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SOLUCIONARIO DE MC GRAW HILL TEMA 2 ES IDEAL PARA COMPARAR TUS RESPUESTAS...

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2

Solucionario

UNIDAD

Introducción al cálculo financiero Actividades 1. Identifica dos productos o servicios bancarios que conozcas y explica cómo los utilizas. Pueden ser, por ejemplo, un préstamo personal y un préstamo hipotecario. Si bien, el alumno también puede enumerar los siguientes, entre otros:  Tarjetas bancarias.  Cuentas corrientes.  Transferencias bancarias.  Depósitos a plazo.  Créditos. 2. Copia en tu cuaderno la siguiente tabla, identifica los elementos de las operaciones financieras, explica qué ley financiera interviene y si se cumple o no la equivalencia financiera. a) Un capital de 35 000 € se quiere sustituir por dos capitales de 18 000 € que vencen a los 2 y 3 años. Elementos de la operación financiera Prestación

35 000 €

Contraprestación

Dos capitales de 18 000 €

Acreedor

El que presta los 35 000 €

Deudor

El que devuelve los dos capitales de 18 000 €

Origen de la operación

Momento «0» o año «0»

Fin de la operación

Año 3

Duración de la operación

3 años

La ley financiera que interviene es la de capitalización. A un determinado tipo de interés, se cumple la equivalencia financiera. b) El nominal de una letra de cambio asciende a 6 500 €. La llevamos al banco a descontar cuando quedan 95 días para su vencimiento y el banco nos da 6 350 €. Elementos de la operación financiera Prestación

6 500 €

Contraprestación

6 350 €

Acreedor

Banco

Deudor

El que lleva la letra al descuento

Origen de la operación

Momento «0»

Fin de la operación

A los 95 días

Duración de la operación

95 días

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UNIDAD

La ley financiera que interviene es la de descuento. A un determinado tipo de interés, se cumple la equivalencia financiera. c) Solicitamos un préstamo al banco de 7 800 €. Su devolución se realizará en 3 años, de forma que los 2 primeros años solo pagaremos los intereses, que ascienden a 100 € cada año. El último año devolveremos el capital y los intereses de ese año. Elementos de la operación financiera Prestación

7 800 €

Contraprestación

Lo que se devuelve al banco: 100 + 100 + 7 900

Acreedor

Banco

Deudor

El que solicita el préstamo

Origen de la operación

Momento actual, año «0».

Fin de la operación

Año 3

Duración de la operación

3 años

La ley financiera que interviene es la de capitalización. A un determinado tipo de interés, se cumple la equivalencia financiera. 3. Realiza la representación gráfica de cada apartado del ejercicio anterior. a) Capitales: 35 000 18 000 18 000 Tiempo:

0

2

3

b) Capitales:

6 350

Tiempo: c)

Capitales: Tiempo:

6 500

0

95 días

7800

100

100

0

1

2

(7 800 + 100) 7 900 3

4. Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y clasifica las operaciones del ejercicio anterior. Según la duración de la operación Según el grado de conocimiento de los componentes de la operación

Largo plazo Cierta

Según el número de capitales que componen la operación

Compuesta

Según la duración de la operación

Corto plazo

Según el grado de conocimiento de los componentes de la operación

Cierta

Según el número de capitales que componen la operación

Simple

Según la duración de la operación

Largo plazo

Según el grado de conocimiento de los componentes de la operación

Cierta

Según el número de capitales que componen la operación

Compuesta 2-23|

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UNIDAD

5. Explica qué diferencia hay entre una operación simple y una compuesta. Las simples están formadas por un capital en la prestación y uno en la contraprestación, mientras que las compuestas están formadas por varios capitales en la prestación o en la contraprestación. 6. Un trabajador deposita en una entidad bancaria 1 000 € a plazo fijo durante 1 año. El banco le devolverá 1 200 € al cabo del año. a) Representa gráficamente la operación. Capitales:

1 000

Tiempo:

1 200

0

1 año

b) ¿Qué tipo de operación es? Según la duración de la operación

Corto plazo

Según el grado de conocimiento de los componentes de la operación

Cierta

Según el número de capitales que componen la operación

Simple

c) Identifica cada uno de sus elementos. Elementos de la operación financiera Prestación

1 000 €

Contraprestación

1 200 €

Acreedor

El trabajador

Deudor

El banco

Origen de la operación

Momento actual, año «0»

Fin de la operación

Año 1

Duración de la operación

1 año

7. Una empresa necesita dinero en efectivo para hacer frente a sus pagos. Para ello, solicita un préstamo de 10 000 € a devolver en 2 años. Al cabo de esos 2 años, devolverá 11 000 €. a) Representa gráficamente la operación. Capitales:

10 000

11 000

0

2 años

Tiempo:

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UNIDAD

b) Clasifica la operación financiera. Según la duración de la operación

Largo plazo

Según el grado de conocimiento de los componentes de la operación

Cierta

Según el número de capitales que componen la operación

Simple

c) Identifica sus elementos. Elementos de la operación financiera Prestación

10 000 €

Contraprestación

11 000 €

Acreedor

El banco

Deudor

La empresa

Origen de la operación

Momento actual, año «0»

Fin de la operación

Año 2

Duración de la operación

2 años

8. Sabiendo que el tipo de interés anual es del 9 %, calcula en capitalización compuesta: el tipo de interés mensual, el tipo de interés semestral, el tipo de interés diario en año civil y comercial y, por último, el tipo de interés cuatrimestral. 1/ m Partiendo de la fórmula: im=(1+ i) −1

El tipo de interés mensual será:

i 12=(1+0,09 )1/ 12 −1=0,0072073 El tipo de interés semestral será: 1

i 2=( 1+0,09 ) 2 −1= 0,044030 El tipo de interés diario en año civil será: 1

i 365=( 1+0,09 ) 365 −1 =0,00023613 El tipo de interés diario en año comercial será: 1

i 360=( 1+ 0,09) 360 −1=0,00023941 El tipo de interés cuatrimestral será:

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1

i 3=( 1+0,09 ) 3 −1 =0,029142 9. Una inversión de 265 000 € al 3 % cuatrimestral ha dado como resultado 278 000 €. ¿Cuántos meses ha estado invertido el capital? Realiza la representación gráfica de la operación financiera. La representación gráfica quedaría de la siguiente forma: Capitales:

265 000

Tiempo:

278 000

0

n

Partiendo de la fórmula:

Cn =C0 . ( 1 +i)n 278.000=265.000 .(1+ 0,03 )n

(

)

log 278.000 265.000 0,020798921 =¿ n= = log (1+0,03 ) 0,012837224

1,62 cuatrimestres = 6 meses y medio.

10. ¿Qué inversión inicial ha dado un capital de 895 000 € al 5 % mensual durante 8 cuatrimestres? Lo primero que vamos a hacer es pasar el tipo de interés a las unidades del tiempo:

i=( 1+im )m−1 =(1+0,05 )12−1=0,795856326 1

i3=( 1+0,795856326 ) 3 −1=0,21550625 Partiendo de la fórmula:

Cn =C0 . ( 1 +i)n C0 =

Cn

895.000 = =187.830,22 € (1+i)n (1,21550625)8

11. Calcula la cantidad resultante de invertir 23 400 € al 1 % semestral durante 9 años.

i2=0,01 i=( 1+im )m−1 =(1+0,01 )2−1=0,0201 n

9

Cn =C0 .(1+i) =23.400 ∙(1+0,0201) =27.989,85 € 12. A un inversor se le plantean tres posibilidades para sacar la mayor rentabilidad a un capital de 89 000 € durante 3 años. ¿Qué opción le interesa más? a) El 3 % cuatrimestral durante 2 años y un 4 % mensual durante el siguiente año.

i3=0,03 m 3 i=( 1+i m ) −1=(1+0,03 ) −1 =0,092727

i12=0,04

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m 12 i=( 1+i m ) −1=(1+0,04 ) −1 =0,601032218 n 2 1 Cn =C0 . ( 1 +i) =89.000 ∙(1+0,092727) ∙(1+0,601032218) =170.142,74 €

b) El 5 % anual durante los 3 años. n

3

C n =C 0 .(1+i) =89.000 ∙( 1+0,05 ) =103.028,63 €

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c) El 4 % mensual durante el primer año y el 3,5 % durante los 2 años siguientes. Representa gráficamente las tres operaciones financieras.

i12=0,04 m 12 i=( 1+i m ) −1=(1+0,04 ) −1 =0,601032218 n

1

2

C n =C 0 .(1+i) =89.000 ∙( 1+0,601032218 ) . (1+0,035 ) =152.640,85 € La opción que más le interesa es la del apartado a (3 % cuatrimestral durante 2 años y un 4 % mensual durante el siguiente año). 13. Halla los intereses que produce un capital de 12 500 € invertidos al 2 % mensual durante 214 días. Vamos a calcular el capital final, pero antes el tipo de interés mensual lo pasamos a anual:

i12=0,02

i=( 1+im )m−1 =(1+0,02 )12−1=0,268241795 Ahora calculamos el tipo de interés diario porque el tiempo nos lo dan en días: 1

i365=( 1+ 0,268241795) 365 −1 =0,000651257 n

214

Cn =C0 .(1+i) =12.500∙ ( 1+0,000651257 ) =14.368,7015 € 14. Calcula a qué tipo de interés anual ha estado invertido un capital de 200 000 € si, al cabo de 315 días, se ha transformado en otro de 225 000 €. Para calcular el tipo de interés sustituimos en la fórmula: interés.

Cn =C0 .(1+i)n y despejamos el tipo de

315

225.000=200.000 ∙ ( 1+i365 )

(

i 365=

225.000 200.000

)

1 315

−1=0,000373984

Como nos piden el tipo de interés anual, lo calculamos: m

365

i=( 1+im ) −1 =( 1+0,000373984 ) −1=0,146230527 =14,62 15. Calcula el tiempo que ha tardado un capital de 12 450 € en transformarse en un capital igual al doble del anterior si ha estado invertido 17 meses al 3 % anual. Sustituimos en la fórmula y despejamos el tiempo:

Cn =C0 . ( 1 +i)n n

24.900=12.450 ∙ ( 1+ 0,03 ) log n=

( 24.900 12.450 ) =¿

23,45 años = 23 años, 5 meses y 12 días

log ( 1+0,03)

16. Un capital ha triplicado su valor al cabo de 200 días. El tipo de interés aplicado a la operación ha sido del 4 % mensual. ¿A cuánto asciende el valor de dicho capital?

3 C=C ∙(1+i 12 )200

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3C =(1+i 12 )200 C 1

3200 −1=i12 i12=0,005508176 El tipo de interés anual será: 12 12 i=( 1+i12) −1 =( 1+ 0,005508176) −1=0,068137778 =6,81

17. Dos capitales, de 1 000 y 2 000 €, que vencen dentro de 1 año y 7 meses y dentro de 1 año y 9 meses respectivamente, quieren ser sustituidos por otro capital que vence dentro de 3 años. El tipo de interés es el 3 % mensual. ¿A cuánto asciende la cuantía del capital que sustituye a los otros dos? Vamos a calcular el capital final al cabo de 3 años: 17 15 C6 =1.000 ∙( 1+0,03 ) +2.000 ∙( 1+0,03 ) =4.768,78 €

18. Hoy realizamos una inversión de 3 500 € y queremos saber el capital final que obtendremos en los siguientes casos:  Al cabo de 2 años y 3 meses si le aplicamos el 5 % anual.  Al cabo de 19 meses si le aplicamos el 5 % trimestral.  Al cabo de 8 cuatrimestres si le aplicamos el 2 % diario (año civil).  Al cabo de 23 trimestres si le aplicamos el 3 % anual. a) Representa gráficamente la operación. Al cabo de 2 años y 3 meses si le aplicamos el 5 % anual. Cn = 3.500 · (1,05)2,25 = 3 906,11 €



3 500 Momento 0

Cn 2,25 años

Al cabo de 19 meses si le aplicamos el 5 % trimestral. i = (1,05)4 - 1 = 0,2155 i12 = (1,2155) 1/12 - 1 = 0,016396 Cn = 3 500 · (1,016396)19 = 4 767,24€



3 500 Momento 0

Cn 19 meses

Al cabo de 8 cuatrimestres si le aplicamos el 2 % diario (año civil). i = (1,0002)365 - 1 = 0,075722 i3 = (1,075722)1/3 - 1 = 0,024629 Cn = 3 500 · (1,024629)8 = 4 252,1 €



3 500 Momento 0

Cn 8 cuatrimestres

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Al cabo de 23 trimestres si le aplicamos el 3 % anual. i4 = (1,03)1/4 - 1 = 0,007417 Cn= 3 500 · (1,007417)23 = 4 148,41 €



3 500

Cn

Momento 0

23 trimestres

b) Clasifica la operación financiera e identifica sus elementos. Todas las operaciones son de capitalización, a largo plazo y aleatorias. 19. ¿Qué intereses se generan en una inversión de 34 500 € al 2 % de interés mensual durante 412 días? Primero calculamos el tipo de interés diario:

i=( 1+i12) 12 −1=( 1+0,02 )12−1=0,268241795 1

i365=( 1+ 0,268241795) 365 −1 =0,000651257 Aplicamos la fórmula de los intereses totales:

I =C 0 . [(1+i)n−1 ]=34.500 ∙ [ ( 1,000651257 )412 −1 ]=10.613,88 € 20. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido un capital de 60 000 € si al 8 % anual ha producido 67 500 €? De la fórmula inicial despejamos el tiempo:

Cn =C0 . ( 1 +i)n 67.500=60.000 ∙ ( 1+0,08 )n

(

)

log 67.500 1,53 años =1 año, 6 meses y 11 días 60.000 n= =¿ log ( 1+0,08) 21. ¿A qué tipo de interés hemos solicitado un préstamo de 20 000 € si pasados 3 años hemos tenido que devolver a la entidad financiera 24 300 €? Vamos a calcular el tipo de interés: 3

24.300=20.000 ∙(1+i) 24.300 =(1+i)3 20.000 1

1,2153 −1=i i=0,067068=6,7 22. Un capital ha triplicado su valor en 2 años. Si el tipo de interés aplicado es del 8 % anual, ¿a cuánto asciende el importe de este capital?

3 C=C ∙(1+i)2 3C =(1+i )2 C Plantear:

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1

32 −1=i i=0,73205 =73 23. Un capital duplica su valor en 5 años al 8 % de interés mensual. Averigua su valor.

2 C=C ∙( 1 +0,08)n 2C =(1,08 )n C n=

log 2 =¿ log ( 1+0,08 )

9 años

24. Una empresa quiere sustituir cuatro capitales de 1 200, 3 000, 2 000 y 4 000 € que vencen a los 2, 4, 5 y 6 años, por uno único a los 7 años. Si el tipo de interés aplicado a la operación es del 8 % anual, ¿de qué cuantía será el capital que vence a los 7 años? Llevamos todos los capitales al año 7: C7 =1.200∙ (1+0,08)5 + 3.000 ∙(1+ 0,08)3 + 2.000 ∙(1+ 0,08)2 + 1 4.000 ∙ (1+ 0,08 ) =1.763,19 + 3.779,136 + 2.332,8 + 4.320=12.195,13 €

25. Calcula la TAE si la tasa nominal anual capitalizable semestralmente es del 7 %. Partimos del valor de j m y vamos a calcular la TAE:

i m=

Jm m

i m=

0,07 2

= 0,035

TAE=( 1+i2 )2−1= (1+0,035 ) 2−1=0,071225 TAE= 7,12 % 26. Halla la TIN capitalizable mensualmente si la TAE es del 8 %. Partimos de la TAE: primero calcularemos el tanto efectivo mensual y, a continuación, el TIN. 1

i 12=( 1+ 0,08 ) 12 −1=0,00643403 j12 =i 12 ∙ 12=0,077208361 27. Calcula el efectivo de una letra de nominal de 12 000 € que se descontó al 10 % simple anual cuando le quedaban 80 días para su vencimiento. Para calcular el efectivo, antes tenemos que calcular el descuento:

D=N ∙ n∙ d =12.000∙ 80 ∙

0,1 =266,67 360

E=N −D=12.000−266,67 =11.733,33 € 28. ¿Cuántos días quedaban para el vencimiento de una letra de 26 000 € de nominal si al 3 % de interés simple se obtuvo un efectivo de 25 600 €?

E=N −D= N −N ∙n ∙ d

0,03 n 25.600 = 26.000 − 26.000�� 360 n = 185 días

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29. Calcula el nominal de una letra que, al 6 % simple anual y cuando le quedaban 55 días para su vencimiento, sabemos que el efectivo fue de 32 150 €.

E=N −D= N −N ∙n ∙ d 0,06 32.150 = N − N � 55 � 360 N = 32.447,43 € 30. ¿A qué tanto de descuento se realizó una operación de descuento de una letra cuyo vencimiento era el 12 de agosto si tenía un nominal de 12 550 € y dio como resultado un efectivo de 12 200 € el 1 de junio? Partimos de la fórmula del efectivo:

E=N −D= N −N ∙n ∙ d

i 12.200 = 12.550 −12.550 � 72 � 360 i = 13,94 % 31. La empresa BIRMI, S. A., tiene un efecto para descontar. Teniendo en cuenta que el tipo de descuento anual es del 9 %, calcula: Calculamos el efectivo resultante en cada caso.

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a) El efectivo resultante de la operación de descuento del efecto cuyo nominal es de 27 000 € y para cuyo vencimiento quedan 85 días.

E=N −D= N −N ∙n ∙ d=27.000−27.000 ∙85 ∙

0,09 =27.000−573,75 =26.426,25 € 360

El nominal de la operación son 27.000 € y el descuento 573,75 € b) El efectivo resultante de la operación de descuento del efecto cuyo nominal es de 29 500 € y para cuyo vencimiento quedan 35 días.

E=N −D=N −N ∙n ∙ d=29.500−29.500 ∙35 ∙

0,09 =29.500 −258,125=29.241,86 € 360

El nominal de la operación son 29.500 € y el descuento 258,125 € c) El efectivo resultante de la operación de descuento del efecto cuyo nominal es de 15 000 € y para cuyo vencimiento quedan 128 días. ¿Cuál es el nominal de la letra? ¿A cuánto asciende el descuento?

E=N −D= N −N ∙n ∙ d=15.000 −15.000 ∙ 128 ∙

0,09 =15.000 −480 =14.520 € 360

El nominal de la operación son 15.000 € y el descuento 480 € 32. El tipo de descuento anual de un efecto es del 8 %. Calcula el efectivo resultante si queremos descontar un efecto cuyo nominal es de 55 000 € y para cuyo vencimiento quedan 105 días. ¿A cuánto asciende el importe del descuento?

E=N −D= N −N ∙n ∙ d=55.000 −55.000 ∙ 105 ∙

0,08 =55.000 −1.283,33=53.716,67 € 360

El importe del descuento asciende a 1.283,33 € 33. Una letra de cambio ha sido descontada al 3 % anual cuando quedaban 48 días para su vencimiento y se ha obtenido un efectivo de 53 000 €. Calcula el nominal de la letra.

E=N −D= N −N ∙n ∙ d

53.000=N −N ∙ 48 ∙

0,03 360

N = 53.212,85 € 34. La empresa FEBESA tiene una remesa d...