileri biçiminde aşağıdaki gibi tanımlarız, ∞

Burada

= ∑

=−∞

katsayıları, herhangi bir

� �

�

� +�

−

∫

� ⁡ �

�

� �

katsayıları, Fourier katsayıları olarak adlandırılır ve =

=

değeri için aşağıdaki biçimde elde edilir.

=

Bu

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡

�

� /

−

∫

−� /

� �

= −� / , olarak alınırsa,

Elde edilir. Bu katsayılar genellikle karmaşık sayılardır ve aşağıdaki biçimde ifade edilebilirler.

Burada

=| |

katsayılarının genliği | |, faz açısı ise

B. Frekans Spektrumu

�

�

’dir.

Periyodik bir sinyalinin Fourier katsayılarının genlikleri olan | |, açısal frekans olan = � ’e göre çizdirilirse, genlik spektrumu elde edilir. � açısal frekansa göre çizdirilirse faz spektrumu elde edilir. Bu ikisi birlikte açısal frekansa göre çizdirilirse frekans spektrumu elde edilir. İndeks olan “n” tamsayıları ifade ettiğinden, periyodik bir sinyalin bir spektrumu sadece ayrık değerlerden oluşacaktır. Bu ayrık frekans değerleri � ’dır.

Eğer bir

sinyali zamanın gerçek bir fonksiyonu ise, −

=

∗

=| |

− �

Bunun anlamı şudur, gerçek periyodik sinyaller için pozitif ve negatif katsayılar birbirlerinin konjugeleridir. Yani, 10

Dolayısıyla genlik spektrumu fonksiyonudur.

|

−

| = | |⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡�− = −� ⁡

’nın çift fonksiyonu, faz spektrumu ise

’nın tek

C. Periyodik Bir Sinyalin Güç İçeriği ve Parseval Teoremi Periyodik bir tanımlanır.

sinyalinin gücü, bir periyodu boyunca karesel değerinin ortalaması olarak

�=

�

� /

∫ |

|

−� /

Parseval Teoremi der ki; temel periyodu � olan periyodik bir sinyalin gücü Fourier katsayılarının karesel toplamına eşittir. �

� /

∫ |

−� /

∞

|

= ∑ | | =−∞

FOURİER DÖNÜŞÜMÜ ve SÜREKLİ SPEKTRUM

Periyodik olmayan sinyallerin frekans spektrumunu elde etmede kullanılır. A. Tanım sinyalinin Fourier dönüşümü

sinyali periyodik olmayan bir sinyal olsun. Bu sembolize edilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır.

�

= [

�

−

’nın ters Fourier dönüşümü ise =

−

[�

∞

ile

− ��

]= ∫

−∞

ile sembolize edilir ve aşağıdaki biçimde tanımlanır. ]=

�

∞

∫�

−∞

��

Verilen iki ifade genellikle Fourier dönüşüm çifti olarak adlandırılır ve aşağıdaki gibi ifade edilir. ⁡↔ �

B. Frekans Spektrumu

Genel olarak Fourier dönüşümü olan � , açısal frekans böylece biz bunu aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. �

= |�

|

��

’nın karmaşık bir fonksiyonudur,

Burada |� |, ’nin sürekli genlik spektrumu diye adlandırılırken �� , spektrumu olarak adlandırılır. Sürekli spektrum denmesinin nedeni ise � fazının, sürekli olan frekans ’nın fonksiyonu olmasıdır. 11

’nin sürekli faz ’nın genlik ve

Eğer

sinyali zamanın gerçek bir fonksiyonu ise, � −

Veya |� −

= �∗

| = |�

= |�

|

|⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡� −

− ��

= −�

Dolayısıyla Fourier serilerinde olduğu gibi genlik spektrumu � faz spektrumu � ise ’nın tek fonksiyonudur.

,

’nın çift fonksiyonudur;

C. Bir Sinyalin Güç İçeriği ve Parseval Teoremi Bir

sinyalinin normalize edilmiş enerji içeriği ∞

= ∫|

aşağıdaki gibi tanımlanır. |

−∞

Eğer sinyali enerji sinyali ise bu sinyalin enerjisinin Fourier dönüşümü ile elde edilmesi Parseval teoremidir. ∞

∫|

−∞

|

=

�

∞

∫ |�

|

−∞

FOURİER DÖNÜŞÜMÜNÜN ÖZELLİKLERİ 1. Doğrusallık 2. Zamanda Kaydırma

�

3. Frekansta Kaydırma

+�

↔� � −

4. Ölçekleme

− ��

↔� � �

5. Zamanda Geri Dönüş

�

6. İkililik

−

↔�

↔

|�|

+� �

− �

�

↔� −

7. Konvolüsyon

�

= � −

8. Çarpma

∗

↔� 12

.�

↔

.

Örnek 4.

�

∗�

�

= sin⁡

Sinyalinin karmaşık Fourier serisini bulunuz ve frekans spektrumunu çizdiriniz. Çözüm 4: Euler açılımını kullanarak bu fonksiyonu karmaşık üstel biçimde yazalım. = sin

Böylece, −

=−

=

�

=

(

� �

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡

=

=

−

− � �

−

�

)=−

⁡⁡⁡⁡⁡⁡� ≠ + ⁡

Verilen fonksiyonun frekans spektrumu aşağıdaki gibidir.

MATLAB FFT Kodu fs=10000; ts=1/fs; t=0:ts:1-ts; fm=500; m=5*cos(2*pi*fm*t); mf=fft(m,fs)/fs; mfs=fftshift(mf); mfs_abs=abs(mfs); frekans = linspace(-fs/2, fs/2-1, fs); plot(frekans,mfs_abs)

13

− � �

+

� �

� − ⁡ ç �⁡

= ⁡...